2013-2014學(xué)年廣東省珠海一中等六校高三(上)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科).doc

2013-2014學(xué)年廣東省珠海一中等六校高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1．（5分）“|x|≥1”是“x＞2”的（　　） 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 求出絕對(duì)值不等式的解，然后利用充要條件的判斷方法判斷即可． 解答： 解：因?yàn)椤皘x|≥1”的解為x≤﹣1或x≥1，所以“x＞2”?“|x|≥1”； 但是“|x|≥1”得不到“x＞2”．所以“|x|≥1”是“x＞2”的必要不充分條件．故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，注意絕對(duì)值不等式的解法，是基礎(chǔ)題． 　 2．（5分）已知，其中i為虛數(shù)單位，則a+b=（　?。? 　 A． ﹣1 B． 1 C． 2 D． 3 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 利用復(fù)數(shù)相等的條件可得a，b． 解答： 解：因?yàn)椋? 所以，a=1，b=2，a+b=3， 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等的條件，屬基礎(chǔ)題． 3．（5分）（2010?河?xùn)|區(qū)一模）若x∈（0，1），則下列結(jié)論正確的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 由x∈（0，1），知lgx＜lg1=0，，2x＞20=1，故． 解答： 解：∵x∈（0，1）， ∴l(xiāng)gx＜lg1=0， ， 2x＞20=1， ∴， 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 　 4．（5分）下列四個(gè)命題中，正確的是（　?。? 　 A． 已知ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，則P（ξ＞2）=0.2 　 B． 已知命題p：?x∈R，使tanx=1；命題q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，則命題“p∧￢q”是假命題 　 C． 設(shè)回歸直線方程為y=2﹣2.5x，當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加2.5個(gè)單位 　 D． 已知直線l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，則l1⊥l2的充要條件是 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： A畫(huà)出正態(tài)分布N（0，σ2）的密度函數(shù)的圖象，由圖象的對(duì)稱性可得結(jié)果；B、判斷命題p和q是否正確，然后根據(jù)交集的定義進(jìn)行判斷；C、根據(jù)回歸直線方程的x的系數(shù)是﹣2.5，得到變量x增加一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值要平均增加﹣2.5個(gè)單位，即可求解；D、注意斜率不存在的情況即可判定正誤； 解答： 解：A、由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2）可知正態(tài)密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱， 而P（﹣2≤x≤2）=0.4， 則P（ξ＞2）=（1﹣P（﹣2≤x≤2））=0.3，故A錯(cuò)． B、命題p：?x∈R，使tanx=1，可以取x=45得tan45=1，故命題p正確； 命題q：?x，x2﹣x+1＞0，令f（x）=x2﹣x+1，可得△=（﹣1）2﹣4=﹣3＜0，圖象開(kāi)口向上，與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴：?x∈R，x2﹣x+1＞0，恒成立， ∴命題q為真命題，則﹣q為假命題，∴“p∧﹣q”是假命題，故B正確； C、回歸方程y=2﹣2.5x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)， 變量y平均變化[2﹣2.5（x+1）]﹣（2﹣2.5x）=﹣2.5 ∴變量y平均減少2.5個(gè)單位，故C錯(cuò)誤； D、已知直線l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，則l1⊥l2的 充要條件是=﹣3或a=0且b=0，所以D不正確． 故選B； 點(diǎn)評(píng)： 本題考查線性回歸方程和兩條直線垂直的判定，考查線性回歸方程系數(shù)的意義，考查變量y增加或減少的是一個(gè)平均值，注意題目的敘述，還有充分必要條件的定義，是一道綜合題； 　 5．（5分）已知單位向量，，滿足（2﹣）⊥，則，夾角為（　　） 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．2350853 專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由向量垂直得其數(shù)量積等于0，展開(kāi)整理后即可得到答案． 解答： 解：因?yàn)椋?﹣）⊥，所以（2﹣）?=0，即=0， 所以，，即cos，則，夾角為． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了數(shù)量積公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題． 　 6．（5分）（2007?惠州模擬）若動(dòng)圓的圓心在拋物線x2=12y上，且與直線y+3=0相切，則此動(dòng)圓恒過(guò)定點(diǎn)（　?。? 　 A． （0，2） B． （0，﹣3） C． （0，3） D． （0，6） 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系．2350853 專(zhuān)題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 根據(jù)動(dòng)圓的圓心在拋物線x2=12y上，且與直線y+3=0相切，所以動(dòng)圓圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離，所以動(dòng)圓恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)． 解答： 解：直線y+3=0，即y=﹣3是拋物線x2=12y的準(zhǔn)線， 拋物線是到它的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線距離相等的點(diǎn)的軌跡， 所以動(dòng)圓恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)（0，3）． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線與圓錐曲線的定義，考查了拋物線的定義和幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)的概念題． 　 7．（5分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則ab的取值范圍是（　?。? 　 A． （0，+∞） B． C． D． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．2350853 專(zhuān)題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 先根據(jù)條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)（4，6）時(shí)取得最大值，從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求ab的取值范圍即可． 解答： 解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分， 當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過(guò)直線x﹣y+2=0與直線3x﹣y﹣6=0的交點(diǎn)（4，6）時(shí)， 目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6， 而6=2a+3b≥2?ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)取等號(hào)． 又ab＞0， 則ab的取值范圍是． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．（5分）記集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，將M中的元素按從大到小排列，則第2013個(gè)數(shù)是（　　） 　 A． B． 　 C． D． 考點(diǎn)： 進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．2350853 專(zhuān)題： 規(guī)律型；探究型． 分析： 將M中的元素按從大到小排列，求第2013個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同樣要分析求第2011個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，并根據(jù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)行的方法，將它轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)，即得答案． 解答： 因?yàn)?（a1103+a2102+a310+a4）， 括號(hào)內(nèi)表示的10進(jìn)制數(shù)，其最大值為 9999； 從大到小排列，第2013個(gè)數(shù)為 9999﹣2013+1=7987 所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 則第2011個(gè)數(shù)是 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)十進(jìn)制的排序，關(guān)鍵是要找到對(duì)應(yīng)的數(shù)是幾，如果從大到小排序，要找到最大數(shù)（即第一個(gè)數(shù)），再找出第n個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)即可． 　 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（9～13題） 9．（5分）在（a+x）7展開(kāi)式中x4的系數(shù)為35，則實(shí)數(shù)a的值為　1?。? 考點(diǎn)： 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 在（a+x）7展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求出r的值，即可求得展開(kāi)式中x4的系數(shù)為 35 a3=35，由此求得實(shí)數(shù)a的值． 解答： 解：在（a+x）7展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=?a7﹣r?xr，令r=4可得 展開(kāi)式中x4的系數(shù)為 35 a3=35， ∴a=1， 故答案為 1． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題． 　 10．（5分）計(jì)算定積分=　　． 考點(diǎn)： 定積分．2350853 專(zhuān)題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理即可得出． 解答： 解：==． 故答案為． 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理是解題的關(guān)鍵． 　 11．（5分）已知雙曲線C的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)恰好是橢圓=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是　4x3y=0?。? 考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．2350853 專(zhuān)題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用橢圓的性質(zhì)可得其長(zhǎng)軸的端點(diǎn)、焦點(diǎn)，進(jìn)而得到雙曲線的c，a，b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程． 解答： 解：橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（﹣5，0），（5，0），焦點(diǎn)為（﹣3，0），（3，0）， ∴對(duì)于雙曲線中，c=5，a=3，得b==4， ∴雙曲線方程為：=1， ∴漸過(guò)線方程為：4x3y=0． 故答案為4x3y=0． 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 12．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=5，，，則cosB=　　． 考點(diǎn)： 正弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用大邊對(duì)大角得到B小于A，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosB的值． 解答： 解：∵a=5，，， ∴由正弦定理=得：sinB===， ∵a＞b，∴B＜A=， 則cosB==． 故答案為： 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵． 　 13．（5分）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數(shù)列5，9，14，20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，數(shù)列第6項(xiàng)a6=　35?。坏趎項(xiàng)an=　?。? 考點(diǎn)： 數(shù)列的應(yīng)用．2350853 專(zhuān)題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)歸納推理，及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，我們可以根據(jù)前面圖形中，編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，分析他們之間存在的關(guān)系，并進(jìn)行歸納，用得到一般性規(guī)律，即可求出結(jié)果． 解答： 解：由已知的圖形我們可以得出： 圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為： n=1時(shí)，a1=5=2+3=（2+3）2； n=2時(shí)，a2=9=2+3+4=（2+4）3； n=3時(shí)，a2=14=2+3+4+5=（2+5）4； … 由此我們可以推斷： an=[2+（n+2）]（n+1）=． ∴a6==35． 故答案為：35，． 點(diǎn)評(píng)： 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）． 　 14．（5分）在極坐標(biāo)系中，直線（ρ∈R）截圓所得弦長(zhǎng)是　2　． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．2350853 專(zhuān)題： 直線與圓． 分析： 先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將直線（ρ∈R），圓的極坐標(biāo)方程所化成直角坐標(biāo)方程，最后利用直角坐標(biāo)方程的形式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解即得． 解答： 解：由直線化為普通方程為x﹣y=0， 由圓得：ρcosθ+ρsinθ=ρ2， 化為直角坐標(biāo)方程為（x﹣）2+（y﹣）2=1， 其圓心是C（，），半徑為1．且圓心在直線x﹣y=0上， 由故l被曲線C所截得的弦長(zhǎng)為2r=2． 故答案為：2． 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查圓的參數(shù)方程和直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及利用圓的幾何性質(zhì)計(jì)算弦長(zhǎng)等基本方法． 　 15．如圖AB是圓O的直徑，過(guò)A、B的兩條弦AD和BE相交于點(diǎn)C，若圓O的半徑是3，那么AC?AD+BC?BE的值等于　36?。? 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 連接AE，BD，過(guò)C作CF⊥AB，與AB交于F，得出A，F(xiàn)，C，E四點(diǎn)共圓，BC?BE=BF?BA，同理可證F，B，D，C四點(diǎn)共圓，AC?AD=AF?AB，兩式相加，轉(zhuǎn)化為直徑BA表達(dá)式求解即可． 解答： 解：連接AE，BD，過(guò)C作CF⊥AB，與AB交于F， ∵AB是圓的直徑， ∴∠AEB=∠ADB=90， ∵∠AFC=90，∴A，F(xiàn)，C，E四點(diǎn)共圓． ∴BC?BE=BF?BA（1） 同理可證F，B，D，C四點(diǎn)共圓 ∴AC?AD=AF?AB（2） （1）+（2）得AC?AD+BC?BE=（BF+AF）?BA=BA2 圓O的半徑是3，直徑BA=6 所以AC?AD+BC?BE=62=36 故答案為：36 點(diǎn)評(píng)： 本題考查與圓有關(guān)的線段，割線定理的應(yīng)用，根據(jù)所求的不等式，構(gòu)造四點(diǎn)共圓是本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟. 16．（12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意．最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得4分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議．記所需拋幣次數(shù)為ξ． （1）求ξ=6的概率； （2）求ξ的分布列和期望． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．2350853 專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）先確定ξ=6的意義，首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為，若第6次甲贏意味著“第6次甲贏，前5次贏3次，但根據(jù)規(guī)則，前4次中必輸1次”．若乙贏同樣．故可根據(jù)二項(xiàng)分布列出式子求解即可． （2）確定ξ的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解答 解：（1）當(dāng)ξ=6時(shí)，若甲贏意味著“第6次甲贏，前5次贏3次， 但根據(jù)規(guī)則，前4次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲贏或乙贏的概率均為， 因此P（ξ=6）=2= …4分 （2）分布列為： ξ 4 5 6 7 P …10分 ∴Eξ=4+5+6+7= …12分 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，古典概型，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查隨機(jī)思想以及數(shù)據(jù)處理能力、抽象思維能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)． 　 17．（12分）已知函數(shù)（a∈R，a為常數(shù)）． （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的最小值． 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題；綜合題． 分析： （1）將函數(shù)f（x）用和角與差角的正弦公式展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)后再用輔助角公式，可得f（x）=，再結(jié)合函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，可得最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （2）按題中方法平移后，得到g（x）=，當(dāng)時(shí)，g（x）為偶函數(shù)且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再k=0，得m的最小正值為． 解答： 解：（1）=2sin2xcos﹣cos2x+a =．…（3分） ∴f（x）的最小正周期為…（4分） 令，得， ∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為．…（7分） （2）函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后得=， 要使g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，只需…（9分） 即，取k=0，得m的值為為最小正值 ∴m的最小值為．…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題將一個(gè)函數(shù)化簡(jiǎn)整理為y=Asin（ωx+φ）+k，并求它的單調(diào)性和周期性，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題． 　 18．（14分）設(shè)函數(shù) （Ⅰ）若f（x）在x=2時(shí)有極值，求實(shí)數(shù)a的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2350853 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： （I）根據(jù)f（x）在x=2時(shí)有極值可知f′（2）=0，求出a的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，則f（x）≥0在x＞0時(shí)恒成立，然后將a分離出來(lái)，研究不等式另一側(cè)的最值，即可求出所求． 解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）在x=2時(shí)有極值， ∴有f′（2）=0，…（2分） 又，∴有， ∴…（5分） ∴有=， 由f′（x）=0有，…（7分） 將x，f′（x），f（x）關(guān)系列表如下，定義域?yàn)椋?，+∞） x x=2 x＞2 f（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 遞增 遞減 遞增 ∴f（x）的遞增區(qū)間為和[2，+∞），遞減區(qū)間為…（9分） （Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數(shù)，則f（x）≥0在x＞0時(shí)恒成立，…（10分） ∵， ∴需x＞0時(shí)ax2﹣2x+a≥0恒成立，…（11分） 化為恒成立， ∵， ∴a≥1，此為所求．…（14分） 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題． 　 19．（14分）已知幾何體A﹣BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形． （1）求此幾何體的體積V的大?。? （2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值； （3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角；由三視圖求面積、體積．2350853 專(zhuān)題： 證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想． 分析： （1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，則體積可以求得． （2）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來(lái)求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解． （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ． 解法一：通過(guò)假設(shè)的推斷、計(jì)算可知以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切． 解法二：在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺(tái)中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．這種解法的好處就是：1、解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．2、即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁?huà)個(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可． 以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為（0，m，n），點(diǎn)Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為（0，，）． 解答： 解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1， ∴S梯形BCED=（4+1）4=10 ∴V=?S梯形BCED?AC=104=． 即該幾何體的體積V為16．（3分） （2）解法1：過(guò)點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連接AF， 則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．（5分） 在△BAF中， ∵AB=4， BF=AF==5． ∴cos∠ABF==． 即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（7分） 解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4） ∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0）， ∴cos＜，＞=﹣ ∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為． （3）解法1：在DE上存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ．（8分） 取BC中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q滿足題設(shè)．（10分） 連接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中 ∵ ∴Rt△ECO∽R(shí)t△OBD ∴∠EOC=∠OBD ∵∠EOC+∠CEO=90 ∴∠EOC+∠DOB=90 ∴∠EOB=90．（11分） ∵OE==2，OD== ∴OQ===2∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切． 切點(diǎn)為Q ∴BQ⊥CQ ∵AC⊥面BCED，BQ?面CEDB ∴BQ⊥AC ∴BQ⊥面ACQ（13分） ∵AQ?面ACQ ∴BQ⊥AQ．（14分） 解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為（0，m，n）， 則=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n） =（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n） ∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0① ∵點(diǎn)Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0） 使得=λ ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）?m=，n=② ②代入①得（）2=?λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4 ∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為（0，，）． 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力． 　 20．（14分）如圖，橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，直線l的方程為x=9，N為l上一點(diǎn)，且在x軸的上方，AN與橢圓交于M點(diǎn) （1）若M是AN的中點(diǎn)，求證：MA⊥MF． （2）過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的范圍． 考點(diǎn)： 圓與圓錐曲線的綜合．2350853 專(zhuān)題： 綜合題． 分析： （1）欲證MA⊥MF，只需證明，分別求出，的坐標(biāo)，再用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可． （2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個(gè)參數(shù)表示，再求最值，可先找到圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數(shù)表示的|PQ|，再用均值不等式求范圍． 解答： 解：（1）由題意得A（﹣6，0），F(xiàn)（4，0），xN=9∴ 又M點(diǎn)在橢圓上，且在x軸上方，得 （2）設(shè)N（9，t），其中t＞0，∵圓過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)， ∴設(shè)該圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，有 解得 ∴圓心為，半徑r= ∴， ∵t＞0∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=” ∴，∴|PQ|的取值范圍是 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓與圓之間的關(guān)系，其中圓中弦長(zhǎng)的求法必須掌握． 　 21．（14分）設(shè)M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26﹣2a；若將lgM，lgQ，lgP適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)． （1）試比較M、P、Q的大??； （2）求a的值及{an}的通項(xiàng)； （3）記函數(shù)f（x）=anx2+2an+1x+an+2（n∈N*）的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為bn，設(shè)Tn=）（n≥2），求Tn，并證明T2T3T4…Tn＞． 考點(diǎn)： 數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．2350853 專(zhuān)題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范圍，作差后通過(guò)分類(lèi)討論可比較它們間的大小關(guān)系； （2）由（1）的結(jié)論及l(fā)gM，lgQ，lgP成公差為1的等差數(shù)列可得a值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an； （3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），由2an+1=an+an+2，知﹣1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）=（x+1）（anx+an+2）=0，可得x1，x2，進(jìn)而可得bn，利用裂項(xiàng)相消法可得Tn，由，可對(duì)T2T3T4…Tn進(jìn)行放縮得到結(jié)論； 解答： 解：（1）由，得﹣2＜a＜13， ∵M(jìn)﹣Q=10a2+83a+181＞0（∵△1＜0），M﹣P=10a2+80a+205＞0（∵△2＜0），∴M＞Q，M＞P， 又∵當(dāng)﹣2＜a＜13時(shí)，P﹣Q=﹣24+3a， 則當(dāng)﹣2＜a＜8時(shí)，P＜Q，此時(shí)P＜Q＜M， 當(dāng)a=8時(shí)，P=Q，此時(shí)P=Q＜M， 當(dāng)8＜a＜13時(shí)，P＞Q，此時(shí)Q＜P＜M； （2）由（1）知，當(dāng)﹣2＜a＜8時(shí)，即，∴， 解得，從而an=lgP+（n﹣1）1=n﹣2lg2； 當(dāng)8＜a＜13時(shí)，即，∴，a無(wú)解． 綜上，a=，an=n﹣2lg2； （3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）， ∵2an+1=an+an+2，∴﹣1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)， ∴當(dāng)f（x）=0時(shí)有（x+1）（anx+an+2）=0，∴， ∴， 又∵an=n﹣2lg2＞0，∴， ∴， ∴= ， 又， ∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式的證明，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大．