柴俊-丁大公-陳咸平--等-編-科學(xué)出版社-華東師范大學(xué)-高等數(shù)學(xué)作業(yè)集-答案Ch-11-Infinite-series

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第11章 無窮級數(shù) 參考解答 1、根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級數(shù)發(fā)散。 2、用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性： （1） 解：，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂。 （2） 解：，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。 （3） 解：，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂。 （4） 解：，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂。 （利用極限，或） （5） 解：，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。 3、用比值審斂法判別下列級數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級數(shù)發(fā)散。 （3） 解：，故原級數(shù)收斂。 （4） 解：，故原級數(shù)收斂。（利用極限） 4、用根值審斂法判別下列級數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級數(shù)收斂。 （2） 解：，故原級數(shù)收斂。 （3） 解：，故原級數(shù)收斂。 5、判別下列級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂： （1） 解：，且，故原級數(shù)為Leibniz型交錯級數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級數(shù)條件收斂。 （2） 解：，，且，故原級數(shù)為Leibniz型交錯級數(shù)。但因，而收斂，故收斂。因此，原級數(shù)絕對收斂。 （3）（即） 解：，且，故原級數(shù)為Leibniz型交錯級數(shù)。但因發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂。 （4） 解：考察函數(shù)，因時(shí)， ，故函數(shù)在上單調(diào)下降。由此可知，當(dāng)時(shí)，，且易知，故原級數(shù)為Leibniz型交錯級數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級數(shù)條件收斂。 6、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間： （1） 解：，故得。時(shí)，級數(shù)為；時(shí)，級數(shù)為，上述級數(shù)均收斂，故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 （2） 解：，故得。時(shí)，級數(shù)為，此系Leibniz型交錯級數(shù)；時(shí)，級數(shù)為，此系調(diào)和級數(shù)。故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 （3） 解：原冪級數(shù)即為，此為缺項(xiàng)冪級數(shù)。因 ， 故由，得。時(shí)，級數(shù)均成為，發(fā)散。故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 （4） 解：，故得。時(shí)，級數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，級數(shù)為，系Leibniz型交錯級數(shù)。故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 （5） 解：，故得，原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 7、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級數(shù)的和函數(shù)： （1） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級數(shù)均發(fā)散（一般項(xiàng)不趨于零）。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。設(shè)，則 ， 故得，。 （2） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級數(shù)均發(fā)散。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)， ， 但，故得，于是得 ，。 因此，所求冪級數(shù)之和函數(shù)為 （3） 解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級數(shù)為，因，而發(fā)散，故發(fā)散。時(shí)，相應(yīng)的級數(shù)為，為Leibniz型交錯級數(shù)。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)， 其中，。因 ， 故得 ， 于是 因此，所求冪級數(shù)之和函數(shù)為 8、將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） （） （2） （） （3） （） （4） （） （5） （） （6） 解：設(shè)，則 （） （） （） （7） 解：， （8） 解：， 9、將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） （2） （） 10、求級數(shù)的和。 解：先求冪級數(shù)的和函數(shù)。易知其收斂區(qū)間為。設(shè) 則 當(dāng)時(shí)， 其中，。因 ， 故得 ， 于是 所求級數(shù)的和即為。 11、設(shè)，試將展成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)之和。 解：當(dāng)時(shí)， 因，故得。 12－13、略。 14、設(shè)，，其中（），求 解：因?yàn)樗oFourier級數(shù)為余弦級數(shù)，故先將偶延拓到上，即 然后將延拓成這個實(shí)數(shù)軸上的以2為周期的函數(shù)。于是，根據(jù)Dirichlet收斂條件，得 注：周期的大小可從公式看出。 15-16、略。（第15題課上已介紹） 17、判別下列級數(shù)之?dāng)可⑿裕? （1） 解： 因（Taylor公式） ，故所求極限為1，故原級數(shù)收斂。 （2） 解：1 ，但級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂。 2 ，但級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。 18、設(shè)收斂，且，證明收斂。 證明： 因收斂，故部分和數(shù)列收斂，即存在；又，故 因此，極限存在，從而知收斂。 19、設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂。 證明：因，在點(diǎn)連續(xù)，故知。于是 故由Taylor公式， （其中）， 從而得。于是， ， 但級數(shù)收斂，故原級數(shù)絕對收斂。 20、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。 解： 故所求收斂區(qū)間為。 21、將函數(shù)展成x的冪級數(shù)，并指明收斂域，利用展開式求級數(shù)的和。 解：， 另一方面，，故得 令，得，從而得 。 22、設(shè)，試將它展開成以2為周期的Fourier級數(shù)，并用它來求。 解：， ， ， 故所求Fourier級數(shù)為 令，得，即，故得。 如有錯誤，敬請指正；如有疑問，歡迎討論！ 15