《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教B版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 習(xí)題課 數(shù)列求和學(xué)案 新人教B版必修5（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
習(xí)題課 數(shù)列求和
[學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.能由簡(jiǎn)單的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種基本方法．
[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]
1．基本求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
2．?dāng)?shù)列{an}的an與Sn的關(guān)系
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則an＝
3．拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式
(1)＝－.
(2)＝(－)．
(3)＝－.
要點(diǎn)一 分組分解求和
例1 求和：Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2.
解 當(dāng)x≠±1時(shí)，
2、Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2
＝(x2＋2＋)＋(x4＋2＋)＋…＋(x2n＋2＋)
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋)
＝＋＋2n
＝＋2n；
當(dāng)x＝±1時(shí)，Sn＝4n.
綜上知，Sn＝
規(guī)律方法 某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和．
跟蹤演練1 求數(shù)列{an}：1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項(xiàng)和Sn(其中a≠0)．
解 當(dāng)a＝1時(shí)，則an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
當(dāng)a≠1時(shí)，an＝＝(1－an)．
3、
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝[n－]＝－.
∴Sn＝
要點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和
例2 已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解 (1)設(shè){an}的公差為d，則由已知得即
解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)知，bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，
若q≠1，上式兩邊同乘以q.
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，
兩
4、式相減得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn
＝－n·qn.
∴Sn＝－＝.
若q＝1，則Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Sn＝
規(guī)律方法 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．若公比是個(gè)參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和．
跟蹤演練2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N＋)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
(
5、2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，
∴Sn＋1＝3Sn.又∵S1＝a1＝1，
∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．∴Sn＝3n－1(n∈N＋)．
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，
∴an＝
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2， ①
∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1， ②
①－②得－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1
＝2＋2·
6、－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，
∴Tn＝＋(n－)3n－1(n≥2)，
又∵T1＝a1＝1也滿足上式，
∴Tn＝＋(n－)3n－1(n∈N＋)．
要點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消求和
例3 求和：＋＋＋…＋，n≥2.
解 ∵＝＝(－)，
∴原式＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1＋－－)＝－.
規(guī)律方法 如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)求和法．
跟蹤演練3 求和：1＋＋＋…＋.
解 ∵an＝＝＝2(－)，
∴Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝.
要點(diǎn)四 奇偶并項(xiàng)求和
例4 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2
7、n－1)．
解 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)n·n(n∈N＋)．
跟蹤演練4 已知數(shù)列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n項(xiàng)和Sn.
解 n為偶數(shù)時(shí)，令n＝2k(k∈N＋)，
Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k(6k－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]
＝3k＝
8、n；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n＝2k＋1(k∈N＋)．
Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.
∴Sn＝
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S5等于( )
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 ∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
2．?dāng)?shù)列1，2，3，4，…的前n項(xiàng)和為( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)
答案 A
解析 1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n
9、2＋n＋2)－.
3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，若前n項(xiàng)的和為10，則項(xiàng)數(shù)為( )
A．11 B．99 C．120 D．121
答案 C
解析 ∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.
答案 (－2)n－1
解析 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a1＋，解得a1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an＋)－(an－1＋)＝an－an－1，整理可得an＝－an－1，即＝－2，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，
故an＝(－2)n－1.
求數(shù)列前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法．
1．錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
2．分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．
3．拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．
4．奇偶并項(xiàng)：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中出現(xiàn)(－1)n或(－1)n＋1時(shí)，常常需要對(duì)n取值的奇偶性進(jìn)行分類討論．
5．倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．
5
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