電磁學(xué)(趙凱華)答案[第2章穩(wěn)恒磁場]

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1、1. 一邊長為2a的載流正方形線圈，通有電流I。試求：(1)軸線上距正方形中心為r0處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；(2) 當(dāng)a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm時，B等于多少特斯拉？ 解 （1）沿軸向取坐標(biāo)軸OX，如圖所示。利用一段載流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場的結(jié)果， 正方形載流線圈每邊在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為: ,式中: 由分析可知，4條邊在點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的方向并不相同，其中AB邊在P點(diǎn)的 B1方向如圖所示。由對稱性可知，點(diǎn)P上午B應(yīng)沿X軸，其大小等于B1在X軸投影 的4倍。設(shè)B1與X軸夾角為α則: 把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入

2、上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=2.8×10-7(T)。可見，正方形載流線圈中心的B要比軸線上的一點(diǎn)大的多。 2. 將一根導(dǎo)線折成正n邊形，其外接圓半徑為a，設(shè)導(dǎo)線栽有電流為I，如圖所示。試求：(1)外接圓中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度B0；(2) 當(dāng)n→∞時，上述結(jié)果如何？ 解: （1）設(shè)正n邊形線圈的邊長為b，應(yīng)用有限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場的公式，可知各邊在圓心處的感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，即： 所以，n邊形線圈在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 因為2θ=2π/n,θ=π/n，故有： 由右手法則，B0方向垂直于紙面向外。 （

3、2）當(dāng)n→∞時，θ變的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述結(jié)果中，得： 此結(jié)果相當(dāng)于一半徑為a，載流為I的圓線圈在中心O點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的結(jié)果，這一點(diǎn)在n→∞時， 是不難想象的。 3. 如圖所示，載流等邊三角形線圈ACD，邊長為2a，通有電流I。試求軸線上距中心為r0處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解:由圖可知，要求場點(diǎn)P的合場強(qiáng)B，先分別求出等邊三角形載流線圈三條邊P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bi ，再將三者進(jìn)行矢量疊加。 由有限長載流導(dǎo)線的磁場公式可知，AC邊在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 BAC的大小為： 由于⊿ACP為等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述結(jié)果中，得： 由右手螺

4、旋定則可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如圖所示。由對稱性可知，AC，CD，DA三段載流導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度BAC、 BCD、BDA在空間方位上對稱，且它們在垂直于Z軸方向上的分量相互抵消，而平行于Z軸方向上的分量相等，所以： 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，O點(diǎn)是⊿ACP的中心，故: ，并由⊿EOP可知 sinα=,所以P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BP的大小為： 磁感應(yīng)強(qiáng)度BP的方向沿Z軸方向。 4. 一寬度為b的半無限長金屬板置與真空中，均勻通有電流I0。P點(diǎn)為薄板邊線延長線上一點(diǎn)，與薄板邊緣距離為d。如圖所示。試求P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 建立坐標(biāo)軸OX，如圖所示，P點(diǎn)為X軸上一點(diǎn)。

5、整個金屬板可視為無限多條無限長的載流導(dǎo)組成，取其任意一條載流線，其寬度為dx，上載有電流dI=I0dx/b，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為： 　 dB的方向垂直紙面向里。由于每一條無限長直載流線P點(diǎn)激發(fā)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB具有相同的方向，所以整個載流金屬板在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為各載流線在該點(diǎn)產(chǎn)生的dB的代數(shù)和，即： BP方向垂直紙面向里。 5. 兩根導(dǎo)線沿半徑方向引到金屬環(huán)上的A、C兩點(diǎn)，電流方向如圖所示。試求環(huán)中心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 由畢-薩定律可知，兩載流直線的延長線都通過圓心O，因此她們在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。圖中電流為I1的大圓弧在O點(diǎn)產(chǎn)生的B2的方向垂直紙面向里。應(yīng)

6、用載流圓線圈在中心處產(chǎn)生磁場的結(jié)果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小為: 則O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為: 設(shè)大圓弧和小圓弧的電阻為R1、R2，則: 有: , 因大圓弧和小圓弧并聯(lián)，故I1R1 = I2R2，即:,代入表達(dá)式得B0=0。 6. 如圖所示，一條無限長導(dǎo)線載有電流I，該導(dǎo)線彎成拋物線形狀，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為a，試求焦點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 本題采用極坐標(biāo)。用畢-薩定律得電流元Idl在焦點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為: 　　 , 由于Idl與r的夾角為θ，由圖可知，Idlsinθ=Irdψ, 所以dB的大小為: , 方向由右手螺旋定則可知， 垂直紙面向外。由于所有

7、電流元Idl在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同，所以P點(diǎn) 的總產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為: ,因拋物線的極坐標(biāo)方程為: , 因此: 7. 如圖所示，兩塊無限大平行載流導(dǎo)體薄板M、N，每單位寬度上所載電流為j，方向如圖所示，試求兩板間Q點(diǎn)處及板外P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 無限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BM的大小為：, dBx = -dBcosα，dBy = dBsinα由對稱性可知：, 設(shè)Q點(diǎn)到M板的垂直距離為a，則： 由幾何關(guān)系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式： BM的方向沿X軸方向，因

8、此，Q點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BM+BN=0，采用同樣的方法得，M板在P點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為： N板在P點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為：,表明在P點(diǎn)兩塊板產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，所以P點(diǎn)的B為B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X軸負(fù)向。 8. 如圖所示，通有電流強(qiáng)度為I的細(xì)導(dǎo)線，平行的、緊密的單層纏繞在半個木球上，共有N匝，設(shè)木球的半徑為R，試求球心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 由圖可知，繞有載流導(dǎo)線的木球可看成是有無限多個不同半徑的同心載流圓線圈組成，球心O在載流圓線圈的軸線上，則球心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0是各個載流圓線圈在該點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。如圖坐標(biāo)系OXY，在X軸線上距原點(diǎn)Ox處任取一弧寬

9、為dl的圓環(huán)，半徑為y，圓環(huán)上繞有dN匝導(dǎo)線，即： 通過該圓環(huán)上的電流dI=IdN=2INdθ/ π,由載流線圈在軸線上任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式，可知dI在O點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB大小為： dB的方向沿X軸正向。由幾何關(guān)系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,帶入上式得： 由于所有載流線圈在O點(diǎn)激發(fā)的B方向相同，故O點(diǎn)總的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由矢量積分簡化為標(biāo)量積分，即： B0的方向沿X軸正向。 9.均勻帶電的球面繞著它的某一直徑作勻速旋轉(zhuǎn)。試求在該球面上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B. 解: 如圖所示，均勻帶電的球面繞沿X軸的直徑以角速度ω旋轉(zhuǎn)。球面上任意面元所帶電荷因旋轉(zhuǎn)而形成電

10、流。將球面分成許多環(huán)狀球帶，每一球帶因旋轉(zhuǎn)而形成的電流在X軸上任意一點(diǎn)P處都將產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度dB。設(shè)球面半徑為R，面電荷密度為σ，繞沿X軸的直徑以角速度為ω旋轉(zhuǎn)，球心在原點(diǎn)O。取從φ到（φ+dφ）的環(huán)狀球帶，其面積為dS=2πrdl=2πrRdφ，所帶電量為dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋轉(zhuǎn)，該球帶上電荷形成沿環(huán)狀帶流動的電流，電流強(qiáng)度為dI=dQ/T ,T為旋轉(zhuǎn)周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ 設(shè)該環(huán)狀球帶的中心位于x處，則：x=Rcosφdx= -Rsinφdφ = -rdφ 因此，dI可表為dI = -Rσωdx，該環(huán)狀球帶dI在直徑上任意

11、一點(diǎn)P點(diǎn)產(chǎn)生的dB為： , 式中i是X軸方向的單位矢量，式中的r為 r2 = R2 △x2，把r2和dI的表達(dá)式帶入，得： , 因φ取值從0到π，相應(yīng)的x從R到-R，故式中dx為負(fù)值，若σ>0則dB與I同方向。場點(diǎn)P總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 式中： , 故： , 由于BP與直徑上各點(diǎn)P的位置無關(guān)，所以在作為轉(zhuǎn)軸的直徑上磁感應(yīng)強(qiáng)度B處處相同。 10. 真空中有兩點(diǎn)電荷±q，相距為 3d ，她們都以角速度ω繞一與兩點(diǎn)電荷連線垂直的軸轉(zhuǎn)動，+q到軸的距離為d。試求轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點(diǎn)處的場強(qiáng)B。 解: 設(shè)轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點(diǎn)為O。根據(jù)運(yùn)動電荷產(chǎn)生磁場公式，可知+q在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , 方

12、向由右手法則可知與ω相同。 同理，-q在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , 方向由右手法則可知與ω相反， 則由場疊加原理，得O點(diǎn)的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , B的方向與ω相同。 ? 11. 一邊長為a=0.1m，帶電量為q=1.0×10-10C的均勻帶電細(xì)棒，以速度v=1.0m/s沿X軸正方向運(yùn)動。當(dāng)運(yùn)動到與Y軸重合時，細(xì)棒的下端到原點(diǎn)O的距離為l=0.1m，如圖所示。試求此時坐標(biāo)原點(diǎn)O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 均勻帶電細(xì)棒運(yùn)動時，將產(chǎn)生磁場。在均勻帶電細(xì)棒上，縱坐標(biāo)為y處取一線元dy，該線元上的帶電量為dq=λdy=qdy/a,根據(jù)運(yùn)動電荷產(chǎn)生磁場公式可知，dq在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小

13、為: 方向垂直于紙面向里。 帶電細(xì)棒在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 12.如圖（a）所示的電纜，由半徑為r1的導(dǎo)體圓柱和同軸的內(nèi)外半徑為r2和r3的導(dǎo)體圓桶構(gòu)成。電流I0從導(dǎo)體圓柱流入，從導(dǎo)體圓桶流出，設(shè)電流都是均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上，以r表示到軸線的垂直距離。試求r從0到∞的范圍內(nèi)各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 取電纜的中央軸為Z軸，把電纜中的電流分解為一系列與Z軸平行的無限長直流導(dǎo)線。這些載流導(dǎo)線在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的磁場均無z分量，因此電纜電流在空間的磁場也無z分量。若電纜電流的磁場有徑向分量Br，則由對稱性，在任意以Z軸為中央軸，以r為半徑的柱面上

14、各點(diǎn)的Br應(yīng)相同。 取相應(yīng)的柱形高斯面，如圖（b）所示，則有: 　　　　 因B無z分量，故等式右邊前兩項為零，于是:，由高斯定理可知:，h 所以Br=0。 即電纜電流的磁場無徑向分量。在半徑為r的周圍上各點(diǎn)的B大小相同，記為B(r),B(r)的方向沿切向，如圖（c）所示。去積分環(huán)路L，由安培環(huán)路定理可知:，若0≤r≤r1,則:　　故: ； 若r1≤r≤r2,則:；若r2≤r≤r3,則: ;　若r> r3,則: 結(jié)果表明，在電纜電流的外部，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為零，磁場被約束在電纜內(nèi)部。 13. 如圖所示，為均勻密繞的無限長直螺線管的一端，半徑為R，O點(diǎn)為該端面的中心，已知螺線管單位長

15、度上的線圈匝數(shù)為n，通過電流為I。試求；端面近中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的軸向分量和徑向分量。 解: 取坐標(biāo)系如圖。 螺線管中心軸線上靠近端面中心的P點(diǎn)，設(shè)OP=z<

16、受到外力矩的作用，圓筒從靜止開始以勻角加速度β繞OO’軸轉(zhuǎn)動，試求t時刻圓筒內(nèi)為均勻磁場。 解: 管外磁場強(qiáng)度為零。過管內(nèi)場點(diǎn)P點(diǎn)作一矩形積分回路abcda。由安培環(huán)路定理可知，有: 分析系統(tǒng)可知，積分回路所包圍的電流的代數(shù)和為: 由題可知ω=ω0+βt,t=0時ω0=0,則ω=βt,所以: 因此: 即得B=μ0σRβt,B的方向根據(jù)σ的情況而定。由結(jié)果分析可知，圓筒內(nèi)部的磁場與r無關(guān)。 15. 勻強(qiáng)磁場中有一無限大均勻載流平面，位于z=0，其電流面密度沿X方向，j0=100A/m，如圖所示。現(xiàn)測得載流平面上方（z>0）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2 。 解: 根據(jù)題意選擇坐標(biāo)系，如圖所示。設(shè)無限大載流平面在其兩側(cè)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B’1和B’2，由于系統(tǒng)具有面對稱性，由安培環(huán)路定理可知: , B’1的方向沿Y軸負(fù)方向，B’2的方向沿Y軸正方向。 設(shè)原來勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:B1=B0+B’1,所以: B0=B1-B’1=B1k+1/2μ0j0j0, 同理可得，載流平面下方（z<0）的磁感應(yīng)強(qiáng)度為: B2=B0+B’2=(1/2μ0j0+1/2μ0j0)j+B1k=μ0j0j+ B1k,代入相應(yīng)數(shù)值，得： B2與Y軸夾角為：