（全國版）2020年中考數(shù)學復(fù)習 提分專練04 二次函數(shù)簡單綜合問題

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1、 提分專練(四)　二次函數(shù)簡單綜合問題 |類型1|　二次函數(shù)與方程(不等式)的綜合 1.[2018·南京] 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)). (1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點; (2)當m取什么值時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方? |類型2|　二次函數(shù)與直線的綜合 2.[2019·北京] 在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx-1a與y軸交于點A,將點A向右平移2個單位長度,得到點B,點B在拋物線上. (1)求點B的坐標(用含a的式子表示); (2)求拋物線的對稱軸; (

2、3)已知點P12,-1a,Q(2,2).若拋物線與線段PQ恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍. |類型3|　二次函數(shù)的最值問題 3.[2019·臺州] 已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(-2,4). (1)求b,c滿足的關(guān)系式; (2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m,n),當b的值變化時,求n關(guān)于m的函數(shù)解析式; (3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,當-5≤x≤1時,函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值. |類型4|　二次函數(shù)與平行四邊形的綜合 4.[2019·孝感節(jié)選] 如圖T4-1①,在

3、平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2-2ax-8a與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,-4). (1)點A的坐標為　　　　,點B的坐標為　　　　,線段AC的長為　　　　,拋物線的解析式為　　　　.? (2)點P是線段BC下方拋物線上的一個動點.如果在x軸上存在點Q,使得以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點Q的坐標. ① 圖T4-1 |類型5|　二次函數(shù)與相似三角形的綜合 5.[2019·鎮(zhèn)江] 如圖T4-2,二次函數(shù)y=-x2+4x+5的圖象的頂點為D,對稱軸是直線l,一次函數(shù)y=25x+1的圖象與x軸交

4、于點A,且與直線DA關(guān)于l的對稱直線交于點B. (1)點D的坐標是　　　　.? (2)直線l與直線AB交于點C,N是線段DC上一點(不與點D,C重合),點N的縱坐標為n.過點N作直線與線段DA,DB分別交于點P,Q,使得△DPQ與△DAB相似. ①當n=275時,求DP的長; ②若對于每一個確定的n的值,有且只有一個△DPQ與△DAB相似,請直接寫出n的取值范圍　　　　.? 圖T4-2 【參考答案】 1.解:(1)證明:當y=0時,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3. 當m+3=1,即m=-2時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當

5、m+3≠1,即m≠-2時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.所以,不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點. (2)當x=0時,y=2m+6,即該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標是2m+6. 當2m+6>0,即m>-3時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方. 2.解:(1)∵拋物線與y軸交于點A,∴令x=0,得y=-1a, ∴點A的坐標為0,-1a. ∵點A向右平移2個單位長度,得到點B, ∴點B的坐標為2,-1a. (2)∵拋物線過點A0,-1a和點B2,-1a,由對稱性可得,拋物線對稱軸為直線x=0+22=1. (3)根據(jù)題意可知,拋物線y=ax2+bx-1a經(jīng)過點A0,-1a,B

6、2,-1a. ①當a>0時,則-1a<0, 分析圖象可得:點P12,-1a在對稱軸左側(cè),拋物線上方,點Q(2,2)在對稱軸右側(cè),拋物線上方,此時線段PQ與拋物線沒有交點. ②當a<0時,則-1a>0. 分析圖象可得:當點Q在點B上方或與點B重合時,拋物線與線段PQ恰有一個公共點,此時-1a≤2,即a≤-12. 綜上所述,當a≤-12時,拋物線與線段PQ恰有一個公共點. 3.解:(1)將(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b, ∴b,c滿足的關(guān)系式是c=2b. (2)把c=2b代入y=x2+bx+c, 得y=x2+bx+2b, ∵頂點坐

7、標是(m,n), ∴n=m2+bm+2b, 且m=-b2,即b=-2m, ∴n=-m2-4m. ∴n關(guān)于m的函數(shù)解析式為n=-m2-4m. (3)由(2)的結(jié)論,畫出函數(shù)y=x2+bx+c和函數(shù)y=-x2-4x的圖象. ∵函數(shù)y=x2+bx+c的圖象不經(jīng)過第三象限, ∴-4≤-b2≤0. ① 當-4≤-b2≤-2,即4≤b≤8時,如圖①所示, 當x=1時,函數(shù)取到最大值y=1+3b,當x=-b2時,函數(shù)取到最小值y=8b-b24, ∴(1+3b)-8b-b24=16, 即b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去); ②當-2<-b2≤0,即0≤b<4時,

8、如圖②所示, 當x=-5時,函數(shù)取到最大值y=25-3b,當x=-b2時,函數(shù)取到最小值y=8b-b24, ∴(25-3b)-8b-b24=16, 即b2-20b+36=0, ∴b1=2,b2=18(舍去). 綜上所述,b的值為2或6. 4.[解析](1)令y=0求得點A,B坐標,再由點C坐標求得拋物線的解析式及線段AC的長; (2)過點C作x軸的平行線交拋物線于點P,通過分類討論確定點Q坐標. 解:(1)點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(4,0); 線段AC的長為25, 拋物線的解析式為:y=12x2-x-4. (2)過點C作x軸的平行線交拋物線于點P. ∵

9、點C(0,-4),∴-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,∴P(2,-4). ∴PC=2,若四邊形BCPQ為平行四邊形,則 BQ=CP=2, ∴OQ=OB+BQ=6,∴Q(6,0). 若四邊形BPCQ為平行四邊形,則BQ=CP=2, ∴OQ=OB-BQ=2,∴Q(2,0). 故以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,Q點的坐標為(6,0),(2,0). 5.[解析](1)直接用頂點坐標公式求即可; (2)由題意可知點C2,95,A-52,0,點A關(guān)于對稱軸對稱的點為132,0,借助直線AD的解析式求得B(5,3);①當n=275時,N2,275,可求DA=95

10、2,DB=35,DN=185,CD=365.當PQ∥AB時,△DPQ∽△DAB,DP=954;當PQ與AB不平行時,DP=352;②當PQ∥AB, DB=DP時,DB=35,DN=245,所以N2,215,則有且只有一個△DPQ與△DAB相似時, 95

11、 ① 當n=275時,N2,275, 由D(2,9),A-52,0,B(5,3),C2,95,可得DA=952,DB=35,DN=185,CD=365. 當PQ∥AB時,△DPQ∽△DAB, ∵PQ∥AB,∴△DAC∽△DPN, ∴DPDA=DNDC, ∴DP=954; 當PQ與AB不平行時,△DPQ∽△DBA, 易得△DNP∽△DCB, ∴DPDB=DNDC, ∴DP=352. 綜上所述,DP=954或352. ②95