人教版數(shù)學九年級上冊第24章 圓 尖子生訓練試題

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1、人教版九年級（上）《圓》 一．選擇題（共5小題） 1．已知⊙O的半徑為2，A為圓內(nèi)一定點，AO＝1．P為圓上一動點，以AP為邊作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值為（　?。? A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1 2．如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為的中點，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結論：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的個數(shù)是（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖，直線y＝x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，P是該直線上的任一點，過點D（3，0）向

2、以P為圓心，AB為半徑的⊙P作兩條切線，切點分別為E、F，則四邊形PEDF面積的最小值為（　?。? A． B． C．2 D． 4．如圖，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，點O在∠B內(nèi)，點D為上的動點，點M，N，P分別是AD，DC，CB的中點．若⊙O的半徑為2，則PN+MN的長度的最大值是（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝10，P是半徑OA上的一動點，PC⊥AB交⊙O于點C，在半徑OB上取點Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于點D，點C，D位于AB兩側(cè)，連接CD交AB于點F，點P從點A出發(fā)沿AO向終點O運動，在整個運動過程中，△CFP與△DFQ

3、的面積和的變化情況是（　　） A．一直減小 B．一直不變 C．先變大后變小 D．先變小后變大 二．填空題（共9小題） 6．如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD，取CD的中點E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為　 ?。? 7．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半徑OA上，過點C做CD⊥AB交半圓O于點D．以CD，CA為邊分別向左、下作正方形CDEF，CAGH．過點B作GH的垂線與GH的延長線交于點I，M為HI的中點．記正方形CDEF，CAGH，四邊形BCHI的面積分別為S1，S2，S3． （1）若AC：BC＝2：3，則的

4、值為　 　； （2）若D，O，M在同條直線上，則的值為　 ?。? 8．如圖，直線y＝﹣x+m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C是AB的中點，點D在直線y＝﹣2上，以CD為直徑的圓與直線AB的另一交點為E，交y軸于點F，G，已知CE+DE＝6，F(xiàn)G＝2，則CD的長是　 ?。? 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，點D是BC上一點，BC＝3CD，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點M為的中點，連接AM，則AM的最小值為　 ?。? 10．如圖，半徑為5的⊙O與y軸相交于A點，B為⊙O在x軸上方的一個動點（不與點A重合）

5、，C為y軸上一點且∠OCB＝60°，I為△BCO的內(nèi)心，則△AIO的外接圓的半徑的取值（或取值范圍）為　 ?。? 11．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是　 　． 12．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點P為上任意一點（點P不與點A、點B重合），連結PB、PO，取BC的中點D，取OP的中點E，連結DE，若∠OED＝α，則∠PBC的度數(shù)為　 ?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示） 13．如圖，已知A（6，0），B（4，3）為平面直角坐標系內(nèi)兩點，以點B圓心的⊙B經(jīng)過原點O，B

6、C⊥x軸于點C，點D為⊙B上一動點，E為AD的中點，則線段CE長度的最大值為　 ?。? 14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且點B，F(xiàn)關于過點E的直線對稱，如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切，那么AE＝　 ?。? 三．解答題（共36小題） 15．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，D為OC與AB的交點，E為線段OC延長線上一點，且∠EAC＝∠ABC． （1）求證：直線AE是⊙O的切線． （2）若D為AB的中點，CD＝6，AB＝16 ①求⊙O的半徑； ②求△ABC的內(nèi)心到點O的距離． 16．如圖，半圓O的直徑AB＝20，將半圓O

7、繞點B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點P． （1）求AP的長； （2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）． 17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F． （1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由； （2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的長． 18．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D． （1）求證：CD為⊙O的切線； （2）若CD＝2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長． 19．如圖，已

8、知圓O的圓心為O，半徑為3，點M為圓O內(nèi)的一個定點，OM＝，AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M． （1）當AB＝4時，求四邊形ADBC的面積； （2）當AB變化時，求四邊形ADBC的面積的最大值． 20．如圖（1），∠ABC＝90°，O為射線BC上一點，OB＝4，以點O為圓心，長為半徑作⊙O交BC于點D、E． （1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時與⊙O相切？請說明理由． （2）若射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時與⊙O相交于M、N兩點，如圖（2），求的長． 21．如圖，⊙O1與⊙O2相交于點A和B，經(jīng)過A作直線與⊙O1相交于D，與⊙O2相交于C，設弧

9、BC的中點為M，弧BD的中點為N，線段CD的中點為K．求證：MK⊥KN． 22．△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，過點F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點H、G．求證：FH＝HG． 23．以O為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點A，過A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值． 24．如圖，已知銳角△ABC的外心為O，線段OA和BC的中點分別為點M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大?。? 25．設點O（0，0）、點A（2，0），分別以O、A為圓心，半徑為2r、r作圓，兩圓在第一象限的交點為P． （1）當r＝1時，求

10、點P的坐標； （2）當時，能否找到一定點Q，使PQ為定值？若能找到，請求出Q點的坐標及定值；若不能找到，請說明理由． 26．如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F． （1）求證：EF是⊙O切線； （2）若AB＝15，EF＝10，求AE的長． 27．如圖：已知a為常數(shù)，F(xiàn)1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），過F2作直線l，點A，B在直線l上，且滿足AF1﹣AF2＝BF1﹣BF2＝2a，M，N分別為△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓的圓心． （1）設⊙M與F1F2相切于點P1，⊙N與F1F

11、2切于點P2，試判斷P1與P2的位置關系，并加以證明； （2）已知sin∠BF2F1＝，且MN＝，試求a的值． 28．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，過點D作⊙O的切線與BC交于點E，弦DM與AB垂直，垂足為H． （1）求證：E為BC的中點； （2）若⊙O的面積為12π，兩個三角形△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比． 29．如圖，在?ABCD中，過A，B，C三點的⊙O交AD于E，且與CD相切． （1）求證：AC＝BC； （2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半徑長． 30

12、．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是弧BD的中點，AE與BC交于點F，∠C＝2∠EAB． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的長． 31．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，⊙O的切線DE交AC于點E． （1）求證：E是AC中點； （2）若AB＝10，BC＝6，連接CD，OE，交點為F，求OF的長． 32．如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積（結

13、果保留π）． 33．如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為2，求BC的長． 34．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E． （1）求證：∠BDC＝∠A； （2）若CE＝2，DE＝2，求AD的長． （3）在（2）的條件下，求弧BD的長． 35．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF． （1）如圖①，AB是直徑，要使EF是⊙O的切線，還須添加一個條件是（只需

14、寫出三種情況）． （Ⅰ）　 ?。á颍? 　（Ⅲ）　 　 （2）如圖（2），若AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠B，則EF是⊙O的切線嗎？為什么？ 36．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD．過點D作DE⊥AC，垂足為點E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）當⊙O半徑為3，CE＝2時，求BD長． 37．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，經(jīng)過A、D兩點的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點E、F． （1）判斷直線BC與⊙O的位置關系并證明； （2）若⊙O的半徑為2，AC＝3

15、，求BD的長度． 38．已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB＝4，CD＝2，直線AD，BC相交于點E． （1）∠E的度數(shù)為　 ?。? （2）如圖2，AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數(shù)； （3）如圖3，弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)． 39．如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連AI并延長交BC和⊙O于D、E兩點． （1）求證：EB＝EI； （2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的長． 40．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠A＝2∠CBF． （1）求證：BF與⊙

16、O相切． （2）若BC＝CF＝4，求BF的長度． 41．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC的中點D，DE與⊙O相切，且交BC于E．若⊙O的直徑為5，AC＝8．求DE的長． 42．在⊙O中，AB是⊙O直徑，AC是弦，∠BAC＝50°． （Ⅰ）如圖（1），D是AB上一點，AD＝AC，延長CD交⊙O于點E，求∠CEO的大??； （Ⅱ）如圖（2），D是AC延長線上一點，AD＝AB，連接BD交⊙O于點E，求∠CEO的大小． 43．如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長線上一點G，作GD⊥AO于點D，交AC于點E，交⊙O于點F，M是GE的中點，連接CF，CM． （

17、1）判斷CM與⊙O的位置關系，并說明理由； （2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的長． 44．如圖，⊙O的直徑AB的長為2，點C在圓周上，∠CAB＝30°，點D是圓上一動點，DE∥AB交CA的延長線于點E，連接CD，交AB于點F． （Ⅰ）如圖1，當∠ACD＝45°時，請你判斷DE與⊙O的位置關系并加以證明； （Ⅱ）如圖2，當點F是CD的中點時，求△CDE的面積． 45．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C． （1）求證：四邊形ABFC是菱形； （2）若AD＝7，BE＝2，求

18、半圓和菱形ABFC的面積． 46．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結BC． （1）求證：AE＝ED； （2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的長． 47．已知AB是⊙O的直徑，AB＝2，點C，點D在⊙O上，CD＝1，直線AD，BC交于點E． （Ⅰ）如圖1，若點E在⊙O外，求∠AEB的度數(shù)． （Ⅱ）如圖2，若點E在⊙O內(nèi)，求∠AEB的度數(shù)． 48．如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在CD的延長線上有一點F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E． （1）求證：EA是⊙O的切線； （2）求證：BD＝CF．

19、 49．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OA，垂足為點M，連接并延長CO交⊙O于點E，分別連接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分線DN交CE于點G，交⊙O于點N，延長CE至點F，使FG＝FD． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）若⊙O半徑r為8，求線段DB，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積． 50．如圖，AH是圓O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上． （1）求證：直線FG是⊙O的切線； （2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直徑． 參

20、考答案與試題解析 一．選擇題（共5小題） 1．已知⊙O的半徑為2，A為圓內(nèi)一定點，AO＝1．P為圓上一動點，以AP為邊作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值為（　?。? A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1 【解答】解：如圖，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OT，連接AT，GT，OP．則AO＝OT＝1，AT＝， ∵△AOT，△APG都是頂角為120°的等腰三角形， ∴∠OAT＝∠PAG＝30°， ∴∠OAP＝∠TAG，＝＝ ∴＝， ∴△OAP∽△TAG， ∴＝＝，∵OP＝2， ∴TG＝2， ∵OG≤OT+GT， ∴OG≤1+

21、2， ∴OG的最大值為1+2， 故選：B． 2．如圖，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足為E，F(xiàn)為的中點，連接AF、BF、AC，AF交CD于M，過F作FH⊥AC，垂足為G，以下結論：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【解答】解：∵F為的中點， ∴＝，故①正確， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③錯誤， ∵AB⊥CD，F(xiàn)H⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+

22、∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴＝， ∴HC＝BF，故②正確， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴的度數(shù)+的度數(shù)＝180°， ∴的度數(shù)+的度數(shù)＝180°， ∴+＝+＝+＝+，故④正確， 故選：C． 3．如圖，直線y＝x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，P是該直線上的任一點，過點D（3，0）向以P為圓心，AB為半徑的⊙P作兩條切線，切點分別為E、F，則四邊形PEDF面積的最小值為（　?。? A． B． C．2 D． 【解答】解：如圖，連接DP， ∵直線y＝x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，

23、 當x＝0時，y＝1，當y＝0時，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AB＝， ∵過點D（3，0）向以P為圓心，AB為半徑的⊙P作兩條切線，切點分別為E、F， ∴DE＝DF，PE⊥DE， ∵PE＝PF，PD＝PD， ∴△PED≌△PFD（SSS）， ∵⊙P的半徑為， ∴DE＝， 當DP⊥AP時，DP最小，此時DP＝AD?sin∠BAO＝5×， ∵四邊形PEDF面積＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE， ∴四邊形PEDF面積的最小值為． 故選：A． 4．如圖，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，點O在∠B內(nèi)，點D為上的動點，點M，N，P分別是AD，DC，

24、CB的中點．若⊙O的半徑為2，則PN+MN的長度的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：連接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H． ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH， ∴CH＝AH＝OC?sin60°＝， ∴AC＝2， ∵CN＝DN，DM＝AM， ∴MN＝AC＝， ∵CP＝PB，AN＝DN， ∴PN＝BD， 當BD是直徑時，PN的值最大，最大值為2， ∴PM+MN的最大值為2+． 故選：D． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝10，P是半徑OA上的一動點，PC⊥AB交⊙O

25、于點C，在半徑OB上取點Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于點D，點C，D位于AB兩側(cè)，連接CD交AB于點F，點P從點A出發(fā)沿AO向終點O運動，在整個運動過程中，△CFP與△DFQ的面積和的變化情況是（　　） A．一直減小 B．一直不變 C．先變大后變小 D．先變小后變大 【解答】解：連接OC，OD，PD，CQ．設PC＝x，OP＝y(tǒng)，OF＝a， ∵PC⊥AB，QD⊥AB， ∴∠CPO＝∠OQD＝90°， ∵PC＝OQ，OC＝OD， ∴Rt△OPC≌Rt△DQO， ∴OP＝DQ＝y(tǒng)， ∴S陰＝S四邊形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣?（y﹣a）y﹣（

26、x+a）x＝xy+a（y﹣x）， ∵PC∥DQ， ∴＝， ∴＝， ∴a＝y(tǒng)﹣x， ∴S陰＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝ 故選：B． 二．填空題（共9小題） 6．如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD，取CD的中點E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為　?。? 【解答】解：延長CB到T，使得BT＝BC，連接AT，DT，AD． ∵△ABC是等邊三角形， ∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°， ∴∠CAT＝90°， ∴AT＝CT?sin60°＝2， ∵AD＝1， ∴2﹣1≤DT≤2+1，

27、 ∵CB＝BT，CE＝DE， ∴BE＝DT， ∴≤BE≤， ∴線段BE的最大值與最小值之和為2， 故答案為2． 7．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半徑OA上，過點C做CD⊥AB交半圓O于點D．以CD，CA為邊分別向左、下作正方形CDEF，CAGH．過點B作GH的垂線與GH的延長線交于點I，M為HI的中點．記正方形CDEF，CAGH，四邊形BCHI的面積分別為S1，S2，S3． （1）若AC：BC＝2：3，則的值為　　； （2）若D，O，M在同條直線上，則的值為　　． 【解答】解：（1）如圖，利用AD，BD． ∵AB是直徑， ∴∠ADB＝90°， ∵DC⊥AB， ∴

28、∠ACD＝∠DCB＝90°， ∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°， ∴∠BDC＝∠DAC， ∴△ACD∽△DCB， ∴CD：CB＝AC：CD， ∵AC：CB＝2：3， ∴可以假設AC＝2k，BC＝3k， ∴CD2＝6k2， ∴＝＝＝， 故答案為． （2）當D．O．M共線時，設CD＝a，AC＝b， ∵CD2＝AC?BC， ∴BC＝， ∴AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝， ∵CO∥HM， ∴＝， ∴＝， 整理得：（）[（）2+﹣1]＝0 ∵≠0， ∴＝或（舍棄）， ∵＝＝1+（）2， ∴＝． 故答案為．

29、 8．如圖，直線y＝﹣x+m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C是AB的中點，點D在直線y＝﹣2上，以CD為直徑的圓與直線AB的另一交點為E，交y軸于點F，G，已知CE+DE＝6，F(xiàn)G＝2，則CD的長是　3?。? 【解答】解：如圖，設CD的中點為O′，延長BA交直線y＝﹣2于M，直線y＝﹣2交y軸于P，作CH⊥OB于H，連接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N． ∵CD是⊙O′的直徑， ∴∠CED＝90°， ∵直線y＝﹣x+m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點A，B， ∴A（m，0），B（0，m）， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∵OA∥DM，

30、∴∠EMD＝∠OAB＝45°， ∵∠DEM＝90°， ∴ED＝EM， ∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝6， ∵JA⊥DM， ∴∠AJM＝90°， ∴AJ＝JM＝2，AM＝2， ∴BC＝CA＝4， ∴A（8，0）．B（0，8），C（4，4），設D（m，﹣2），則O′N＝（m+4），O′F＝CD＝?， ∵O′N⊥FG， ∴FN＝， 在Rt△O′FN中，（）2+（m+4）2＝[（m﹣4）2+62]， 解得m＝1， ∴CD＝＝3． 故答案為3． 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，點D是BC上一點，BC＝3CD，點P是線段AC上一個動點，以

31、PD為直徑作⊙O，點M為的中點，連接AM，則AM的最小值為　5?。? 【解答】解：如圖，連接OM，CM，過點A作AT⊥CM交CM的延長線于T． ∵＝， ∴OM⊥PD， ∴∠MOD＝90°， ∴∠MCD＝∠MOD＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACT＝45°， ∵AT⊥CT， ∴∠ATC＝90°， ∵AC＝10， ∴AT＝AC?sin45°＝5， ∵AM≥AT， ∴AM， ∴AM的最小值為5， 故答案為5． 10．如圖，半徑為5的⊙O與y軸相交于A點，B為⊙O在x軸上方的一個動點（不與點A重合），C為y軸上一點且∠OCB＝60°，I為△BCO的內(nèi)心，則

32、△AIO的外接圓的半徑的取值（或取值范圍）為　?。? 【解答】解：如圖， ∵∠BCO＝60°， ∴∠CBO+∠COB＝120°， ∵I是內(nèi)心， ∴∠IOB＝∠COB，∠IBO＝∠CBO， ∴∠IOB+∠IBO＝（∠COB+CBO）＝60°， ∴∠OIB＝180°﹣∠IOB﹣∠IBO＝120°， ∵OA＝OB，∠AOI＝∠BOI，OI＝OI， ∴△AIO≌△BOI（SAS）， ∴∠AIO＝∠BIO＝120°， 作△AOI的外接圓⊙G，連接AG，OG，作GD⊥OA于D． ∵∠AIO＝120°＝定值，OA＝5＝定值， ∴點G的運動軌跡是， ∴△AOI的外接圓的半徑是

33、定值， ∵GA＝GO，GD⊥OA，∠AGO＝120°， ∴∠AGD＝∠AGO＝120°，AD＝OD＝， ∴AG＝＝＝． 故答案為． 11．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是上的一個動點，連接AD．過點C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是　﹣2　． 【解答】解：如圖，連接BO′、BC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動， ∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3， 在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝， ∵O′E+

34、BE≥O′B， ∴當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E＝﹣2， 故答案為：﹣2． 12．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點P為上任意一點（點P不與點A、點B重合），連結PB、PO，取BC的中點D，取OP的中點E，連結DE，若∠OED＝α，則∠PBC的度數(shù)為　60°+α?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示） 【解答】解：如圖：連接OD、OB， ∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O， ∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°． ∵E點是OP的中點， ∴OEOP， ∵OB＝OP， ∴OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE＝α， ∴∠EOD＝180°﹣2α． 因為四邊形

35、DOEB內(nèi)角和為360°， ∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α， ∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α． ∵OB＝OP， ∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α． ∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α． 故答案為60°+α． 13．如圖，已知A（6，0），B（4，3）為平面直角坐標系內(nèi)兩點，以點B圓心的⊙B經(jīng)過原點O，BC⊥x軸于點C，點D為⊙B上一動點，E為AD的中點，則線段CE長度的最大值為　?。? 【解答】解：如圖，作點A關于點C的對稱點A′，連接B

36、A′，BD，DA′． 由題意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5， ∴BA′＝＝， ∵AC＝CA′，DE＝EA， ∴EC＝DA′， ∵DA′≤BD+BA′， ∴DA′≤5+， ∴DA′的最大值為5+， ∴EC的最大值為， 故答案為． 14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且點B，F(xiàn)關于過點E的直線對稱，如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切，那么AE＝　6﹣　． 【解答】解：如圖，設⊙O與EF相切于M，連接EB，作EH⊥BC于H． 由題意易知四邊形AEHB是矩形，設AE＝BH＝x， 由切線長定理可知，ED＝EM，

37、FC＝FM， ∵B、F關于EH對稱， ∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，F(xiàn)C＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x， 在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2， ∴42+x2＝（16﹣3x）2， 解得x＝6﹣或6+（舍棄）， ∴AE＝6﹣， 故答案為：6﹣． 三．解答題（共36小題） 15．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，D為OC與AB的交點，E為線段OC延長線上一點，且∠EAC＝∠ABC． （1）求證：直線AE是⊙O的切線． （2）若D為AB的中點，CD＝6，AB＝16 ①求⊙O的半徑； ②求△ABC的內(nèi)心到點O的距離． 【解答】解：（1）證明：連接AO，并延

38、長AO交⊙O于點F，連接CF ∵AF是直徑 ∴∠ACF＝90° ∴∠F+∠FAC＝90°， ∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC ∴∠EAC＝∠F ∴∠EAC+∠FAC＝90° ∴∠EAF＝90°，且AO是半徑 ∴直線AE是⊙O的切線． （2）①如圖，連接AO， ∵D為AB的中點，OD過圓心， ∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴AO2＝82+（AO﹣6）2， ∴AO＝， ∴⊙O的半徑為； ②如圖，作∠CAB的平分線交CD于點H，連接BH，過點H作HM⊥AC，HN⊥BC， ∵OD⊥AB，AD＝BD ∴AC＝BC，且

39、AD＝BD ∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB ∴點H是△ABC的內(nèi)心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB ∴MH＝NH＝DH 在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC， ∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH， ∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH， ∴DH＝， ∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH）， ∴OH＝﹣（6﹣）═5． 16．如圖，半圓O的直徑AB＝20，將半圓O繞點B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點P． （1）求AP的長； （2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）． 【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝

40、O′B， ∴△O′PB是等腰直角三角形， ∴PB＝BO， ∴AP＝AB﹣BP＝20﹣10； （2）陰影部分面積為： S陰影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×100+10×10×＝25π+50． 17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F． （1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由； （2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的長． 【解答】解：（1）相切，理由如下： 連接AD，OD， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°． ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC， ∴CD＝BD＝BC

41、． ∵OA＝OB， ∴OD∥AC． ∴∠ODE＝∠CED． ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝∠CED＝90°． ∴OD⊥DE． ∴DE與⊙O相切． （2）由（1）知∠ADC＝90°， ∴在Rt△ADC中，由勾股定理　得 AD＝＝4． ∵SACD＝AD?CD＝AC?DE， ∴×4×3＝×5DE． ∴DE＝． 18．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D． （1）求證：CD為⊙O的切線； （2）若CD＝2AD，⊙O的直徑為20，求線段AC、AB的長． 【解答】證明：（1）連接OC

42、． ∵點C在⊙O上，OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵CD⊥PA， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAD+∠DCA＝90°， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°， ∴CD是⊙O切線． （2）作OF⊥AB于F， ∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°， ∴四邊形CDFO是矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD， ∵CD＝2AD，設AD＝x，則OF＝CD＝2x， ∵DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2， ∴（10﹣x）2+（2x）2＝102， 解得

43、x＝4或0（舍棄）， ∴AD＝4，AF＝6，AC＝4， ∵OF⊥AB， ∴AB＝2AF＝12． 19．如圖，已知圓O的圓心為O，半徑為3，點M為圓O內(nèi)的一個定點，OM＝，AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M． （1）當AB＝4時，求四邊形ADBC的面積； （2）當AB變化時，求四邊形ADBC的面積的最大值． 【解答】解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OB，OC， 那么AB＝2＝4， ∴OF＝， 又∵OE2+OF2＝OM2＝5， ∴OE＝0， ∴CD＝6， ∴S四邊形ADBC＝AB×CD＝12； （2）設OE＝x，OF＝y(tǒng)，則x2+y

44、2＝5， ∵AB＝2，CD＝2， ∴S四邊形ADBC＝AB×CD＝2×＝2＝2， ∴當x2＝時，四邊形ADBC的最大面積是13． 20．如圖（1），∠ABC＝90°，O為射線BC上一點，OB＝4，以點O為圓心，長為半徑作⊙O交BC于點D、E． （1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時與⊙O相切？請說明理由． （2）若射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時與⊙O相交于M、N兩點，如圖（2），求的長． 【解答】解：（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°或135°時與⊙O相切． 理由如下：如圖，設切點為F，連OF．則OF⊥BF， 在Rt△OBF中，OF＝2，OB

45、＝4， ∴cos∠OBF＝＝， ∴∠OBF＝∠BOF＝45°， ∴∠ABF＝45°， 同理：當∠ABF＝135°時，AB旋轉(zhuǎn)的此時BF的反向延長線上， ∴當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°或135°時與⊙O相切． （2）過點O作OH⊥AB于點H， ∵射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時與⊙O相交于M、N兩點， ∴∠ABC＝30°， ∴OH＝OB＝×4＝2， 在Rt△OMH中，OM＝2， ∴cos∠MOH＝＝， ∴∠MOH＝45°， ∴∠MON＝90°， ∴的長為：＝π． 21．如圖，⊙O1與⊙O2相交于點A和B，經(jīng)過A作直線與⊙O1相交于D，與⊙O2

46、相交于C，設弧BC的中點為M，弧BD的中點為N，線段CD的中點為K．求證：MK⊥KN． 【解答】證明：將△KDN繞點K順時針旋轉(zhuǎn)180°得△GCK，連接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延長AB交MN于S．…（3分） 則CG＝DN，∠GCK＝∠KDN， ∵弧BC的中點為M，弧BD的中點為N， ∴DN＝BN，MC＝MB，…（6分） ∴CG＝BN， 又∵∠KCM＝∠MBS，∠GCK＝∠KDN＝∠SBN， ∴∠GCM＝∠MBN，…（9分） 在△GCM與△NBM中， ， ∴△GCM≌△NBM（SAS），…（10分） ∴GM＝MN． 又GK＝KN， ∴MK⊥KN…（12分

47、） 22．△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，過點F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點H、G．求證：FH＝HG． 【解答】證明：過點A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點P、Q， ∵△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F， ∴∠BDF＝∠BFD， 又∵∠APF＝∠BDF，∠AFP＝∠BFD，∠PFA＝∠BFD， ∴∠APF＝∠AFP， ∴AP＝AF， 同理AQ＝AE， 又∵AF＝AE， ∴PA＝AQ， ∵△APD∽△HFD， ∴， 同理， ∴， ∴HF＝HG． 23．以O為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點A，過A引互相垂

48、直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值． 【解答】解：如圖，設OA＝a（定值）， 過O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C為垂足， 設OB＝x，OC＝y(tǒng)，0≤x≤a，（0≤y≤a）， 且x2+y2＝a2． 所以PQ＝2PB＝2， RS＝2． 所以PQ+RS＝2（﹣）． ∴（PQ+RS）2＝4（2﹣a2+2） 而x2y2＝x2（a2﹣x2）＝﹣（x2﹣）2+． 當x2＝時， （x2y2）最大值＝． 此時PQ+RS＝； 當x2＝0或x2＝a2時，（x2y2）最小值＝0， 此時（PQ+RS）最小值＝2（1+）． 24．如圖，已知銳角△ABC的外心為O，線段OA和

49、BC的中點分別為點M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大?。? 【解答】解：連接OC．設∠OMN＝x，則∠ABC＝4x，∠ACB＝6x； ∴∠NOC＝180°﹣10x，∠AOC＝8x， ∴∠ONM＝180°﹣（180°﹣10x+8x+x）＝x， ∴△MON為等腰三角形， ∴； ∴∠OBN＝30°， ∴180°﹣10x＝60°， ∴x＝12°． 25．設點O（0，0）、點A（2，0），分別以O、A為圓心，半徑為2r、r作圓，兩圓在第一象限的交點為P． （1）當r＝1時，求點P的坐標； （2）當時，能否找到一定點Q，使PQ為定值？若能找到，

50、請求出Q點的坐標及定值；若不能找到，請說明理由． 【解答】解：（1）設P（x，y）， 由勾股定理，得 解得（舍去負值） ∴P（）； （2）設P（x，y）， 由題意，得x2+y2＝4[（x﹣2）2+y2] 化簡，得x2+y2﹣x+＝0 即（x﹣）2+y2＝ ∴定點為（），定值為． 26．如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F． （1）求證：EF是⊙O切線； （2）若AB＝15，EF＝10，求AE的長． 【解答】（1）證明：連接OE， ∵∠B的平分線BE交AC于

51、D， ∴∠CBE＝∠ABE． ∵EF∥AC， ∴∠CAE＝∠FEA． ∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE， ∴∠FEA＝∠OEB． ∵∠AEB＝90°， ∴∠FEO＝90°． ∴EF是⊙O切線． （2）解：在△FEA與△FBE中， ∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE， ∴△FEA∽△FBE， ∴＝＝， ∴AF?BF＝EF?EF， ∴AF×（AF+15）＝10×10， 解得AF＝5． ∴BF＝20． ∴＝， ∴BE＝2AE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝152， ∴AE2+（2AE）2＝225， ∴AE＝3．

52、 27．如圖：已知a為常數(shù)，F(xiàn)1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），過F2作直線l，點A，B在直線l上，且滿足AF1﹣AF2＝BF1﹣BF2＝2a，M，N分別為△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓的圓心． （1）設⊙M與F1F2相切于點P1，⊙N與F1F2切于點P2，試判斷P1與P2的位置關系，并加以證明； （2）已知sin∠BF2F1＝，且MN＝，試求a的值． 【解答】解：（1）P1與P2重合． 證明：由題意得AC＝AD， ∵AF1﹣AF2＝2a， ∴CF1﹣DF2＝2a； 又∵F1C＝F1P1F2D＝F2P1， ∴P1F1﹣P1F2＝2a， 同理P2F1﹣P2F2＝2a，

53、 ∴P1與P2重合． （2）由（1）知：MP1⊥F1F2，NP2⊥F1F2，P1，P2重合． ∴M，P1，N共線，且MN⊥F1F2， 連接MN，NE，MD，則∠NED＝∠MDE＝90° 過N作NH⊥MD，H為垂足； ∵∠MP1F2＝∠MDF2＝90°，∠HMN＝∠BF2F1， ∴sin∠HMN＝sin∠BF2F1＝， 又MN＝， ∴NH＝MNsin∠HMN＝4， ∴ED＝4； 而DF2＝F2P1＝F2E， ∴F2P1＝2， 又由（1）P1F1﹣P1F2＝2a， ∴P1F1＝2+2a， ∴P1F1+P1F2＝2+2+2a＝2， 解得a＝4． 28．如圖，以

54、Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，過點D作⊙O的切線與BC交于點E，弦DM與AB垂直，垂足為H． （1）求證：E為BC的中點； （2）若⊙O的面積為12π，兩個三角形△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比． 【解答】解：（1）連接BD、OE， ∵AB是直徑，則∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB， ∵DE是切線， ∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO， ∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB， ∵∠ABC＝90°，即BC是圓的切線， ∴∠DBC＝∠CAB， ∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC

55、＝90°， ∴E為BC的中點； （2）△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3， 則兩個三角形的外接圓的直徑分別為AD、BM， ∴AD：BM＝， 而△ADH∽△MBH， ∴DH：BH＝， 則DH＝HM， ∴HM：BH＝， ∴∠BMH＝30°＝∠BAC， ∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中線， ∴DE＝CE， ∴△DEC為等邊三角形， ⊙O的面積：12π＝（AB）2π， 則AB＝4，∠CAB＝30°， ∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4， 四邊形OBED的外接圓面積S2＝π（2）2＝4π， 等邊三角形△DEC邊長為2，則其內(nèi)切圓的半徑為：，面積

56、為， 故△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比為：． 29．如圖，在?ABCD中，過A，B，C三點的⊙O交AD于E，且與CD相切． （1）求證：AC＝BC； （2）若AB＝4，BE＝6，求⊙O的半徑長． 【解答】（1）證明：連接CO，延長CO交AB于H． ∵CD是⊙O的切線， ∴OC⊥CD， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CH⊥AB， ∴AH＝BH，∵CH⊥AB， ∴CA＝CB． （2）解：連接EC、OB． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝AC＝BE＝6， 在

57、Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，BH＝2，BC＝6， ∴CH＝＝4，設OB＝r． 在Rt△OBH中，r2＝22+（4﹣r）2， 解得r＝． 30．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是弧BD的中點，AE與BC交于點F，∠C＝2∠EAB． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）已知CD＝4，CA＝6，求AF的長． 【解答】（1）證明：連結AD，如圖， ∵E是的中點， ∴∠DAB＝2∠EAB， ∵∠ACB＝2∠EAB， ∴∠ACB＝∠DAB， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠DAB＝90°，

58、即∠BAC＝90°， ∴AC是⊙O的切線； （2）∵∠EAC+∠EAB＝90°，∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB， ∴∠EAC＝∠AFD， ∴CF＝AC＝6， ∴DF＝2， ∵AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣42＝20， ∴ 31．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，⊙O的切線DE交AC于點E． （1）求證：E是AC中點； （2）若AB＝10，BC＝6，連接CD，OE，交點為F，求OF的長． 【解答】（1）證明：連接CD， ∵∠ACB＝90°，BC為⊙O直徑， ∴ED為⊙O切線，且∠ADC＝90°； ∵ED切⊙O

59、于點D， ∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC； ∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠A＝∠ADE， ∴AE＝ED， ∴AE＝CE， 即E為AC的中點； ∴BE＝CE； （2）解：連接OD， ∵∠ACB＝90°， ∴AC為⊙O的切線， ∵DE是⊙O的切線， ∴EO平分∠CED， ∴OE⊥CD，F(xiàn)為CD的中點， ∵點E、O分別為AC、BC的中點， ∴OE＝AB＝＝5， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8， ∵在Rt△ADC中，E為AC的中點， ∴DE＝AC＝＝4， 在Rt△EDO中，OD

60、＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5， 由三角形的面積公式得：S△EDO＝， 即4×3＝5×DF， 解得：DF＝2.4， 在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8． 32．如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求陰影部分的面積（結果保留π）． 【解答】（1）證明：∵⊙O切BC于D， ∴OD⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠OAD＝∠CA

61、D， 即AD平分∠CAB； （2）設EO與AD交于點M，連接ED． ∵∠BAC＝60°，OA＝OE， ∴△AEO是等邊三角形， ∴AE＝OA，∠AOE＝60°， ∴AE＝AO＝OD， 又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD， ∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°， ∴S△AEM＝S△DMO， ∴S陰影＝S扇形EOD＝＝π． 33．如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為2，求BC的長．

62、 【解答】（1）證明：連接OB，如圖所示： ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA+∠OBA＝90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切線； （2）解：∵⊙O的半徑為2， ∴OB＝2，AC＝4， ∵OP∥BC， ∴∠C＝∠BOP， 又∵∠ABC＝∠PBO＝90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴＝， 即 ＝， ∴BC＝2． 34．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E． （1）求證：∠BDC

63、＝∠A； （2）若CE＝2，DE＝2，求AD的長． （3）在（2）的條件下，求弧BD的長． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵CD是⊙O切線， ∴∠ODC＝90°， 即∠ODB+∠BDC＝90°， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， 即∠ODB+∠ADO＝90°， ∴∠BDC＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠A， ∴∠BDC＝∠A； （2）∵CE⊥AE， ∴∠E＝∠ADB＝90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠A， ∴∠A＝∠DCE， ∵∠E＝∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴＝， ∴EC2＝DE

64、?AE， ∴（2）2＝2（2+AD）， ∴AD＝4． （3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝， ∴∠DCE＝30°， 又∵△AEC∽△CED， ∴∠A＝∠DCE＝30°， ∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD?tanA＝4×＝， ∴△OBD是等邊三角形，則OD＝BD＝， 則弧BD的長是＝． 35．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF． （1）如圖①，AB是直徑，要使EF是⊙O的切線，還須添加一個條件是（只需寫出三種情況）． （Ⅰ）　EF⊥AB?。á颍　螧AE＝90°?。á螅　螦BC＝∠EAC　 （2）如圖（2），若AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠

65、B，則EF是⊙O的切線嗎？為什么？ 【解答】（1）解：如圖1中，當AB⊥EF或∠BAE＝90°可判斷EF為⊙O的切線； 當∠ABC＝∠EAC，∵AB為直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∴AB⊥EF， ∴EF為⊙O的切線； 故答案為AB⊥EF、∠BAE＝90°、∠ABC＝∠EAC； （2）證明：如圖2，作直徑AD，連接CD， ∵AD為直徑， ∴∠ACD＝90°， ∴∠D+∠CAD＝90°， ∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B， ∴∠CAE＝∠D， ∴∠EAC+∠CAD＝90°， ∴AD⊥EF， ∴EF

66、為⊙O的切線； 36．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD．過點D作DE⊥AC，垂足為點E． （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）當⊙O半徑為3，CE＝2時，求BD長． 【解答】（1）證明：連接OD，如圖， ∵AB為⊙0的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴AD平分BC，即DB＝DC， ∵OA＝OB， ∴OD為△ABC的中位線， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙0的切線； （2）證明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°， ∴△DEC∽△ADB， ∴， ∴BD?CD＝AB?CE， ∵BD＝CD， ∴BD2＝AB?CE， ∵⊙O半徑為3，CE＝2， ∴BD＝＝2． 37．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，經(jīng)過A、D兩點的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點E、F． （1）判斷直線BC與⊙O的位置關系并證明； （2）若⊙O的半徑為2，AC＝3，求BD的長度． 【解答】解：