2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第5節(jié) 古典概型學(xué)案 理 北師大版

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1、 第五節(jié)　古典概型 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第178頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)

2、事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝. 4．古典概型的概率公式 P(A)＝. [知識(shí)拓展]　劃分基本事件的標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一，保證基本事件的等可能性． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．(　　) (3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(　　) (4)利用古典概型的概率可求“在邊

3、長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)到正方形中心距離小于或等于1”的概率．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(　　) A．　　 B． C． D． C　[法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確

4、的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝. 法二：所求概率為P＝＝.] 3．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A． B． C． D． C　[從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝＝.故選C．] 4．從3名男同學(xué)，2名女同學(xué)中任選2人參加知識(shí)競(jìng)賽，則選到的2名同學(xué)中至少有1名男同學(xué)的概率是______

5、__． 　[所求概率為P＝1－＝.] 5．(教材改編)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________． 　[擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共有6×6＝36種可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)不同的概率P＝1－＝.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第178頁(yè)) 簡(jiǎn)單古典概型的概率 　(1)(2017·佛山質(zhì)檢)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(　　) A．　　　 B． C． D．1 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后

6、再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)D　[(1)從袋中任取2個(gè)球共有C＝105種取法，其中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球共有CC＝50種取法，所以所取的球恰有1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為＝. (2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， 所以所求概率P＝＝. 故選D．] [規(guī)律方法]　1.求古典概型概率的步驟 (1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； (2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所

7、求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m； (3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 2.確定基本事件個(gè)數(shù)的方法： (1)基本事件較少的古典概型，用列舉法寫出所有基本事件時(shí)，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏. (2)利用計(jì)數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)知識(shí)計(jì)算基本事件. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2018·武漢調(diào)研)若同時(shí)擲兩枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)和是6的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140357】 A． B． C． D． (2)(2017·山東高考)從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　)

8、A． B． C． D． (1)C　(2)C　[(1)同時(shí)擲兩枚骰子出現(xiàn)的可能有6×6＝36種，其中向上的點(diǎn)數(shù)和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5種，所以所求概率P＝，故選C． (2)法一：∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取， ∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝×＝， P(第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝×＝. ∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝＋＝.故選C． 法二：依題意，得P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝＝.故選C．] 復(fù)雜古典概型的概率 　某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)

9、參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)． (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率； (2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率． [解]　(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名． 參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為＝. 因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－＝. (2)設(shè)參賽的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3. 則P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝

10、3)＝＝. 由互斥事件的概率加法公式可知， P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝， 故所求事件的概率為. [規(guī)律方法]　解決關(guān)于古典概型的概率問(wèn)題的關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件中包含的基本事件數(shù). (1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可用列舉法把所有基本事件一一列出，但要做到不重復(fù)、不遺漏. (2)注意區(qū)分排列與組合，以及正確使用計(jì)數(shù)原理. (3)當(dāng)所求事件含有“至少”“至多”或分類情況較多時(shí)，通?？紤]用對(duì)立事件的概率公式P(A)＝1－P()求解. [跟蹤訓(xùn)練]　(2016·山東高考)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖10-5-1所示

11、的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下： 圖10-5-1 ①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)； ②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)； ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶． 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)． (1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由． [解]　用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)． 因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16， 所以基本事件總數(shù)n＝16.

12、 (1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B，“3

13、(二)節(jié)選)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如下表： 質(zhì)量指標(biāo)值m m<185 185≤m<205 m≥205 等級(jí) 三等品 二等品 一等品 從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測(cè)后得到如圖10-5-2的頻率分布直方圖： 圖10-5-2 (1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定？ (2)在樣本中，按產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件，再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率． [解]　(1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計(jì)值為0.2

14、00＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875， 由于該估計(jì)值小于0.92，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定． (2)由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375,0.5,0.125，故在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件． 再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2種： ①一等品2件，二等品1件，三等品1件； ②一等品1件，二等品2件，三等品1件． 故所求的概率P＝＝. [規(guī)律方法]　求解古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯問(wèn)題的思路 (1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分

15、布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉出需要的信息. (2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算. [跟蹤訓(xùn)練]　海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè)． 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140358】 [解]　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是 50×＝1,150×＝3,100×＝2. 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C＝＝15，每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件數(shù)為C＋C＝4，所以P(D)＝. 故這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為. 7