人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第24章 圓 尖子生訓(xùn)練試題

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1、人教版九年級(jí)(上)《圓》 一.選擇題(共5小題) 1.已知⊙O的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點(diǎn),AO=1.P為圓上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊作等腰△APG,AP=PG,∠APG=120°,OG的最大值為(  ) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2﹣1 2.如圖,⊙O中,弦AB⊥CD,垂足為E,F(xiàn)為的中點(diǎn),連接AF、BF、AC,AF交CD于M,過(guò)F作FH⊥AC,垂足為G,以下結(jié)論:①=;②HC=BF:③MF=FC:④+=+,其中成立的個(gè)數(shù)是(  ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 3.如圖,直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),P是該直線上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D(3,0)向

2、以P為圓心,AB為半徑的⊙P作兩條切線,切點(diǎn)分別為E、F,則四邊形PEDF面積的最小值為(  ) A. B. C.2 D. 4.如圖,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60°,點(diǎn)O在∠B內(nèi),點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M,N,P分別是AD,DC,CB的中點(diǎn).若⊙O的半徑為2,則PN+MN的長(zhǎng)度的最大值是(  ) A. B. C. D. 5.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=10,P是半徑OA上的一動(dòng)點(diǎn),PC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C,在半徑OB上取點(diǎn)Q,使得OQ=CP,DQ⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)C,D位于AB兩側(cè),連接CD交AB于點(diǎn)F,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△CFP與△DFQ

3、的面積和的變化情況是( ?。? A.一直減小 B.一直不變 C.先變大后變小 D.先變小后變大 二.填空題(共9小題) 6.如圖,等邊△ABC中,AB=2,點(diǎn)D是以A為圓心,半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,取CD的中點(diǎn)E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為  ?。? 7.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半徑OA上,過(guò)點(diǎn)C做CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D.以CD,CA為邊分別向左、下作正方形CDEF,CAGH.過(guò)點(diǎn)B作GH的垂線與GH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I,M為HI的中點(diǎn).記正方形CDEF,CAGH,四邊形BCHI的面積分別為S1,S2,S3. (1)若AC:BC=2:3,則的

4、值為  ?。? (2)若D,O,M在同條直線上,則的值為  ?。? 8.如圖,直線y=﹣x+m(m>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D在直線y=﹣2上,以CD為直徑的圓與直線AB的另一交點(diǎn)為E,交y軸于點(diǎn)F,G,已知CE+DE=6,F(xiàn)G=2,則CD的長(zhǎng)是  ?。? 9.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=8,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),BC=3CD,點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PD為直徑作⊙O,點(diǎn)M為的中點(diǎn),連接AM,則AM的最小值為  ?。? 10.如圖,半徑為5的⊙O與y軸相交于A點(diǎn),B為⊙O在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)

5、,C為y軸上一點(diǎn)且∠OCB=60°,I為△BCO的內(nèi)心,則△AIO的外接圓的半徑的取值(或取值范圍)為  ?。? 11.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓上,AB=5,AC=4,D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E,連接BE,則BE的最小值是   . 12.如圖,已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),連結(jié)PB、PO,取BC的中點(diǎn)D,取OP的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,若∠OED=α,則∠PBC的度數(shù)為   .(用含α的代數(shù)式表示) 13.如圖,已知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn),以點(diǎn)B圓心的⊙B經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,B

6、C⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D為⊙B上一動(dòng)點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則線段CE長(zhǎng)度的最大值為  ?。? 14.如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且點(diǎn)B,F(xiàn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)E的直線對(duì)稱(chēng),如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切,那么AE=  ?。? 三.解答題(共36小題) 15.如圖,⊙O為△ABC的外接圓,D為OC與AB的交點(diǎn),E為線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠EAC=∠ABC. (1)求證:直線AE是⊙O的切線. (2)若D為AB的中點(diǎn),CD=6,AB=16 ①求⊙O的半徑; ②求△ABC的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離. 16.如圖,半圓O的直徑AB=20,將半圓O

7、繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′,與AB交于點(diǎn)P. (1)求AP的長(zhǎng); (2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π). 17.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)如果AB=5,BC=6,求DE的長(zhǎng). 18.如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),且AC平分∠PAE,過(guò)C作CD⊥PA,垂足為D. (1)求證:CD為⊙O的切線; (2)若CD=2AD,⊙O的直徑為20,求線段AC、AB的長(zhǎng). 19.如圖,已

8、知圓O的圓心為O,半徑為3,點(diǎn)M為圓O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),OM=,AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦,垂足為M. (1)當(dāng)AB=4時(shí),求四邊形ADBC的面積; (2)當(dāng)AB變化時(shí),求四邊形ADBC的面積的最大值. 20.如圖(1),∠ABC=90°,O為射線BC上一點(diǎn),OB=4,以點(diǎn)O為圓心,長(zhǎng)為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D、E. (1)當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切?請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)若射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn),如圖(2),求的長(zhǎng). 21.如圖,⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A和B,經(jīng)過(guò)A作直線與⊙O1相交于D,與⊙O2相交于C,設(shè)弧

9、BC的中點(diǎn)為M,弧BD的中點(diǎn)為N,線段CD的中點(diǎn)為K.求證:MK⊥KN. 22.△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F,過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點(diǎn)H、G.求證:FH=HG. 23.以O(shè)為圓心,1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A,過(guò)A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值. 24.如圖,已知銳角△ABC的外心為O,線段OA和BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.若∠ABC=4∠OMN,∠ACB=6∠OMN.求∠OMN的大?。? 25.設(shè)點(diǎn)O(0,0)、點(diǎn)A(2,0),分別以O(shè)、A為圓心,半徑為2r、r作圓,兩圓在第一象限的交點(diǎn)為P. (1)當(dāng)r=1時(shí),求

10、點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)當(dāng)時(shí),能否找到一定點(diǎn)Q,使PQ為定值?若能找到,請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不能找到,請(qǐng)說(shuō)明理由. 26.如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過(guò)E作EF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F. (1)求證:EF是⊙O切線; (2)若AB=15,EF=10,求AE的長(zhǎng). 27.如圖:已知a為常數(shù),F(xiàn)1(﹣,0),F(xiàn)2(,0),過(guò)F2作直線l,點(diǎn)A,B在直線l上,且滿(mǎn)足AF1﹣AF2=BF1﹣BF2=2a,M,N分別為△AF1F2,△BF1F2的內(nèi)切圓的圓心. (1)設(shè)⊙M與F1F2相切于點(diǎn)P1,⊙N與F1F

11、2切于點(diǎn)P2,試判斷P1與P2的位置關(guān)系,并加以證明; (2)已知sin∠BF2F1=,且MN=,試求a的值. 28.如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與BC交于點(diǎn)E,弦DM與AB垂直,垂足為H. (1)求證:E為BC的中點(diǎn); (2)若⊙O的面積為12π,兩個(gè)三角形△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3,求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比. 29.如圖,在?ABCD中,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的⊙O交AD于E,且與CD相切. (1)求證:AC=BC; (2)若AB=4,BE=6,求⊙O的半徑長(zhǎng). 30

12、.如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是弧BD的中點(diǎn),AE與BC交于點(diǎn)F,∠C=2∠EAB. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)已知CD=4,CA=6,求AF的長(zhǎng). 31.如圖,在△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E. (1)求證:E是AC中點(diǎn); (2)若AB=10,BC=6,連接CD,OE,交點(diǎn)為F,求OF的長(zhǎng). 32.如圖,點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連接AD. (1)求證:AD平分∠BAC; (2)若∠BAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積(結(jié)

13、果保留π). 33.如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C. (1)求證:PB是⊙O的切線; (2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2,求BC的長(zhǎng). 34.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,CD與⊙O相切于點(diǎn)D,CE⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:∠BDC=∠A; (2)若CE=2,DE=2,求AD的長(zhǎng). (3)在(2)的條件下,求弧BD的長(zhǎng). 35.已知△ABC內(nèi)接于⊙O,過(guò)點(diǎn)A作直線EF. (1)如圖①,AB是直徑,要使EF是⊙O的切線,還須添加一個(gè)條件是(只需

14、寫(xiě)出三種情況). (Ⅰ)   (Ⅱ)  ?。á螅?   (2)如圖(2),若AB為非直徑的弦,∠CAE=∠B,則EF是⊙O的切線嗎?為什么? 36.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點(diǎn)D,連接AD.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E. (1)求證:DE是⊙O的切線; (2)當(dāng)⊙O半徑為3,CE=2時(shí),求BD長(zhǎng). 37.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上,⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F. (1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系并證明; (2)若⊙O的半徑為2,AC=3

15、,求BD的長(zhǎng)度. 38.已知:如圖1,在⊙O中,直徑AB=4,CD=2,直線AD,BC相交于點(diǎn)E. (1)∠E的度數(shù)為  ??; (2)如圖2,AB與CD交于點(diǎn)F,請(qǐng)補(bǔ)全圖形并求∠E的度數(shù); (3)如圖3,弦AB與弦CD不相交,求∠AEC的度數(shù). 39.如圖,O是△ABC的外心,I是△ABC的內(nèi)心,連AI并延長(zhǎng)交BC和⊙O于D、E兩點(diǎn). (1)求證:EB=EI; (2)若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的長(zhǎng). 40.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠A=2∠CBF. (1)求證:BF與⊙

16、O相切. (2)若BC=CF=4,求BF的長(zhǎng)度. 41.如圖,以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC的中點(diǎn)D,DE與⊙O相切,且交BC于E.若⊙O的直徑為5,AC=8.求DE的長(zhǎng). 42.在⊙O中,AB是⊙O直徑,AC是弦,∠BAC=50°. (Ⅰ)如圖(1),D是AB上一點(diǎn),AD=AC,延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E,求∠CEO的大?。? (Ⅱ)如圖(2),D是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AD=AB,連接BD交⊙O于點(diǎn)E,求∠CEO的大小. 43.如圖,在⊙O中,AB為直徑,AC為弦.過(guò)BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G,作GD⊥AO于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,M是GE的中點(diǎn),連接CF,CM. (

17、1)判斷CM與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的長(zhǎng). 44.如圖,⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為2,點(diǎn)C在圓周上,∠CAB=30°,點(diǎn)D是圓上一動(dòng)點(diǎn),DE∥AB交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CD,交AB于點(diǎn)F. (Ⅰ)如圖1,當(dāng)∠ACD=45°時(shí),請(qǐng)你判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并加以證明; (Ⅱ)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),求△CDE的面積. 45.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F,使EF=AE,連接FB,F(xiàn)C. (1)求證:四邊形ABFC是菱形; (2)若AD=7,BE=2,求

18、半圓和菱形ABFC的面積. 46.如圖,已知AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上的點(diǎn),OC∥BD,交AD于點(diǎn)E,連結(jié)BC. (1)求證:AE=ED; (2)若AB=10,∠CBD=36°,求的長(zhǎng). 47.已知AB是⊙O的直徑,AB=2,點(diǎn)C,點(diǎn)D在⊙O上,CD=1,直線AD,BC交于點(diǎn)E. (Ⅰ)如圖1,若點(diǎn)E在⊙O外,求∠AEB的度數(shù). (Ⅱ)如圖2,若點(diǎn)E在⊙O內(nèi),求∠AEB的度數(shù). 48.如圖,已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓,點(diǎn)D在圓上,在CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E. (1)求證:EA是⊙O的切線; (2)求證:BD=CF.

19、 49.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD垂直平分OA,垂足為點(diǎn)M,連接并延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E,分別連接DE,BE,DB,其中∠EDB=30°,∠CDE的平分線DN交CE于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)N,延長(zhǎng)CE至點(diǎn)F,使FG=FD. (1)求證:DF是⊙O的切線; (2)若⊙O半徑r為8,求線段DB,BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積. 50.如圖,AH是圓O的直徑,AE平分∠FAH,交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E的直線FG⊥AF,垂足為F,B為直徑OH上一點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上. (1)求證:直線FG是⊙O的切線; (2)若AD=8,EB=5,求⊙O的直徑. 參

20、考答案與試題解析 一.選擇題(共5小題) 1.已知⊙O的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點(diǎn),AO=1.P為圓上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊作等腰△APG,AP=PG,∠APG=120°,OG的最大值為( ?。? A.1+ B.1+2 C.2+ D.2﹣1 【解答】解:如圖,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OT,連接AT,GT,OP.則AO=OT=1,AT=, ∵△AOT,△APG都是頂角為120°的等腰三角形, ∴∠OAT=∠PAG=30°, ∴∠OAP=∠TAG,== ∴=, ∴△OAP∽△TAG, ∴==,∵OP=2, ∴TG=2, ∵OG≤OT+GT, ∴OG≤1+

21、2, ∴OG的最大值為1+2, 故選:B. 2.如圖,⊙O中,弦AB⊥CD,垂足為E,F(xiàn)為的中點(diǎn),連接AF、BF、AC,AF交CD于M,過(guò)F作FH⊥AC,垂足為G,以下結(jié)論:①=;②HC=BF:③MF=FC:④+=+,其中成立的個(gè)數(shù)是( ?。? A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解答】解:∵F為的中點(diǎn), ∴=,故①正確, ∴∠FCM=∠FAC, ∵∠FCG=∠ACM+∠GCM,∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC, ∴∠AME=∠FMC=∠FCG>∠FCM, ∴FC>FM,故③錯(cuò)誤, ∵AB⊥CD,F(xiàn)H⊥AC, ∴∠AEM=∠CGF=90°, ∴∠CFH+

22、∠FCG=90°,∠BAF+∠AME=90°, ∴∠CFH=∠BAF, ∴=, ∴HC=BF,故②正確, ∵∠AGF=90°, ∴∠CAF+∠AFH=90°, ∴的度數(shù)+的度數(shù)=180°, ∴的度數(shù)+的度數(shù)=180°, ∴+=+=+=+,故④正確, 故選:C. 3.如圖,直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),P是該直線上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D(3,0)向以P為圓心,AB為半徑的⊙P作兩條切線,切點(diǎn)分別為E、F,則四邊形PEDF面積的最小值為( ?。? A. B. C.2 D. 【解答】解:如圖,連接DP, ∵直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),

23、 當(dāng)x=0時(shí),y=1,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣2, ∴A(﹣2,0),B(0,1), ∴AB=, ∵過(guò)點(diǎn)D(3,0)向以P為圓心,AB為半徑的⊙P作兩條切線,切點(diǎn)分別為E、F, ∴DE=DF,PE⊥DE, ∵PE=PF,PD=PD, ∴△PED≌△PFD(SSS), ∵⊙P的半徑為, ∴DE=, 當(dāng)DP⊥AP時(shí),DP最小,此時(shí)DP=AD?sin∠BAO=5×, ∵四邊形PEDF面積=2S△PED=2×PE×DE=DE, ∴四邊形PEDF面積的最小值為. 故選:A. 4.如圖,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60°,點(diǎn)O在∠B內(nèi),點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M,N,P分別是AD,DC,

24、CB的中點(diǎn).若⊙O的半徑為2,則PN+MN的長(zhǎng)度的最大值是( ?。? A. B. C. D. 【解答】解:連接OC、OA、BD,作OH⊥AC于H. ∵∠AOC=2∠ABC=120°, ∵OA=OC,OH⊥AC, ∴∠COH=∠AOH=60°,CH=AH, ∴CH=AH=OC?sin60°=, ∴AC=2, ∵CN=DN,DM=AM, ∴MN=AC=, ∵CP=PB,AN=DN, ∴PN=BD, 當(dāng)BD是直徑時(shí),PN的值最大,最大值為2, ∴PM+MN的最大值為2+. 故選:D. 5.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=10,P是半徑OA上的一動(dòng)點(diǎn),PC⊥AB交⊙O

25、于點(diǎn)C,在半徑OB上取點(diǎn)Q,使得OQ=CP,DQ⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)C,D位于AB兩側(cè),連接CD交AB于點(diǎn)F,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△CFP與△DFQ的面積和的變化情況是( ?。? A.一直減小 B.一直不變 C.先變大后變小 D.先變小后變大 【解答】解:連接OC,OD,PD,CQ.設(shè)PC=x,OP=y(tǒng),OF=a, ∵PC⊥AB,QD⊥AB, ∴∠CPO=∠OQD=90°, ∵PC=OQ,OC=OD, ∴Rt△OPC≌Rt△DQO, ∴OP=DQ=y(tǒng), ∴S陰=S四邊形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ=(x+y)2﹣?(y﹣a)y﹣(

26、x+a)x=xy+a(y﹣x), ∵PC∥DQ, ∴=, ∴=, ∴a=y(tǒng)﹣x, ∴S陰=xy+(y﹣x)(y﹣x)=(x2+y2)= 故選:B. 二.填空題(共9小題) 6.如圖,等邊△ABC中,AB=2,點(diǎn)D是以A為圓心,半徑為1的圓上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,取CD的中點(diǎn)E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為 ?。? 【解答】解:延長(zhǎng)CB到T,使得BT=BC,連接AT,DT,AD. ∵△ABC是等邊三角形, ∴BA=BC=AC=BT=2,∠ACB=60°, ∴∠CAT=90°, ∴AT=CT?sin60°=2, ∵AD=1, ∴2﹣1≤DT≤2+1,

27、 ∵CB=BT,CE=DE, ∴BE=DT, ∴≤BE≤, ∴線段BE的最大值與最小值之和為2, 故答案為2. 7.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半徑OA上,過(guò)點(diǎn)C做CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D.以CD,CA為邊分別向左、下作正方形CDEF,CAGH.過(guò)點(diǎn)B作GH的垂線與GH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I,M為HI的中點(diǎn).記正方形CDEF,CAGH,四邊形BCHI的面積分別為S1,S2,S3. (1)若AC:BC=2:3,則的值為 ?。? (2)若D,O,M在同條直線上,則的值為  . 【解答】解:(1)如圖,利用AD,BD. ∵AB是直徑, ∴∠ADB=90°, ∵DC⊥AB, ∴

28、∠ACD=∠DCB=90°, ∴∠ADC+∠CAD=90°,∠ADC+∠BDC=90°, ∴∠BDC=∠DAC, ∴△ACD∽△DCB, ∴CD:CB=AC:CD, ∵AC:CB=2:3, ∴可以假設(shè)AC=2k,BC=3k, ∴CD2=6k2, ∴===, 故答案為. (2)當(dāng)D.O.M共線時(shí),設(shè)CD=a,AC=b, ∵CD2=AC?BC, ∴BC=, ∴AB=b+=,CO=OA﹣AC=,HM=MI=HL=CB=, ∵CO∥HM, ∴=, ∴=, 整理得:()[()2+﹣1]=0 ∵≠0, ∴=或(舍棄), ∵==1+()2, ∴=. 故答案為.

29、 8.如圖,直線y=﹣x+m(m>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D在直線y=﹣2上,以CD為直徑的圓與直線AB的另一交點(diǎn)為E,交y軸于點(diǎn)F,G,已知CE+DE=6,F(xiàn)G=2,則CD的長(zhǎng)是 3?。? 【解答】解:如圖,設(shè)CD的中點(diǎn)為O′,延長(zhǎng)BA交直線y=﹣2于M,直線y=﹣2交y軸于P,作CH⊥OB于H,連接O′F,作AJ⊥DM于J,O′N(xiāo)⊥FG于N. ∵CD是⊙O′的直徑, ∴∠CED=90°, ∵直線y=﹣x+m(m>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B, ∴A(m,0),B(0,m), ∴OA=OB, ∴∠OAB=45°, ∵OA∥DM,

30、∴∠EMD=∠OAB=45°, ∵∠DEM=90°, ∴ED=EM, ∴EC+ED=EC+EM=CM=6, ∵JA⊥DM, ∴∠AJM=90°, ∴AJ=JM=2,AM=2, ∴BC=CA=4, ∴A(8,0).B(0,8),C(4,4),設(shè)D(m,﹣2),則O′N(xiāo)=(m+4),O′F=CD=?, ∵O′N(xiāo)⊥FG, ∴FN=, 在Rt△O′FN中,()2+(m+4)2=[(m﹣4)2+62], 解得m=1, ∴CD==3. 故答案為3. 9.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=8,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),BC=3CD,點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以

31、PD為直徑作⊙O,點(diǎn)M為的中點(diǎn),連接AM,則AM的最小值為 5?。? 【解答】解:如圖,連接OM,CM,過(guò)點(diǎn)A作AT⊥CM交CM的延長(zhǎng)線于T. ∵=, ∴OM⊥PD, ∴∠MOD=90°, ∴∠MCD=∠MOD=45°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACT=45°, ∵AT⊥CT, ∴∠ATC=90°, ∵AC=10, ∴AT=AC?sin45°=5, ∵AM≥AT, ∴AM, ∴AM的最小值為5, 故答案為5. 10.如圖,半徑為5的⊙O與y軸相交于A點(diǎn),B為⊙O在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),C為y軸上一點(diǎn)且∠OCB=60°,I為△BCO的內(nèi)心,則

32、△AIO的外接圓的半徑的取值(或取值范圍)為 ?。? 【解答】解:如圖, ∵∠BCO=60°, ∴∠CBO+∠COB=120°, ∵I是內(nèi)心, ∴∠IOB=∠COB,∠IBO=∠CBO, ∴∠IOB+∠IBO=(∠COB+CBO)=60°, ∴∠OIB=180°﹣∠IOB﹣∠IBO=120°, ∵OA=OB,∠AOI=∠BOI,OI=OI, ∴△AIO≌△BOI(SAS), ∴∠AIO=∠BIO=120°, 作△AOI的外接圓⊙G,連接AG,OG,作GD⊥OA于D. ∵∠AIO=120°=定值,OA=5=定值, ∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是, ∴△AOI的外接圓的半徑是

33、定值, ∵GA=GO,GD⊥OA,∠AGO=120°, ∴∠AGD=∠AGO=120°,AD=OD=, ∴AG===. 故答案為. 11.如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在半圓上,AB=5,AC=4,D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E,連接BE,則BE的最小值是 ﹣2?。? 【解答】解:如圖,連接BO′、BC. ∵CE⊥AD, ∴∠AEC=90°, ∴在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng), ∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°, 在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=5, ∴BC===3, 在Rt△BCO′中,BO′===, ∵O′E+

34、BE≥O′B, ∴當(dāng)O′、E、B共線時(shí),BE的值最小,最小值為O′B﹣O′E=﹣2, 故答案為:﹣2. 12.如圖,已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),連結(jié)PB、PO,取BC的中點(diǎn)D,取OP的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,若∠OED=α,則∠PBC的度數(shù)為 60°+α?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示) 【解答】解:如圖:連接OD、OB, ∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O, ∴OD⊥BC,OD=OB,∠OBD=30°. ∵E點(diǎn)是OP的中點(diǎn), ∴OEOP, ∵OB=OP, ∴OD=OE, ∴∠OED=∠ODE=α, ∴∠EOD=180°﹣2α. 因?yàn)樗倪呅?/p>

35、DOEB內(nèi)角和為360°, ∴∠BED=360°﹣90°﹣60°﹣(180﹣2α)﹣α=30°+α, ∠EOB=180°﹣30°﹣(30+2α)=120﹣2α. ∵OB=OP, ∴∠P=∠OBP=(180°﹣∠POB)=(180﹣120+2α)=30°+α. ∴∠PBC=∠OBP+∠OBC=30°+α+30°=60°+α. 故答案為60°+α. 13.如圖,已知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn),以點(diǎn)B圓心的⊙B經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,BC⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D為⊙B上一動(dòng)點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則線段CE長(zhǎng)度的最大值為 ?。? 【解答】解:如圖,作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,連接B

36、A′,BD,DA′. 由題意AC=CA′=2,BC=3,BD=OB==5, ∴BA′==, ∵AC=CA′,DE=EA, ∴EC=DA′, ∵DA′≤BD+BA′, ∴DA′≤5+, ∴DA′的最大值為5+, ∴EC的最大值為, 故答案為. 14.如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且點(diǎn)B,F(xiàn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)E的直線對(duì)稱(chēng),如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切,那么AE= 6﹣ . 【解答】解:如圖,設(shè)⊙O與EF相切于M,連接EB,作EH⊥BC于H. 由題意易知四邊形AEHB是矩形,設(shè)AE=BH=x, 由切線長(zhǎng)定理可知,ED=EM,

37、FC=FM, ∵B、F關(guān)于EH對(duì)稱(chēng), ∴HF=BH=x,ED=EM=8﹣x,F(xiàn)C=FM=8﹣2x,EF=16﹣3x, 在Rt△EFH中,∵EF2=EH2+HF2, ∴42+x2=(16﹣3x)2, 解得x=6﹣或6+(舍棄), ∴AE=6﹣, 故答案為:6﹣. 三.解答題(共36小題) 15.如圖,⊙O為△ABC的外接圓,D為OC與AB的交點(diǎn),E為線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠EAC=∠ABC. (1)求證:直線AE是⊙O的切線. (2)若D為AB的中點(diǎn),CD=6,AB=16 ①求⊙O的半徑; ②求△ABC的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離. 【解答】解:(1)證明:連接AO,并延

38、長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF ∵AF是直徑 ∴∠ACF=90° ∴∠F+∠FAC=90°, ∵∠F=∠ABC,∠ABC=∠EAC ∴∠EAC=∠F ∴∠EAC+∠FAC=90° ∴∠EAF=90°,且AO是半徑 ∴直線AE是⊙O的切線. (2)①如圖,連接AO, ∵D為AB的中點(diǎn),OD過(guò)圓心, ∴OD⊥AB,AD=BD=AB=8, ∵AO2=AD2+DO2, ∴AO2=82+(AO﹣6)2, ∴AO=, ∴⊙O的半徑為; ②如圖,作∠CAB的平分線交CD于點(diǎn)H,連接BH,過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AC,HN⊥BC, ∵OD⊥AB,AD=BD ∴AC=BC,且

39、AD=BD ∴CD平分∠ACB,且AH平分∠CAB ∴點(diǎn)H是△ABC的內(nèi)心,且HM⊥AC,HN⊥BC,HD⊥AB ∴MH=NH=DH 在Rt△ACD中,AC===BC, ∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH, ∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH, ∴DH=, ∵OH=CO﹣CH=CO﹣(CD﹣DH), ∴OH=﹣(6﹣)═5. 16.如圖,半圓O的直徑AB=20,將半圓O繞點(diǎn)B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′,與AB交于點(diǎn)P. (1)求AP的長(zhǎng); (2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π). 【解答】解:(1)∵∠OBA′=45°,O′P=

40、O′B, ∴△O′PB是等腰直角三角形, ∴PB=BO, ∴AP=AB﹣BP=20﹣10; (2)陰影部分面積為: S陰影=S扇形O′A′P+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50. 17.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)如果AB=5,BC=6,求DE的長(zhǎng). 【解答】解:(1)相切,理由如下: 連接AD,OD, ∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°. ∴AD⊥BC. ∵AB=AC, ∴CD=BD=BC

41、. ∵OA=OB, ∴OD∥AC. ∴∠ODE=∠CED. ∵DE⊥AC, ∴∠ODE=∠CED=90°. ∴OD⊥DE. ∴DE與⊙O相切. (2)由(1)知∠ADC=90°, ∴在Rt△ADC中,由勾股定理 得 AD==4. ∵SACD=AD?CD=AC?DE, ∴×4×3=×5DE. ∴DE=. 18.如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),且AC平分∠PAE,過(guò)C作CD⊥PA,垂足為D. (1)求證:CD為⊙O的切線; (2)若CD=2AD,⊙O的直徑為20,求線段AC、AB的長(zhǎng). 【解答】證明:(1)連接OC

42、. ∵點(diǎn)C在⊙O上,OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC, ∵CD⊥PA, ∴∠CDA=90°, ∴∠CAD+∠DCA=90°, ∵AC平分∠PAE, ∴∠DAC=∠CAO, ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°, ∴CD是⊙O切線. (2)作OF⊥AB于F, ∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°, ∴四邊形CDFO是矩形, ∴OC=FD,OF=CD, ∵CD=2AD,設(shè)AD=x,則OF=CD=2x, ∵DF=OC=10, ∴AF=10﹣x, 在Rt△AOF中,AF2+OF2=OA2, ∴(10﹣x)2+(2x)2=102, 解得

43、x=4或0(舍棄), ∴AD=4,AF=6,AC=4, ∵OF⊥AB, ∴AB=2AF=12. 19.如圖,已知圓O的圓心為O,半徑為3,點(diǎn)M為圓O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),OM=,AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦,垂足為M. (1)當(dāng)AB=4時(shí),求四邊形ADBC的面積; (2)當(dāng)AB變化時(shí),求四邊形ADBC的面積的最大值. 【解答】解:(1)作OE⊥CD于E,OF⊥AB于F,連接OB,OC, 那么AB=2=4, ∴OF=, 又∵OE2+OF2=OM2=5, ∴OE=0, ∴CD=6, ∴S四邊形ADBC=AB×CD=12; (2)設(shè)OE=x,OF=y(tǒng),則x2+y

44、2=5, ∵AB=2,CD=2, ∴S四邊形ADBC=AB×CD=2×=2=2, ∴當(dāng)x2=時(shí),四邊形ADBC的最大面積是13. 20.如圖(1),∠ABC=90°,O為射線BC上一點(diǎn),OB=4,以點(diǎn)O為圓心,長(zhǎng)為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D、E. (1)當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切?請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)若射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn),如圖(2),求的長(zhǎng). 【解答】解:(1)當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°或135°時(shí)與⊙O相切. 理由如下:如圖,設(shè)切點(diǎn)為F,連OF.則OF⊥BF, 在Rt△OBF中,OF=2,OB

45、=4, ∴cos∠OBF==, ∴∠OBF=∠BOF=45°, ∴∠ABF=45°, 同理:當(dāng)∠ABF=135°時(shí),AB旋轉(zhuǎn)的此時(shí)BF的反向延長(zhǎng)線上, ∴當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°或135°時(shí)與⊙O相切. (2)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H, ∵射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn), ∴∠ABC=30°, ∴OH=OB=×4=2, 在Rt△OMH中,OM=2, ∴cos∠MOH==, ∴∠MOH=45°, ∴∠MON=90°, ∴的長(zhǎng)為:=π. 21.如圖,⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A和B,經(jīng)過(guò)A作直線與⊙O1相交于D,與⊙O2

46、相交于C,設(shè)弧BC的中點(diǎn)為M,弧BD的中點(diǎn)為N,線段CD的中點(diǎn)為K.求證:MK⊥KN. 【解答】證明:將△KDN繞點(diǎn)K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得△GCK,連接MC,MB,GC,NB,ND,MN,延長(zhǎng)AB交MN于S.…(3分) 則CG=DN,∠GCK=∠KDN, ∵弧BC的中點(diǎn)為M,弧BD的中點(diǎn)為N, ∴DN=BN,MC=MB,…(6分) ∴CG=BN, 又∵∠KCM=∠MBS,∠GCK=∠KDN=∠SBN, ∴∠GCM=∠MBN,…(9分) 在△GCM與△NBM中, , ∴△GCM≌△NBM(SAS),…(10分) ∴GM=MN. 又GK=KN, ∴MK⊥KN…(12分

47、) 22.△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F,過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點(diǎn)H、G.求證:FH=HG. 【解答】證明:過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線分別交直線DE、DF于點(diǎn)P、Q, ∵△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F, ∴∠BDF=∠BFD, 又∵∠APF=∠BDF,∠AFP=∠BFD,∠PFA=∠BFD, ∴∠APF=∠AFP, ∴AP=AF, 同理AQ=AE, 又∵AF=AE, ∴PA=AQ, ∵△APD∽△HFD, ∴, 同理, ∴, ∴HF=HG. 23.以O(shè)為圓心,1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A,過(guò)A引互相垂

48、直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值. 【解答】解:如圖,設(shè)OA=a(定值), 過(guò)O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B、C為垂足, 設(shè)OB=x,OC=y(tǒng),0≤x≤a,(0≤y≤a), 且x2+y2=a2. 所以PQ=2PB=2, RS=2. 所以PQ+RS=2(﹣). ∴(PQ+RS)2=4(2﹣a2+2) 而x2y2=x2(a2﹣x2)=﹣(x2﹣)2+. 當(dāng)x2=時(shí), (x2y2)最大值=. 此時(shí)PQ+RS=; 當(dāng)x2=0或x2=a2時(shí),(x2y2)最小值=0, 此時(shí)(PQ+RS)最小值=2(1+). 24.如圖,已知銳角△ABC的外心為O,線段OA和

49、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.若∠ABC=4∠OMN,∠ACB=6∠OMN.求∠OMN的大?。? 【解答】解:連接OC.設(shè)∠OMN=x,則∠ABC=4x,∠ACB=6x; ∴∠NOC=180°﹣10x,∠AOC=8x, ∴∠ONM=180°﹣(180°﹣10x+8x+x)=x, ∴△MON為等腰三角形, ∴; ∴∠OBN=30°, ∴180°﹣10x=60°, ∴x=12°. 25.設(shè)點(diǎn)O(0,0)、點(diǎn)A(2,0),分別以O(shè)、A為圓心,半徑為2r、r作圓,兩圓在第一象限的交點(diǎn)為P. (1)當(dāng)r=1時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)當(dāng)時(shí),能否找到一定點(diǎn)Q,使PQ為定值?若能找到,

50、請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不能找到,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解答】解:(1)設(shè)P(x,y), 由勾股定理,得 解得(舍去負(fù)值) ∴P(); (2)設(shè)P(x,y), 由題意,得x2+y2=4[(x﹣2)2+y2] 化簡(jiǎn),得x2+y2﹣x+=0 即(x﹣)2+y2= ∴定點(diǎn)為(),定值為. 26.如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過(guò)E作EF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F. (1)求證:EF是⊙O切線; (2)若AB=15,EF=10,求AE的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接OE, ∵∠B的平分線BE交AC于

51、D, ∴∠CBE=∠ABE. ∵EF∥AC, ∴∠CAE=∠FEA. ∵∠OBE=∠OEB,∠CBE=∠CAE, ∴∠FEA=∠OEB. ∵∠AEB=90°, ∴∠FEO=90°. ∴EF是⊙O切線. (2)解:在△FEA與△FBE中, ∵∠F=∠F,∠FEA=∠FBE, ∴△FEA∽△FBE, ∴==, ∴AF?BF=EF?EF, ∴AF×(AF+15)=10×10, 解得AF=5. ∴BF=20. ∴=, ∴BE=2AE, ∵AB為⊙O的直徑, ∴∠AEB=90°, ∴AE2+BE2=152, ∴AE2+(2AE)2=225, ∴AE=3.

52、 27.如圖:已知a為常數(shù),F(xiàn)1(﹣,0),F(xiàn)2(,0),過(guò)F2作直線l,點(diǎn)A,B在直線l上,且滿(mǎn)足AF1﹣AF2=BF1﹣BF2=2a,M,N分別為△AF1F2,△BF1F2的內(nèi)切圓的圓心. (1)設(shè)⊙M與F1F2相切于點(diǎn)P1,⊙N與F1F2切于點(diǎn)P2,試判斷P1與P2的位置關(guān)系,并加以證明; (2)已知sin∠BF2F1=,且MN=,試求a的值. 【解答】解:(1)P1與P2重合. 證明:由題意得AC=AD, ∵AF1﹣AF2=2a, ∴CF1﹣DF2=2a; 又∵F1C=F1P1F2D=F2P1, ∴P1F1﹣P1F2=2a, 同理P2F1﹣P2F2=2a,

53、 ∴P1與P2重合. (2)由(1)知:MP1⊥F1F2,NP2⊥F1F2,P1,P2重合. ∴M,P1,N共線,且MN⊥F1F2, 連接MN,NE,MD,則∠NED=∠MDE=90° 過(guò)N作NH⊥MD,H為垂足; ∵∠MP1F2=∠MDF2=90°,∠HMN=∠BF2F1, ∴sin∠HMN=sin∠BF2F1=, 又MN=, ∴NH=MNsin∠HMN=4, ∴ED=4; 而DF2=F2P1=F2E, ∴F2P1=2, 又由(1)P1F1﹣P1F2=2a, ∴P1F1=2+2a, ∴P1F1+P1F2=2+2+2a=2, 解得a=4. 28.如圖,以

54、Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與BC交于點(diǎn)E,弦DM與AB垂直,垂足為H. (1)求證:E為BC的中點(diǎn); (2)若⊙O的面積為12π,兩個(gè)三角形△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3,求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比. 【解答】解:(1)連接BD、OE, ∵AB是直徑,則∠ADB=90°=∠ADO+∠ODB, ∵DE是切線, ∴∠ODE=90°=∠EDB+∠BDO, ∴∠EDB=∠ADO=∠CAB, ∵∠ABC=90°,即BC是圓的切線, ∴∠DBC=∠CAB, ∴∠EDB=∠EBD,而∠BDC

55、=90°, ∴E為BC的中點(diǎn); (2)△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3, 則兩個(gè)三角形的外接圓的直徑分別為AD、BM, ∴AD:BM=, 而△ADH∽△MBH, ∴DH:BH=, 則DH=HM, ∴HM:BH=, ∴∠BMH=30°=∠BAC, ∴∠C=60°,DE是直角三角形的中線, ∴DE=CE, ∴△DEC為等邊三角形, ⊙O的面積:12π=(AB)2π, 則AB=4,∠CAB=30°, ∴BD=2,BC=4,AC=8,而OE=AC=4, 四邊形OBED的外接圓面積S2=π(2)2=4π, 等邊三角形△DEC邊長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切圓的半徑為:,面積

56、為, 故△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比為:. 29.如圖,在?ABCD中,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的⊙O交AD于E,且與CD相切. (1)求證:AC=BC; (2)若AB=4,BE=6,求⊙O的半徑長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接CO,延長(zhǎng)CO交AB于H. ∵CD是⊙O的切線, ∴OC⊥CD, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CH⊥AB, ∴AH=BH,∵CH⊥AB, ∴CA=CB. (2)解:連接EC、OB. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AE∥BC, ∴∠AEB=∠EBC, ∴=, ∴=, ∴BC=AC=BE=6, 在

57、Rt△BCH中,∵∠CHB=90°,BH=2,BC=6, ∴CH==4,設(shè)OB=r. 在Rt△OBH中,r2=22+(4﹣r)2, 解得r=. 30.如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是弧BD的中點(diǎn),AE與BC交于點(diǎn)F,∠C=2∠EAB. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)已知CD=4,CA=6,求AF的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連結(jié)AD,如圖, ∵E是的中點(diǎn), ∴∠DAB=2∠EAB, ∵∠ACB=2∠EAB, ∴∠ACB=∠DAB, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°, ∴∠DAC+∠ACB=90°, ∴∠DAC+∠DAB=90°,

58、即∠BAC=90°, ∴AC是⊙O的切線; (2)∵∠EAC+∠EAB=90°,∠DAE+∠AFD=90°,∠EAD=∠EAB, ∴∠EAC=∠AFD, ∴CF=AC=6, ∴DF=2, ∵AD2=AC2﹣CD2=62﹣42=20, ∴ 31.如圖,在△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E. (1)求證:E是AC中點(diǎn); (2)若AB=10,BC=6,連接CD,OE,交點(diǎn)為F,求OF的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接CD, ∵∠ACB=90°,BC為⊙O直徑, ∴ED為⊙O切線,且∠ADC=90°; ∵ED切⊙O

59、于點(diǎn)D, ∴EC=ED, ∴∠ECD=∠EDC; ∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠A=∠ADE, ∴AE=ED, ∴AE=CE, 即E為AC的中點(diǎn); ∴BE=CE; (2)解:連接OD, ∵∠ACB=90°, ∴AC為⊙O的切線, ∵DE是⊙O的切線, ∴EO平分∠CED, ∴OE⊥CD,F(xiàn)為CD的中點(diǎn), ∵點(diǎn)E、O分別為AC、BC的中點(diǎn), ∴OE=AB==5, 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,由勾股定理得:AC=8, ∵在Rt△ADC中,E為AC的中點(diǎn), ∴DE=AC==4, 在Rt△EDO中,OD

60、=BC==3,DE=4,由勾股定理得:OE=5, 由三角形的面積公式得:S△EDO=, 即4×3=5×DF, 解得:DF=2.4, 在Rt△DFO中,由勾股定理得:OF===1.8. 32.如圖,點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連接AD. (1)求證:AD平分∠BAC; (2)若∠BAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π). 【解答】(1)證明:∵⊙O切BC于D, ∴OD⊥BC, ∵AC⊥BC, ∴AC∥OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∴∠OAD=∠CA

61、D, 即AD平分∠CAB; (2)設(shè)EO與AD交于點(diǎn)M,連接ED. ∵∠BAC=60°,OA=OE, ∴△AEO是等邊三角形, ∴AE=OA,∠AOE=60°, ∴AE=AO=OD, 又由(1)知,AC∥OD即AE∥OD, ∴四邊形AEDO是菱形,則△AEM≌△DMO,∠EOD=60°, ∴S△AEM=S△DMO, ∴S陰影=S扇形EOD==π. 33.如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C. (1)求證:PB是⊙O的切線; (2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2,求BC的長(zhǎng).

62、 【解答】(1)證明:連接OB,如圖所示: ∵AC是⊙O的直徑, ∴∠ABC=90°, ∴∠C+∠BAC=90°, ∵OA=OB, ∴∠BAC=∠OBA, ∵∠PBA=∠C, ∴∠PBA+∠OBA=90°, 即PB⊥OB, ∴PB是⊙O的切線; (2)解:∵⊙O的半徑為2, ∴OB=2,AC=4, ∵OP∥BC, ∴∠C=∠BOP, 又∵∠ABC=∠PBO=90°, ∴△ABC∽△PBO, ∴=, 即 =, ∴BC=2. 34.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,CD與⊙O相切于點(diǎn)D,CE⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證:∠BDC

63、=∠A; (2)若CE=2,DE=2,求AD的長(zhǎng). (3)在(2)的條件下,求弧BD的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接OD, ∵CD是⊙O切線, ∴∠ODC=90°, 即∠ODB+∠BDC=90°, ∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°, 即∠ODB+∠ADO=90°, ∴∠BDC=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠A, ∴∠BDC=∠A; (2)∵CE⊥AE, ∴∠E=∠ADB=90°, ∴DB∥EC, ∴∠DCE=∠BDC, ∵∠BDC=∠A, ∴∠A=∠DCE, ∵∠E=∠E, ∴△AEC∽△CED, ∴=, ∴EC2=DE

64、?AE, ∴(2)2=2(2+AD), ∴AD=4. (3)∵直角△CDE中,tan∠DCE===, ∴∠DCE=30°, 又∵△AEC∽△CED, ∴∠A=∠DCE=30°, ∴∠DOB=2∠A=60°,BD=AD?tanA=4×=, ∴△OBD是等邊三角形,則OD=BD=, 則弧BD的長(zhǎng)是=. 35.已知△ABC內(nèi)接于⊙O,過(guò)點(diǎn)A作直線EF. (1)如圖①,AB是直徑,要使EF是⊙O的切線,還須添加一個(gè)條件是(只需寫(xiě)出三種情況). (Ⅰ) EF⊥AB?。á颍 螧AE=90°?。á螅 螦BC=∠EAC  (2)如圖(2),若AB為非直徑的弦,∠CAE=∠

65、B,則EF是⊙O的切線嗎?為什么? 【解答】(1)解:如圖1中,當(dāng)AB⊥EF或∠BAE=90°可判斷EF為⊙O的切線; 當(dāng)∠ABC=∠EAC,∵AB為直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC+∠CAB=90°, ∴∠EAC+∠CAB=90°, ∴AB⊥EF, ∴EF為⊙O的切線; 故答案為AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC; (2)證明:如圖2,作直徑AD,連接CD, ∵AD為直徑, ∴∠ACD=90°, ∴∠D+∠CAD=90°, ∵∠D=∠B,∠CAE=∠B, ∴∠CAE=∠D, ∴∠EAC+∠CAD=90°, ∴AD⊥EF, ∴EF

66、為⊙O的切線; 36.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點(diǎn)D,連接AD.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E. (1)求證:DE是⊙O的切線; (2)當(dāng)⊙O半徑為3,CE=2時(shí),求BD長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接OD,如圖, ∵AB為⊙0的直徑, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD平分BC,即DB=DC, ∵OA=OB, ∴OD為△ABC的中位線, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE, ∴DE是⊙0的切線; (2)證明:∵∠B=∠C,∠CED=∠BDA=90°, ∴△DEC∽△ADB, ∴, ∴BD?CD=AB?CE, ∵BD=CD, ∴BD2=AB?CE, ∵⊙O半徑為3,CE=2, ∴BD==2. 37.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上,⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F. (1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系并證明; (2)若⊙O的半徑為2,AC=3,求BD的長(zhǎng)度. 【解答】解:

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