2012高中數(shù)學 2.4.2第2課時課時同步練習 新人教A版選修

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1、第2章 2.4.2 第2課時 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條　　　　　　　 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 解析：　由定義|AB|＝5＋2＝7， ∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條． 答案：　B 2．在同一坐標系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致為(　　) 解析：　方法一：將方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0轉化為 ＋＝1，y2＝－x.因為a>b

2、>0，所以>>0. 所以橢圓的焦點在y軸上；拋物線的焦點在x軸上，且開口向左．故選D. 方法二：方程ax＋by2＝0中，將y換成－y，其結果不變， 即ax＋by2＝0的圖形關于x軸對稱，排除B、C， 又橢圓的焦點在y軸上，排除A.故選D. 答案：　D 3．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　) A. B. C. D. 解析：　過A、B作拋物線準線l的垂線，垂足分別為A1、B1， 由拋物線定義可知，AA1＝AF，BB1＝BF， 又∵2|BF|＝|AF|， ∴|AA1|＝2|

3、BB1|，即B為AC的中點． 從而yA＝2yB，聯(lián)立方程組 ?消去x得y2－y＋16＝0， ∴?，消去yB得k＝.故選B. 答案：　B 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：　∵直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x準線， ∴P到l2的距離d2＝|PF|(F(1,0)為拋物線焦點)， 所以P到l1、l2距離之和最小值為F到l1距離 ＝2，故選A. 答案：　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知直線x－y－1＝0與拋物線y

4、＝ax2相切，則a＝________. 解析：　由，得ax2－x＋1＝0， Δ＝1－4a＝0，得a＝. 答案：　 6．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A、B兩點，O為拋物線的頂點，且OA⊥OB，則b的值為________． 解析：　由，得x2－2x－2b＝0， Δ＝(－2)2＋8b>0， 設直線與拋物線的兩交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 于是y1y2＝(x1x2)2＝b2， 由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0， 故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合題意，舍去)． b＝2適合Δ>0. 答案：　2

5、 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．設過拋物線y2＝2px的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若弦AB的中垂線恰好過點Q(5,0)，求拋物線的方程． 解析：　弦AB中點為M，MQ為AB的中垂線， AB的斜率為1，則lMQ：y＝－x＋5. 設lAB：y＝x－. 聯(lián)立方程組 得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p.① 聯(lián)立方程組， 得2x＝5＋，則x1＋x2＝5＋② 聯(lián)立①②，解得p＝2， ∴拋物線方程為y2＝4x. 8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準線方程； (2)是否存在平行于OA

6、(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解析：　(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， ∴p＝2， 故所求的拋物線方程為y2＝4x， 其準線方程為x＝－1； (2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t， 由得y2＋2y－2t＝0， 因為直線l與拋物線C有公共點， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 另一方面，由直線OA與直線l的距離等于可得＝， ∴t＝±1， 由于－1?，1∈， 所以符合題意的直線l存在，其方程為y＝－2x＋1. 尖子生題

7、庫☆☆☆ 9．(10分)已知拋物線C1：y2＝4px(p>0)，焦點為F2，其準線與x軸交于點F1；橢圓C2：分別以F1、F2為左、右焦點，其離心率e＝；且拋物線C1和橢圓C2的一個交點記為M. (1)當p＝1時，求橢圓C2的標準方程； (2)在(1)的條件下，若直線l經(jīng)過橢圓C2的右焦點F2，且與拋物線C1相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF1F2的周長，求直線l的方程． 解析：　(1)＋＝1； (2)①若直線l的斜率不存在， 則l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)， ∴|AB|＝4 又∵△MF1F2的周長等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2| ＝2a＋2c＝6≠|AB|. ∴直線l的斜率必存在． ②設直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－1)， 由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∵直線l與拋物線C1有兩個交點A，B， ∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則可得x1＋x2＝，x1x2＝1 于是|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝＝， ∵△MF1F2的周長等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6， ∴由＝6，解得k＝±. 故所求直線l的方程y＝±(x－1)．