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1、第2章 2.4.2 第2課時
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線( )
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條
C．有無窮多條 D．不存在
解析： 由定義|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條．
答案： B
2．在同一坐標系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致為( )
解析： 方法一：將方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0轉(zhuǎn)化為
＋＝1，y2＝－x.因為a>b
2、>0，所以>>0.
所以橢圓的焦點在y軸上；拋物線的焦點在x軸上，且開口向左．故選D.
方法二：方程ax＋by2＝0中，將y換成－y，其結(jié)果不變，
即ax＋by2＝0的圖形關于x軸對稱，排除B、C，
又橢圓的焦點在y軸上，排除A.故選D.
答案： D
3．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝( )
A. B.
C. D.
解析： 過A、B作拋物線準線l的垂線，垂足分別為A1、B1，
由拋物線定義可知，AA1＝AF，BB1＝BF，
又∵2|BF|＝|AF|，
∴|AA1|＝2|
3、BB1|，即B為AC的中點．
從而yA＝2yB，聯(lián)立方程組
?消去x得y2－y＋16＝0，
∴?，消去yB得k＝.故選B.
答案： B
4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
解析： ∵直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x準線，
∴P到l2的距離d2＝|PF|(F(1,0)為拋物線焦點)，
所以P到l1、l2距離之和最小值為F到l1距離
＝2，故選A.
答案： A
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．已知直線x－y－1＝0與拋物線y
4、＝ax2相切，則a＝________.
解析： 由，得ax2－x＋1＝0，
Δ＝1－4a＝0，得a＝.
答案：
6．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A、B兩點，O為拋物線的頂點，且OA⊥OB，則b的值為________．
解析： 由，得x2－2x－2b＝0，
Δ＝(－2)2＋8b>0，
設直線與拋物線的兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合題意，舍去)．
b＝2適合Δ>0.
答案： 2
5、
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．設過拋物線y2＝2px的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若弦AB的中垂線恰好過點Q(5,0)，求拋物線的方程．
解析： 弦AB中點為M，MQ為AB的中垂線，
AB的斜率為1，則lMQ：y＝－x＋5.
設lAB：y＝x－.
聯(lián)立方程組
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.①
聯(lián)立方程組，
得2x＝5＋，則x1＋x2＝5＋②
聯(lián)立①②，解得p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x.
8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．
(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；
(2)是否存在平行于OA
6、(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
解析： (1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
∴p＝2，
故所求的拋物線方程為y2＝4x，
其準線方程為x＝－1；
(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0，
因為直線l與拋物線C有公共點，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直線OA與直線l的距離等于可得＝，
∴t＝±1，
由于－1?，1∈，
所以符合題意的直線l存在，其方程為y＝－2x＋1.
尖子生題
7、庫☆☆☆
9．(10分)已知拋物線C1：y2＝4px(p>0)，焦點為F2，其準線與x軸交于點F1；橢圓C2：分別以F1、F2為左、右焦點，其離心率e＝；且拋物線C1和橢圓C2的一個交點記為M.
(1)當p＝1時，求橢圓C2的標準方程；
(2)在(1)的條件下，若直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點F2，且與拋物線C1相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF1F2的周長，求直線l的方程．
解析： (1)＋＝1；
(2)①若直線l的斜率不存在，
則l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4
又∵△MF1F2的周長等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|
＝2a＋2c＝6≠|(zhì)AB|.
∴直線l的斜率必存在．
②設直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－1)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直線l與拋物線C1有兩個交點A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則可得x1＋x2＝，x1x2＝1
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周長等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.
故所求直線l的方程y＝±(x－1)．
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