高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念 參考教案

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1、 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i； 2、過(guò)程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律； 3、 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念。 二、教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。 三、教學(xué)方法：閱讀理解，探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過(guò)程 （一）、問(wèn)題情境 1、情境：數(shù)的概念的發(fā)展：從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動(dòng)力來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面． ①解決實(shí)

2、際問(wèn)題的需要．由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)；為了刻畫(huà)具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了負(fù)數(shù)；由于測(cè)量等需要產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)；為了解決度量正方形對(duì)角線長(zhǎng)的問(wèn)題產(chǎn)生了無(wú)理數(shù)(即無(wú)限不循環(huán)小數(shù))． ②解方程的需要．為了使方程有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù)，數(shù)系擴(kuò)充到了整數(shù)集；為了使方程有解，就要引進(jìn)分?jǐn)?shù)，數(shù)系擴(kuò)充到了有理數(shù)集；為了使方程有解，就要引進(jìn)無(wú)理數(shù)，數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集． 引進(jìn)無(wú)理數(shù)以后，我們已經(jīng)能使方程永遠(yuǎn)有解．但是，這并沒(méi)有徹底解決問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解．為了使方程有解，就必須把實(shí)數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)．（可以以分解因式：為例） 2、問(wèn)題：實(shí)數(shù)集應(yīng)怎樣擴(kuò)充呢？ （二）、新課探析 1、

3、為了使方程有解，使實(shí)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算總可以實(shí)施，實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充就從引入平方等于的“新數(shù)”開(kāi)始．為此，我們引入一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位（）．并作如下規(guī)定：①；②實(shí)數(shù)可以與進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．在這種規(guī)定下，可以與實(shí)數(shù)相乘，再同實(shí)數(shù)相加得．由于滿足乘法交換律和加法交換律，上述結(jié)果可以寫(xiě)成 ()的形式． 2、復(fù)數(shù)概念及復(fù)數(shù)集 形如()的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母來(lái)表示， 即．顯然有N*NZQRC． 3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念：1) 復(fù)數(shù)的表示：通常用字母表示，即()，其中分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；2）虛數(shù)和純虛數(shù)：①?gòu)?fù)數(shù)()，當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)．

4、②復(fù)數(shù)()，當(dāng)時(shí)，叫做虛數(shù)。 特別的，當(dāng)，時(shí)，叫做純虛數(shù)． 4、復(fù)數(shù)集的分類(lèi) 分類(lèi)要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一．根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類(lèi)如下： 5、兩復(fù)數(shù)相等 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與（）的實(shí)部與虛部分別相等，我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即，（復(fù)數(shù)相等的充要條件）， 特別地：（復(fù)數(shù)為的充要條件）． 復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的途徑． 6、兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。簝蓚€(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，不能比較它們的大小。 7、共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的

5、兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。 (三)、知識(shí)運(yùn)用，能力提高 1、例題：例1．寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)， 哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)． 解： 的實(shí)部分別是； 虛部分別是．是實(shí)數(shù)；是虛數(shù)，其中是純虛數(shù)． 例2、實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？ 分析：由可知，都是實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以分別確定的值。 解：（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)；（3）當(dāng)，且，即時(shí)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)。 （變式引申）：已知，復(fù)數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)： （1）；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)． 解：（1）當(dāng)且，即時(shí)，是實(shí)數(shù)；

6、 （2）當(dāng)且，即且時(shí)，是虛數(shù)； （3）當(dāng)且，即或時(shí)，為純虛數(shù)． 思考：是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充分條件嗎？ 答：不是，因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，才是純虛數(shù)，所以是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的必要而非充分條件． 例3、已知，求實(shí)數(shù)的值． 解：根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得：，解得：． （變式引申）：已知，求復(fù)數(shù)． 解：設(shè)，則， ， 由復(fù)數(shù)相等的條件 ． 2．練習(xí)：（1）已知復(fù)數(shù)，且，則 ． 解：，則．故虛部 或．但時(shí)，，不合題意，故舍去，故． 四．回顧小結(jié)： 1、能夠識(shí)別復(fù)數(shù)，并能說(shuō)出復(fù)數(shù)在什么條件下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)； 2、復(fù)數(shù)相等的充要條件。 （三）小結(jié)：復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系及兩復(fù)數(shù)相等的充要條件。 （四）、鞏固練習(xí)： 1．指出下列復(fù)數(shù)哪些是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，是虛數(shù)的找出其實(shí)部與虛部。 2．判斷① 兩復(fù)數(shù)，若虛部都是3，則實(shí)部大的那個(gè)復(fù)數(shù)較大。②　復(fù)平面內(nèi)，所有純虛數(shù)都落在虛軸上，所有虛軸上的點(diǎn)都是純虛數(shù)。 3若，則的值是 。 4．．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，當(dāng)取何實(shí)數(shù)時(shí)，是： （1）實(shí)數(shù) （2） 虛數(shù) （3）純虛數(shù) （4）零 （五）、課外練習(xí)： （六）、課后作業(yè)： 五、教后反思：