2018年高考數學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題6 函數與導數 突破點15 函數與方程學案 文

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1、 突破點15　函數與方程 [核心知識提煉] 提煉1 函數y＝f(x)零點個數的判斷 (1)代數法：求方程f(x)＝0的實數根． (2)幾何法：對于不能求解的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點． (3)定理法：利用函數零點的存在性定理，即如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點. 提煉2 已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍 已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍問題，一般利用數形結合轉化為兩個函數圖象的交點個數問題．要注意觀察是否需要

2、將一個復雜函數轉化為兩個相對較為簡單的函數，常轉化為定曲線與動直線問題． [高考真題回訪] 回訪　已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－　　　　　 B． C. D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數g(t)為偶函數． ∵f(x)有唯

3、一零點，∴g(t)也有唯一零點． 又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故選C. 法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 當且僅當x＝1時取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”． 若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，則f(x)的零點不唯一． 故選C.] 2．(2014·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值

4、范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1) A　[f′(x)＝3ax2－6x， 當a＝3時，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 則當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0； x∈時，f′(x)<0； x∈時，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示． 圖(1) 不符合題意，排除B、C. 當a＝－時，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當x∈時，f′(x)<0，x∈時，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)時，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，則f(x)的大致圖

5、象如圖(2)所示． 圖(2) 不符合題意，排除D.] 熱點題型1　函數零點個數的判斷 題型分析：函數零點個數的判斷常與函數的奇偶性、對稱性、單調性相結合命題，難度中等偏難． 【例1】(1)(2017·貴陽二模)已知函數f(x)＝當1＜a＜2時，關于x的方程f[f(x)]＝a實數解的個數為(　　) 【導學號：04024128】 A．2　　　　　 B．3 C．4 D．5 (2)已知函數f(x)＝cos x，g(x)＝2－|x－2|，x∈[－2,6]，則函數h(x)＝f(x)－g(x)的所有零點之和為(　　) A．6　　　 B．8 C.10　　　 D．12

6、(1)C　(2)D　[(1)因為函數f(x)＝1＜a＜2，作出函數f(x)的圖象，令f(x)＝t(t＞0)，則f(t)＝a，a∈(1,2)，所以t∈∪(e，e2)，當t∈時，因為＜1，由f(x)＝t可得此時有兩個解；當t∈(e，e2)時，因為e＞2，由f(x)＝t可得此時有兩個解，故關于x的方程f[f(x)]＝a實數解的個數為4，故選C. (2)函數h(x)＝f(x)－g(x)的零點之和可轉化為f(x)＝g(x)的根之和，即轉化為y1＝f(x)和y2＝g(x)兩個函數圖象的交點的橫坐標之和．又由函數g(x)＝2－|x－2|與f(x)的圖象均關于x＝2對稱，可知函數h(x)的零點之和為12

7、.] [方法指津] 求解此類函數零點個數的問題時，通常把它轉化為求兩個函數圖象的交點個數問題來解決．函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的實數根，也就是函數y＝g(x)的圖象與函數y＝f(x)的圖象交點的橫坐標．其解題的關鍵步驟為：①分解為兩個簡單函數；②在同一坐標系內作出這兩個函數的圖象；③數交點的個數，即原函數的零點的個數． 提醒：在畫函數圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應注意基本初等函數圖象的應用，以及函數性質(如單調性、奇偶性、對稱性等)的適時運用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化． [變式訓練1] (1)(2017·武漢一模)已知函數f

8、(x)＝則函數g(x)＝f(1－x)－1的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2017·南昌一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x＞0時，f(x)＝ln x－x＋1，則函數g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數的底數)的零點個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (1)C　(2)C　[(1)g(x)＝f(1－x)－1 ＝ ? 當x≥1時，函數g(x)有1個零點；當x＜1時，函數有2個零點，所以函數的零點個數為3，故選C. (2)當x＞0時，f(x)＝ln x－x＋1，則f′(x)＝－1＝，由f′(x)＝0得x＝1，且x∈(0,1

9、)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x＝1時，f(x)有極大值f(1)＝0，又奇函數的圖象關于原點對稱，作出函數圖象如圖，由圖可知函數f(x)與y＝ex的交點個數是2，則函數g(x)＝f(x)－ex的零點個數是2，故選C. ] 熱點題型2　已知函數的零點個數求參數的取值范圍 題型分析：已知函數的零點個數求參數的取值范圍，主要考查學生的數形結合思想和分類討論思想，對學生的畫圖能力有較高要求． 【例2】(1)(2017·焦作二模)已知函數f(x)＝F(x)＝f(x)－x－1，且函數F(x)有2個零點，則實數a的取值范圍為(　　) A

10、．(－∞，0] B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) (2)(2017·石家莊一模)已知函數f(x)＝－kx(e為自然對數的底數)有且只有一個零點，則實數k的取值范圍是(　　) 【導學號：04024129】 A．(0,2) B. C．(0，＋∞) D．(0，e) (1)C　(2)B　[(1)當x≤0時，F(x)＝ex－x－1，此時有一個零點0， 當x＞0時，F(x)＝x[x＋(a－1)]， ∵函數F(x)有2個零點， ∴1－a＞0，∴a＜1.故選C. (2)由題意，知x≠0，函數f(x)有且只有一個零點等價于方程－kx＝0只有一個根，即方程＝k只有

11、一個根，則函數g(x)＝與直線y＝k只有一個交點．因為g′(x)＝，當x＜0時，g′(x)＞0，當0＜x＜2時，g′(x)＜0，當x＞2時，g′(x)＞0，所以函數g(x)在(－∞，0)上是增函數，在(0,2)上為減函數，在(2，＋∞)上為增函數，g(x)的極小值為g(2)＝，且x→0，g(x)→＋∞；x→－∞，g(x)→0；x→＋∞，g(x)→＋∞，則g(x)的大致圖象如圖所示，由圖易知0＜k＜，故選B. ] [方法指津] 求解此類逆向問題的關鍵有以下幾點：一是將原函數的零點個數問題轉化為方程根的個數問題，并進行適當化簡、整理；二是構造新的函數，把方程根的個數問題轉化為新構造的兩個函數

12、的圖象交點個數問題；三是對新構造的函數進行畫圖；四是觀察圖象，得參數的取值范圍． 提醒：把函數零點轉化為方程的根，在構造兩個新函數的過程中，一般是構造圖象易得的函數，最好有一條是直線，這樣在判斷參數的取值范圍時可快速準確地得到結果． [變式訓練2] (1)(2016·湖北七校聯考)已知f(x)是奇函數并且是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是(　　) 【導學號：04024130】 A. B. C．－ D．－ (2)設函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當x∈[－1,0]時，f

13、(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為(　　) A．[3,5] B．[4,6] C．(3,5) D．(4,6) (1)C　(2)C　[(1)令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且f(x)是奇函數，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因為f(x)是R上的單調函數，所以2x2＋1＝x－λ只有一個零點，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個零點，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－， 故選C. (2)因為f(x)－f(－x)＝0， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數， 根據函數的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示： 因為g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個零點，所以y＝f(x)和y＝logax的圖象在(0，＋∞)上只有三個交點， 所以解得3＜a＜5.] 7