2017-2018版高中數(shù)學 第一單元 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法教學案 新人教B版選修1-1

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1、 第一單元 常用邏輯用語 1　解邏輯用語問題三絕招 1．利用集合——理清關系 充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點．要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好．集合模型解釋如下： ①A是B的充分條件，即A?B. ②A是B的必要條件，即B?A. ③A是B的充要條件，即A＝B. ④A是B的既不充分也不必要條件， 即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素． 或 例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的__

2、______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析　設命題p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”對應的集合分別為A、B，則A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，顯然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要條件． 答案　既不充分也不必要 2．抓住量詞——對癥下藥 全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內容中的重要概念，解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞，理解其相應的含義，從而對癥下藥． 例2　(1)已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a

3、≥0”，與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______________． (2)已知命題p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 解析　(1)將命題p轉化為“當x∈[1,2]時， (x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1. 命題q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2.綜上所述，a≤－1. (2)命題p轉化為當x∈[1,2]時，(x2－a)max≥0， 即4－a≥0，即a≤4.命題q同

4、(1)． 綜上所述，a≤－1或2≤a≤4. 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4] 點評　認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質——量詞，有的放矢． 3．等價轉化——提高速度 在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真． 例3　設p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍．

5、 分析　“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”．設p、q對應的集合分別為A、B，則可由A??RB出發(fā)解題． 解　設p、q對應的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2＋y2＝r2外的點的集合． ∵A??RB表示區(qū)域A內的點到原點的最近距離大于r， ∴直線3x＋4y－12＝0上的點到原點的最近距離大于等于r， ∵原點O到直線3x＋4y－12＝0的距離 d＝＝，∴r的取值范圍為00)在p：所對應的區(qū)域的

6、外部，也是可以解決的．但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應的數(shù)學思想方法． 2　判斷條件四策略 1．應用定義 如果p?q，那么稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件．判斷的關鍵是分清條件與結論． 例1　設集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________條件． 解析　條件p：x∈M或x∈P；結論q：x∈P∩M. 若x∈M，則x不一定屬于P，即x不一定屬于P∩M，所以pD/?q； 若x∈P∩M，則x∈M且x∈P，所以q?p. 綜上知，“x∈M或x∈P”

7、是“x∈P∩M”的必要不充分條件． 答案　必要不充分 2．利用傳遞性 充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性，即若p?q，q?r，則p?r. 例2　如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的____________條件． 解析　依題意，有A?B?C?D且AD?/B?CD?/D，由命題的傳遞性可知D?A，但AD?/D.于是A是D的必要不充分條件． 答案　必要不充分 3．利用集合 運用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出現(xiàn)，q以非空集合B的形式出現(xiàn)，則①若A?B，則p是q的充分條件；②若B?A，則p

8、是q的必要條件；③若AB，則p是q的充分不必要條件；④若BA，則p是q的必要不充分條件；⑤若A＝B，則p是q的充要條件． 例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是________． 解析　設p、q分別對應集合P、Q， 則P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由題意知，p?q，但qD?/p.故PQ， 所以或解得m≥9. 即m的取值范圍是[9，＋∞)． 答案　[9，＋∞) 4．等價轉化 由于互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以當由p推q較困難時，可利用等價轉化，先判斷由非q

9、推非p，從而得到p?q. 例4　已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，則p是q的____________條件． 解析　因為p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1， 所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1. 因為綈pD?/綈q，但綈q?綈p， 所以綈q是綈p的充分不必要條件， 即p是q的充分不必要條件． 答案　充分不必要 3　走出邏輯用語中的誤區(qū) 誤區(qū)1　所有不等式、集合運算式都不是命題 例1　判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假． (1)x＋2>0； (2)x2＋2>0； (3)A∩B＝A∪B； (4)A?A∪B. 錯解　(1)、(2)、

10、(3)、(4)都不是命題． 剖析　(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故無法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題； (2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題． (3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B； 若AB，則A∩B＝AA∪B＝B. 由于A，B的關系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題． (4)A為A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)為真命題． 正解　(2)、(4)是命題，且都為真命題． 誤區(qū)2　原命題為真，其否命題必為假 例2　判斷下列命題的否命題的真假： (1)若

11、a＝0，則ab＝0； (2)若a2>b2，則a>b. 錯解　(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題； (2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題． 剖析　否命題的真假與原命題的真假沒有關系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應先寫出命題的否命題，再判斷． 正解　(1)否命題：若a≠0，則ab≠0，是假命題； (2)否命題：若a2≤b2，則a≤b，是假命題． 誤區(qū)3　搞不清誰是誰的條件 例3　使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x>3 B．x>4 C．x>2 D．x∈{1,2,3} 錯解　由不等

12、式x－3>0成立， 得x>3，顯然x>3?x>2， 又x>2D?/x>3，因此選C. 剖析　若p的一個充分不必要條件是q，則q?p，pD?/q.本題要求使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件為x>4. 正解　B 誤區(qū)4　考慮問題不周 例4　如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 錯解　判別式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝

13、0有兩個不等實根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，則判別式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根”的充要條件，故選C. 剖析　判別式Δ＝b2－4ac只適用于一元二次方程的實數(shù)根存在情況的判斷．對于方程ax2＋bx＋c＝0，當a＝0時，原方程為一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判別式，所以當b2>4ac時不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根；若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，則它的判別式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實

14、根”的必要不充分條件． 正解　B 誤區(qū)5　用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論 例5　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出“p∨q”； (2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“p∧q”． 錯解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2. (2)p∧q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形． 剖析　(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p∨q”，“p∧q”也都應是假命題．而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題．錯誤原因：(1)只聯(lián)

15、結了兩個命題的結論；(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件． 正解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p∧q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形． 誤區(qū)6　不能正確否定結論 例6　p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實數(shù)根，試寫出“綈p”． 錯解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 剖析　命題p的結論：“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“綈p”應否定“有”，而不能否定“相等”． 正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實數(shù)根． 誤區(qū)7　對含有一個量詞的命題否定不完全 例

16、7　已知命題p：存在一個實數(shù)x0，使得x－x0－2<0，寫出綈p. 錯解一　綈p：存在一個實數(shù)x0，使得x－x0－2≥0. 錯解二　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0. 剖析　該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對結論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結論進行否定． 正解　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0. 誤區(qū)8　忽略了隱含的量詞 例8　寫出下列命題的否定： (1)不相交的兩條直線是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖象關于y軸對稱． 錯解　(1)不相交的兩條直線不是平行直線；

17、 (2)奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱． 剖析　以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題．對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題，要特別引起注意． 正解　(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱. 4　解“邏輯”問題需強化的三意識 1．轉化意識 由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉化為逆否命題的真假來判斷或證明． 例1　證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 分析　本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉

18、化為證明它的逆否命題是真命題． 證明　命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1”的逆否命題是“若a－b＝1，則a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命題的逆否命題是真命題，∴原命題也是真命題．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍． 分析　將充分、必要條件轉化為集合之間的關系，進而轉化為集合運算問題． 解　解不等式x2－8x－20>0， 得p：A

19、＝{x|x>10或x<－2}； 解不等式x2－2x＋1－a2>0， 得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}． 依題意p?q，但qD?/p，說明AB. 于是有或，解得0

20、關于a的關系式，從而得到a的取值范圍． 解析　函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1； 函數(shù)y＝－(5－2a)x是減函數(shù)?5－2a>1?a<2， 即q真?a<2. 由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假．若p真q假，則無解；若p假q真，則1

21、p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍． 3．反例意識 在“邏輯”中，經常要對一個命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個命題是假命題不易進行，這時可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明，這是一個簡單有效的辦法． 例4　設A，B為兩個集合，則下列四個命題中真命題的序號是________． ①A?B?對任意x∈A，都有x?B； ②A?B?A∩B＝?； ③A?B?B?A； ④A?B?存在x∈A，使得x?B. 分析　畫出表示A?B的Venn圖進行判斷． 解析　畫出Venn圖，如圖1所示，則A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命題，④是真命題． A?B?B?A不成立的反例如圖2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命題． 綜上知，真命題的序號是④. 答案?、? 8