2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一　數(shù)學(xué)歸納法 　1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．　2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍．　3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： (1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟 (1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)n＝n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推

2、)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)命題也成立． (3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n≥n0的自然數(shù)都成立． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)歸納法的特點(diǎn)是由一般到特殊．(　　) (2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn)n一定取1.(　　) (3)數(shù)學(xué)歸納法得出的結(jié)論都是正確的．(　　) (4)數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟，第一步是歸納基礎(chǔ)，第二步是歸納遞推，兩者缺一不可．(　　) (5)數(shù)學(xué)歸納法第二步不需要假設(shè)也可以得出結(jié)論．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角

3、和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證(　　) A．n＝1成立　　　　　　　 B．n＝2成立 C．n＝3成立 D．n＝4成立 答案：C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝，當(dāng)n＝1時(shí)，左邊應(yīng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，n＋3＝4. 所以左邊應(yīng)為1＋2＋3＋4. 答案：1＋2＋3＋4 　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式[學(xué)生用書P54] 　用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n≥1，n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝， 命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋

4、. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)和(2)知，等式對(duì)一切n≥1，n∈N＋均成立． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意點(diǎn) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表達(dá)n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)，并且一定要記住：在證明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)．　 　1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：n∈N＋時(shí)，＋＋…＋＝. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即有＋＋…

5、＋＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝ ＝.所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②可知，對(duì)一切n∈N＋等式都成立． 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3； (2)求證：an＝. 解：(1)由a1＝1，得a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)等式成立， 即ak＝，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝ak＋3k＝＋3k＝＝. 即n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②知等式對(duì)n∈N＋都成立．

6、 　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題[學(xué)生用書P55] 　用數(shù)學(xué)歸納法證明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除． 【證明】?、佼?dāng)n＝1時(shí)， (x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么 (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋

7、2)2(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1. 因?yàn)?x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除， 所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整除． 這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除． 根據(jù)①②可知，命題對(duì)任何n∈N＋都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證． (2)與

8、n有關(guān)的整除問(wèn)題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問(wèn)題是從n＝k＋1時(shí)的表達(dá)式中分解出n＝k時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式．　 　用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，A0＝112＋12＝133能被133整除． 當(dāng)n＝1時(shí)，A1＝113＋123＝133×23，能被133整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122

9、－11)·122k＋1 ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1. 所以n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 根據(jù)(1)(2)，對(duì)于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題[學(xué)生用書P55] 　平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【證明】　①當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1時(shí)命題成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一個(gè)滿足條件的任一個(gè)圓，則這個(gè)圓必

10、與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn)．這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分．因此，這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來(lái)的基礎(chǔ)上又增加了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)＝n2－n＋2也成立． 根據(jù)①②可知n個(gè)圓把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的技巧 (1)幾何問(wèn)題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊n＝1，2，3，…，猜出一般結(jié)論． (2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析清楚n＝k與n＝k＋1時(shí)二者的差異，這時(shí)常常借助于

11、圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k＋1)之間的遞推關(guān)系，實(shí)在分析不出的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可． (3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說(shuō)明． 　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)．求證：這n條直線共有f(n)＝個(gè)交點(diǎn)． 證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，兩直線只有1個(gè)交點(diǎn)， 又f(2)＝×2×(2－1)＝1. 所以當(dāng)n＝2時(shí)，命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的

12、任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，任取其中一條直線記為l，由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線l1，l2，…，lk的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)． 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由①②可知，命題對(duì)一切n∈N＋且n≥2均成立． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中兩步的作用 在數(shù)學(xué)歸納法中第一步

13、“驗(yàn)證n＝n0時(shí)命題成立”是奠基，是推理證明的基礎(chǔ)，第二步是假設(shè)與遞推，保證了推理的延續(xù)性． 3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵 運(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵，在使用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析p(k)與p(k＋1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k＋1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整． 1．求證：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立， 即1＋＋＋…＋＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ＝. 這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等

14、式也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N＋，等式都成立． 2．求證：Sn＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1＋8＋27＝4×9，能被9整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，n∈N＋)時(shí)，Sn能被9整除， 即Sk＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Sk＋1＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9k2＋27k＋27 ＝Sk＋9(k2＋3k＋3)． 因?yàn)镾k能被9整除，9(k2＋3k＋3)能被9整除， 所以Sk＋1能被9整除． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sn能被9整除． 由(1)(2)知，對(duì)n∈N＋，Sn能被9整除． 故由(1)和(2)得，對(duì)n≥2，n∈N＋，等式恒成立． 8