重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 四邊形 第2節(jié) 矩形、菱形、正方形練習(xí)冊(cè)

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1、 第2節(jié)　矩形、菱形、正方形 (建議答題時(shí)間：60分鐘) 基礎(chǔ)過關(guān) 　1. (2017益陽(yáng))下列性質(zhì)中，菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A. 對(duì)角線互相平分 B. 對(duì)角線互相垂直 C. 對(duì)角線相等 D. 既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 2. (2017廣安)下列說法：①四邊相等的四邊形一定是菱形；②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形；③對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形；④經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，其中正確的有(　　)個(gè) A. 4 B. 3 C. 2

2、 D. 1 3. (2017上海)已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對(duì)角線，那么下列條件中，能判斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是(　　) A. ∠BAC＝∠DCA B. ∠BAC＝∠DAC C. ∠BAC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠ADB 4．(2017重慶八中一模)在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，則菱形的高為(　　) A. B. 5 C. D. 5. (2017重慶南岸區(qū)期末模擬)矩形的兩條對(duì)角線的一個(gè)夾角為60°，對(duì)角線長(zhǎng)為10，則這個(gè)矩形的面積

3、為(　　) A. 25 B. 25 C. 50 D. 100 6. (2017蘭州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ADB＝30°，AB＝4，則OC＝(　　) A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 第6題圖 第7題圖 7．(2017海南)如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，則△ABC的周長(zhǎng)(　　) A. 14 B. 16

4、 C. 18 D. 20 8. (2017山西)如圖，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到△BC′D，C′D與AB交于點(diǎn)E.若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為(　　) A. 20° B. 30° C. 35° D. 55° 第8題圖 第9題圖 9. (2017淮安)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，若∠EAC＝∠ECA，則AC的長(zhǎng)是(　　)

5、 A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 10.(2017河北)求證：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直． 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O. 求證：AC⊥BD. 以下是排亂的證明過程：①又BO＝DO， ②∴AO⊥BD，即AC⊥BD. ③∵四邊形ABCD是菱形， ④∴AB＝AD. 證明步驟正確的順序是(　　) A. ③→②→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ①→④→③→② 第10題圖 　11. (2017陜西)如圖，在矩

6、形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D. 第11題圖 第12題圖 12. (2017攀枝花)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥CE于點(diǎn)H，若S△EGH＝3，則S△ADF＝(　　) A. 6 B. 4 C. 3

7、 D. 2　　　 13．(2017蘭州)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正確的序號(hào)是：________________(寫出所有正確的序號(hào))． 14. (2017六盤水)如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，則∠AEB＝________度． 第14題圖 第15題

8、圖 第16題圖 15. (2017徐州)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上，且AQ＝AD，連接DQ并延長(zhǎng)，與邊BC交于點(diǎn)P，則線段AP＝________． 16. (2017重慶巴蜀一模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.若AD＝9，CD＝8，則EF的長(zhǎng)為________． 17. (2017陜西)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AD和CD上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接AF、CE交于點(diǎn)G. 求證：AG＝CG. 第17題圖 18. (201

9、7邵陽(yáng))如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠OBC＝∠OCB. (1)求證：平行四邊形ABCD是矩形； (2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使矩形ABCD為正方形． 第18題圖 19. (2017張家界)如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，BE. (1)求證：△AGE≌△BGF； (2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由． 第19題圖 20. (2018原創(chuàng))在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

10、連接CF，若AF＝DC. (1)求證：BD＝CD； (2)當(dāng)四邊形ADCF為正方形時(shí)，線段AB與BC有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由． 第20題圖 21. (2017鹽城)如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F. (1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形； (2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形？請(qǐng)說明理由． 第21題圖 22. (2018原創(chuàng))如圖，在菱形ABCD中，延長(zhǎng)BD到E使得BD＝DE，連接AE，延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)F. (1)求證：AD＝2DF； (2)

11、如果FD＝2，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積． 第22題圖 23. (2017北京)如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點(diǎn)，連接BE. (1)求證：四邊形BCDE為菱形； (2)連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長(zhǎng)． 第23題圖 滿分沖關(guān) 1．(2017廣東)如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF

12、，其中正確的是(　　) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF垂直于AC交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)△A′CD是直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為________． 3. (2017重慶八中二模)如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，且DE⊥AF于點(diǎn)G，H為線段DG上一點(diǎn)，連接AH

13、，BH，BH交AF于點(diǎn)I，若∠GAH＝45°，GI＝1，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，則△AHD面積為________． 第4題圖 第5題圖 4．(2017濰坊)如圖，將一張矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上，記為B′，折痕為CE，再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn)D落在B′C上，記為D′，折痕為CG，B′D′＝2，BE＝BC. 則矩形紙片ABCD的面積為______． 5．(2017重慶西大附中月考)如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折

14、，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G，連接BF、BG，則△BFG的面積是________． 6. (2017杭州)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF＝105°，求線段BG的長(zhǎng)． 第6題圖 7．(2017重慶沙坪壩區(qū)校級(jí)一模)如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，M為對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AM和CM，E為CM上一點(diǎn)，且滿足CB＝CE

15、，連接BE，交CD于點(diǎn)F. (1)若∠AMB＝30°，且DM＝3，求BE的長(zhǎng)； (2)證明：AM＝CF＋DM. 第7題圖 答案 基礎(chǔ)過關(guān) 1. C　【解析】菱形所具有的性質(zhì)包括：對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，而對(duì)角線相等是矩形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有． 2. C　【解析】根據(jù)菱形的判定定理，四邊相等的四邊形一定是菱形，故①正確；由于矩形的對(duì)角線相等，根據(jù)三角形的中位線定理，可得順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形的四邊都相等，由此可判定所得四邊形是菱形，故②錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的

16、平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，經(jīng)過對(duì)稱中心的任意一條直線都把它分成兩個(gè)全等圖形，面積必然相等，所以經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，故④正確；綜上所述正確的說法有2個(gè)． 3. C　【解析】要使平行四邊形變成矩形，可證兩對(duì)角線相等．四個(gè)選項(xiàng)中只有∠BAC＝∠ABD符合． 4. C　【解析】本題考查了菱形的有關(guān)性質(zhì)和菱形的面積計(jì)算，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AB2＝AO2＋BO2，∵AC＝8，BD＝6，∴AB＝5，由公式S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DE，得∶

17、×8×6＝5·DE，∴DE＝， 第4題解圖 5. B　【解析】如解圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，AO＝BO＝CO＝DO，∵∠BOC＝60°，∴∠ACB＝∠BOC＝60°，∵AC＝10，∴BC＝AC＝5，AB＝5，∴S矩形ABCD＝AB·CB＝5×5＝25. 第5題解圖 6. B　【解析】∵矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8，∵矩形對(duì)角線相等且互相平分，∴OC＝AC＝BD＝4. 7. C　【解析】∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6， ∴AB＝BC，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝3，∴BC＝AB＝＝5， ∴△AB

18、C的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋AC＝5＋5＋8＝18. 8. A　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB，∴∠DBA＝∠1＝35°，∴∠CBD＝55°，由折疊性質(zhì)可知∠C′BD＝∠CBD＝55°，∴∠2＝∠C′BD－∠DBA＝20°. 9. B　【解析】由折疊可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝3∴AC＝2AB＝6. 【一題多解】由折疊性質(zhì)得AF＝AB＝3，∠AFE＝∠ABE＝90°，∵∠EAC＝∠ECA，EF＝EF，∠AFE＝∠CFE＝90°，∴△E

19、FA≌△EFC，∴FC＝AF＝3，∴AC＝6. 10. B　【解析】要證明AC⊥BD，所以②是第四步；由AB＝AD可知△ABD是等腰三角形，又由BO＝DO結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到結(jié)論，故④是第二步，①是第三步；而AB＝AD是根據(jù)四邊形ABCD是菱形得到的，故③是第一步，所以證明步驟正確的順序是③→④→①→②. 11. B　【解析】在矩形ABCD中，CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴DE＝CD＝1，在Rt△ADE中，AE＝＝＝，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB＋∠ABF ＝90°，∵∠FAB ＋∠EAD ＝90°，∴∠ABF

20、＝∠EAD，∴△ABF∽△EAD，∴＝，則＝，解得BF＝ . 12. A　【解析】如解圖，由題易知，∠EAF＝60°，EF＝AF＝AE，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∴CE＝CF，∴AC垂直平分EF，∴CG＝EF，即△EGH是等腰直角三角形，∵GH⊥BC，∴EH＝EC，∴S△EGH＝S△EGC＝S△ECF，即S△ECF＝4S△EGH，將△ADF旋轉(zhuǎn)至△ABF′，作F′K⊥AE于點(diǎn)K，易知∠F′AE＝30°，∴F′K＝F′A＝EF，∴S△ADF＝S△AEF′＝AE·F′K＝EF2，又S△ECF＝EF·GC＝EF2，∴S△ADF＝S△ECF，S△ADF＝2S△EGH＝2

21、×3＝6. 第12題解圖 13. ①③④　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AD，∴平行四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，故①正確；∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵正方形對(duì)角線將一組內(nèi)角平分為兩個(gè)45°的角，∴四邊形ABCD不是正方形，故②不正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵OB＝OC，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴四邊形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，即對(duì)角線互相垂直，∴矩形ABCD是正方形，故③正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，若AB＝AD，則AB＝CD＝AD＝BC，∴四邊形ABC

22、D為菱形，又∵AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形，故④正確．綜上所述，其中正確的序號(hào)是①③④. 14. 75　【解析】四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝(90°－60°)÷2＝15°，∴∠AEB＝75°. 15. 　【解析】∵AC＝＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2.又∵AD＝AQ，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝＝＝. 16. 5　【解析

23、】如解圖，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AE′B′，∵∠EAF＝∠CEF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠E′AF＝45°，∴△AEF≌△AE′F(SAS)，∴EF＝E′F，過點(diǎn)E′作E′G⊥CF，交CF的延長(zhǎng)線于G，則E′G＝B′D＝9－8＝1，設(shè)CE＝x，則CF＝x，DG＝E′B′＝BE＝9－x，DF＝8－x，∴GF＝9－x＋8－x＝17－2x，又EF2＝CE2＋CF2，E′F2＝E′G2＋GF2∴CE2＋CF2＝E′G2＋GF2，即2x2＝(17－2x)2＋1，整理得x2－34x＋145＝0，解得x1＝29(舍)，x2＝5，∴CE＝CF＝5，∴EF2＝52＋52＝50，∴EF

24、＝5. 第16題解圖 17. 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD. ∵AE＝CF， ∴DE＝DF， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠DAF＝∠DCE， 又∵∠AGE＝∠CGF，AE＝CF， ∴△AGE≌△CGF(AAS)， ∴AG＝CG. 18. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC， 又∵∠OBC＝∠OCB， ∴∠DAO＝∠ADO，OB＝OC， ∴OA＝OD. ∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形． (2)解：

25、使矩形ABCD為正方形的條件為：AB＝BC.(答案不唯一) 19. (1)證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥CF， 則∠AEG＝∠BFG， ∵AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E， ∴AG＝BG， 又∵∠AGE＝∠BGF， ∴△AGE≌△BGF(AAS)； (2)解：四邊形AFBE為菱形． 理由如下：由(1)得AE＝BF，AE∥BF, 則四邊形AFBE為平行四邊形， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴四邊形AFBE為菱形． 20. (1)證明：∵E是AD的中點(diǎn)， ∴AE＝DE.∵AF∥BC， ∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE. 在△AFE和△DBE中

26、，， ∴△AFE≌△DBE(AAS)． ∴AF＝BD. ∵AF＝DC，∴BD＝DC. (2)解：AB＝BC， 理由如下：∵四邊形ADCF為正方形， ∴AD＝DC且AD⊥DC， 由(1)知BD＝CD， ∴AD＝BD，∴AB＝BD， ∵BD＝BC，∴AB＝BC. 21. (1)證明：∵四邊形ABCD是矩形 ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠EBD＝∠ABD， ∠FDB＝∠CDB， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴DF∥EB， 又∵AD∥BC， ∴四邊形BEDF是平行四邊形； (2)解：當(dāng)∠ABE＝30°

27、 時(shí)，四邊形BEDF是菱形， 理由如下：∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°， ∴EB＝ED， 又∵四邊形BEDF是平行四邊形， ∴四邊形BEDF是菱形． 22. (1)證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，CD∥AB， ∵BD＝DE， ∴EF＝FA， ∴DF是△EAB的中位線， ∴AB＝2DF， ∴AD＝2DF； (2)解：如解圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB， ∵FD＝2， ∴AB＝4， ∵∠C＝60°， ∴∠DAB＝60°，△DAB

28、為等邊三角形， ∴∠ADM＝30°，AM＝2， ∴DM＝，可得DM＝2， ∴S菱形ABCD＝AB·DM＝4×2＝8. 第22題解圖 23. (1)證明： ∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)， ∴AE＝DE＝BE＝AD， 又∵AD＝2BC， ∴DE＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四邊形BCDE為平行四邊形， 又∵BE＝DE, ∴四邊形BCDE為菱形； (2)解：如解圖，連接AC. 第23題解圖 ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， 又∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝BC， 又∵AE＝BE＝BC， ∴

29、AB＝AE＝BE， ∴△ABE為等邊三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°－∠BAE＝30°， ∴∠1＝∠2＝∠ADB＝30°， ∴在菱形BCDE中，∠ADC＝2∠ADB＝60°， ∴∠ACD＝180°－∠1－∠ADC ＝90°， 又∵BC＝1， ∴在菱形BCDE中， CD＝BC＝1， ∴在Rt△ACD中，AC＝ CD·tan∠ADC＝. 滿分沖關(guān) 1. C　【解析】 序號(hào) 逐個(gè)分析 正誤 ① 如解圖，過點(diǎn)F分別作FM⊥AB，F(xiàn)P⊥AD，延長(zhǎng)MF、PF，分別交CD、BC于點(diǎn)N、Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，

30、AC分別平分∠BAD、∠BCD，∴FM＝FP，F(xiàn)N＝FQ.∵S△ABF＝AB·FM，S△ADF＝AD·FP，∴S△ABF＝S△ADF 第1題解圖 √ ② ∵S△CDF＝CD·FN，S△CEF＝CE·FQ＝×BC·FQ＝×CD·FN＝S△CDF，∴S△CDF＝2S△CEF≠4S△CEF × ③ ∵AD∥BC，∴S△ADF∽S△CEF, ∴S△ADF∶S△CEF＝(AD∶CE)2＝4∶1，∴S△ADF＝4S△CEF≠2S△CEF × ④ ∵S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF, ∴S△ADF＝2S△CDF √ 綜上所述，結(jié)論①④正確，故選C. 2. 2或

31、　【解析】如解圖，連接BD交AC于O；∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC，AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD，∴OB＝OD＝＝3，∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四邊形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′，分兩種情況：①當(dāng)∠DA′C＝90°時(shí)，A′與O重合，此時(shí)AA′＝4，∴AP＝2；②當(dāng)∠A′DC＝90°時(shí)，設(shè)AP＝PA′＝x，則OA′＝4－2x，∵AC⊥B

32、D，∴∠A′OD＝∠DOC＝90°，由角的互余關(guān)系得：∠A′DO＝∠DCO，∴△A′OD∽△DOC，∴＝，即＝，解得x＝，即AP＝. 第2題解圖 3. －1　【解析】如解圖，延長(zhǎng)DE到M，使GM＝GH，連接AM，BM，∵DE⊥AF，∠GAH＝45°，∴∠AHG＝45°，AM＝AH，∴∠AMH＝45°，∴∠MAH＝90°，∴∠MAB＝∠HAD，可證△MAB≌△HAD(SAS)，則HD＝BM，∠AMB＝∠AHD＝135°，∴∠DMB＝90°，∴GI∥MB，∴DH＝MB＝2GI＝2，設(shè)AG＝x，則DG＝2＋x，∵AG2＋DG2＝AD2，∴x2＋＝42，解得x1＝－1－(舍)，x2＝－1＋，∴

33、S△ADH＝DH·AG＝×2×＝－1. 第3題解圖 4. 15　【解析】設(shè)CD＝x，則CD′＝x，BC＝x＋2，則BE＝，AE＝AB－BE＝，在Rt△B′AE和Rt△B′DC中，由勾股定理得AB′＝，B′D＝，又AB′＋B′D＝BC＝x＋2，即＋＝x＋2，化簡(jiǎn)得x2－x＝0，解得x＝3或x＝0(舍)，則CD＝3，BC＝5，故面積為15. 5. 2.4　【解析】如解圖，延長(zhǎng)GO交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)M，易證△APF∽△FQE，∴＝＝＝2，設(shè)PF＝x，則EQ＝x，F(xiàn)Q＝6－x，又EQ2＋QF2＝EF2，即()2＋(6－x)2＝32，解得∶x＝6(

34、舍) 或x＝3.6，∴PF＝3.6, FQ＝2.4, EQ＝1.8, BQ＝4.8, PD＝CQ＝1.2，∴DM＝，∴OM＝OD－DM＝3－＝，又FM＝PF－PM＝3.6－1.2＝2.4，且＝，∴＝，∴DG＝4，∵HG過點(diǎn)O易得BH＝DG＝4，又＝＝，∴＝，即S△BFG＝2.4. 第5題解圖 6. 解：(1)AG2＝GE2＋GF2； 理由如下：如解圖，連接CG，∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG， ∴AG＝CG， 又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠ECF＝90°， ∴四邊形CEGF是矩形， ∴CF＝GE，

35、 在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2， ∴AG2＝GE2＋GF2； (2)過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M， ∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°， ∴∠BAM＝∠BGF＝45°， ∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形， ∵AB＝1，∴AM＝BM＝， ∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°， ∴tan 60°＝，∴GM＝ ， ∴BG＝BM＋GM＝＋＝. 第6題解圖 7. (1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴△ABD，△BCD是等邊三角形， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠BAD＝60°，BA＝BC， ∵∠AMB＝30°，

36、∠ADB＝∠AMB＋∠DAM， ∴∠DAM＝∠DMA＝30°， ∴∠BAM＝90°，DA＝DM＝AB＝BC＝CE＝3， 在△BMA和△BMC中，， ∴△BMA≌△BMC(SAS)， ∴∠BCM＝∠BAM＝90°， 在Rt△BCE中，BE＝＝3； (2)證明：如解圖，在BD上取一點(diǎn)G，使得BG＝DF，連接CG交BE于O， 第7題解圖 ∵BG＝DF，∠CBG＝∠BDF，BD＝BC， ∴△GBC≌△FDB， ∴∠BGC＝∠BFD，∠DBF＝∠BCG， ∴∠MGC＝∠BFC， ∵∠COF＝∠CBO＋∠OCB＝∠CBO＋∠DBF＝60°， 在△COE中，∠ECO＋∠EOC＋∠CEO＝180°， 在△BCF中，∠BFC＋∠CBF＋∠BCF＝180°， ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEO，∵∠BCF＝∠COE＝60°， ∴∠ECO＝∠BFC＝∠MGC， ∴MC＝MG. 由(1)可知△BMA≌△BMC， ∴AM＝MC＝MG， ∵M(jìn)G＝DG＋DM， ∵BD＝CD，BG＝DF， ∴DG＝CF， ∴AM＝CF＋DM. 20