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2018年高考數(shù)學(xué) 專題11 空間中的平行與垂直教學(xué)案 文

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2018年高考數(shù)學(xué) 專題11 空間中的平行與垂直教學(xué)案 文

專題11 空間中的平行與垂直 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有: (1)主要考查空間概念,空間想象能力,點線面位置關(guān)系判斷,表面積與體積計算等,A級要求 (2)主要考查線線、線面、面面平行與垂直的證明,B級要求 【重點、難點剖析】 1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3)面面平行的判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. 2.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常??梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行,而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行,所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖. 3.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 4.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似,它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖. 在垂直的相關(guān)定理中,要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面,當(dāng)題目中有面面垂直的條件時,一般都要用此定理進行轉(zhuǎn)化. 【題型示例】 題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖 例1. 【2017課標II,文6】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 【答案】B 【變式探究】(2015·北京,7)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱的棱長為(  ) A.1 B. C. D.2 解析 四棱錐的直觀圖如圖所示,PC⊥平面ABCD,PC=1,底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1,最長棱長PA==. 答案 C 【變式探究】(2015·重慶,5)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A.+2π B. C. D. 解析 該幾何體由一個圓柱和一個從軸截面截開的“半圓錐”組成,其體積為V=π×12×2+×π×12×1=2π+=. 答案 B 題型二 空間幾何體的表面積 例2. 【2017課標1,文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________. 【答案】 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅰ,11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析 由題意知,2r·2r+·2πr·2r+πr2+πr2+·4πr2=4r2+5πr2=16+20π,∴r=2. 答案 B 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅱ,10)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(  ) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案 C 3.(2015·安徽,9)一個四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是(  ) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 解析 由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示. ∴其表面積S表=2××2×1+2××()2=2+,故選C. 答案 C 題型三 幾何體的體積 例3. 【2017山東,文13】由一個長方體和兩個圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為 . 【答案】 【變式探究】【2017江蘇,6】 如圖,在圓柱內(nèi)有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 ▲ . O O1 O2 (第6題) 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為,則.故答案為. 【變式探究】(2016·全國卷Ⅲ)如圖,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點. (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求四面體N-BCM的體積. 如圖,取BC的中點E,連接AE. 由AB=AC=3 得AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距離為, 故S△BCM=×4×=2. 所以四面體NBCM的體積 VNBCM=·S△BCM·=. 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅰ,6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(  ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案 B 【變式探究】(2015·山東,9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(  ) A. B. C.2π D.4π 解析 如圖,設(shè)等腰直角三角形為△ABC,∠C=90°,AC=CB=2,則AB=2. 設(shè)D為AB中點,則BD=AD=CD=. ∴所圍成的幾何體為兩個圓錐的組合體,其體積V=2××π×()2×=. 答案 B 【變式探究】(2015·新課標全國Ⅱ,19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 題型四 空間中的平行與垂直 例4、(2017·全國卷Ⅱ)如圖,四棱錐P­ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)證明:直線BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面積為2,求四棱錐P­ABCD的體積. (1)證明:在底面ABCD中,∠BAD=∠ABC=90°. 所以BC∥AD,(1分) 【舉一反三】【2017山東,文18】(本小題滿分12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD 的交點,E為AD的中點,A1E平面ABCD, (Ⅰ)證明:∥平面B1CD1; (Ⅱ)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM平面B1CD1. 【答案】①證明見解析.②證明見解析. 【解析】 證明: (2)因為 ,E,M分別為AD和OD的中點, 所以, 又 面, 所以 因為 所以 又 A1E, EM 所以平面平面, 所以 平面平面 【變式探究】(2016·北京卷)如圖,在四棱錐P­ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(導(dǎo)學(xué)號 55410121) (1)求證:DC⊥平面PAC; (2)求證:平面PAB⊥平面PAC; (3)設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由. 【變式探究】(2015·湖南,18)如圖,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是BC,CC1的中點. (1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°,求三棱錐FAEC的體積. (1)證明  ∵△ABC為正三角形,E為BC中點, ∴AE⊥BC, ∴又B1B⊥平面ABC,AE?平面ABC, 12

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