2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第3節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　直線、平面平行的判定及其性質(zhì) [考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題． 1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”) ?l∥α 性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ?a∥b 2.平面與平面平行的判定定理和性

2、質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ?α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ?a∥b [常用結(jié)論] 1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. 2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b. 3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 4．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×

3、”) (1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線．(　　) (2)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　) (3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　) (4)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)下列命題中正確的是(　　) A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C．平行于同一條直線的兩個平面平行 D．若直線a，b和平面

4、α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α D　[A錯誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交．] 3．平面α與平面β平行的條件可以是(　　) A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行 B．直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi) C．α內(nèi)的任何直線都與β平行 D．直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α C　[在選項A中，α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行，α與β有可能相交，故選項A錯誤；在選項B中，直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則α與β相交或平行，故選項B錯誤；在選項C中，α內(nèi)的任何直線都與β平行，由面面平行的判定定理得

5、α∥β，故選項C正確；在選項D中，直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α，則α與β相交或平行，故選項D錯誤．故選C.] 4．已知直線l∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線l的直線(　　) A．只有一條，不在平面α內(nèi) B．只有一條，且在平面α內(nèi) C．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi) D．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi) B　[過直線l和點P作一個平面β與α相交于m， ∵l∥α，∴l(xiāng)∥m，且m?α， 若n也是過點P且平行于l的直線， 則m∥n，這與m∩n＝P相矛盾，故選B.] 5．(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為__

6、______． 平行　[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線， ∴EF∥BD1， 又EF?平面ACE， BD1?平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.] 與線、面平行相關(guān)命題的判定 1．平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D　[若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除

7、B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.] 2．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) ①　 ?、凇? ③　 　④ A．①③　　 B．②③ C．①④ D．②④ C　[對于圖形①，易得平面MNP與AB所在的對角面平行，所以AB∥平面MNP；對于圖形④，易得AB∥PN，又AB?平面MNP，PN?平面MNP，所以AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．故選C.] [規(guī)律方法]　與線、面平行相

8、關(guān)命題的判定，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形. 直線與平面平行的判定與性質(zhì) ?考法1　直線與平面平行的判定 【例1】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點． (1)證明：OE∥平面PAB； (2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF； (3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC. [證明]　(1)由已知四邊形ABCD為菱形， 又O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點， 又E為PD的中點， 所

9、以O(shè)E∥PB. 又OE?平面PAB，PB?平面PAB， 所以O(shè)E∥平面PAB. (2)過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O. 因為EG∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF， 所以EG∥平面BDF， 因為底面ABCD是菱形，O是AC的中點， 又因為E為PD的中點，所以G為PF的中點， 因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點， 所以O(shè)F∥CG. 因為CG?平面BDF，OF?平面BDF， 所以CG∥平面BDF. 又EG∩CG＝G，EG，CG?平面CGE， 所以平面CGE∥平面BDF， 又CE?平面CGE，所以CE∥平面BDF. (3)連接AM，并延長

10、，交BC于點Q，連接PQ， 因為M為△ABC的重心， 所以Q為BC中點，且＝. 又AF＝2，所以＝. 所以＝， 所以MF∥PQ， 又MF?平面PBC，PQ?平面PBC， 所以FM∥平面PBC. ?考法2　線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例2】　如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形． [證明]　∵CD∥平面EFGH， 而平面EFGH∩平面BCD＝EF， ∴CD∥EF. 同理HG∥CD，∴EF∥HG. 同理HE∥GF， ∴四邊形EFGH為平行四邊形， ∵CD∥EF，HE∥AB，

11、∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四邊形EFGH為矩形． [規(guī)律方法]　1.證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點). (2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α). (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β).,(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β). 2.利用判定定理判定線面平行，注意三條件缺一不可，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面找其交線. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)

12、是AB的中點，E是PD的中點． (1)證明：PB∥平面AEC； (2)在PC上求一點G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)證明：連接BD，設(shè)BD交AC于O，連接EO， 因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點， 又E為PD的中點，所以EO∥PB. 又EO?平面AEC， PB?平面AEC， ∴PB∥平面AEC. (2)PC的中點G即為所求的點． 證明如下： 連接GE，F(xiàn)G，∵E為PD的中點，∴EG綊CD； 又F是AB的中點，∴AF綊CD，∴AF綊EG，∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴FG∥AE，又FG?平面AEC，AE?平面AEC， ∴FG∥平面AEC.

13、 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例3】　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. [證明]　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點， ∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面． (2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點， ∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平

14、行四邊形，則A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG. [母題探究]　(1)在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA. (2)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D. [證明]　(1)如圖所示，連接HD，A1B， ∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點， ∴HD∥A1B. 又HD?平面A1B1BA， A1B?平面A1B1BA， ∴HD∥平面A1B1BA. (2)如圖所示，連接A1C交AC1于點M，

15、∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點，連接MD， ∵D為BC的中點， ∴A1B∥DM. ∵A1B?平面A1BD1， DM?平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD， ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形， ∴DC1∥BD1. 又DC1?平面A1BD1， BD1?平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D， DC1，DM?平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. [規(guī)律方法]　證明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定義. (2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條

16、相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. (3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”. (4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”. (5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. [證明]　(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O， 連接AE，則AE必過點O，連接MO， 則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO. 因為BE?平面DMF， MO?平面DMF， 所以

17、BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點， 所以DE∥GN. 因為DE?平面MNG，GN?平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因為M為AB的中點， 所以MN為△ABD的中位線， 所以BD∥MN. 因為BD?平面MNG，MN?平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因為DE∩BD＝D，BD，DE?平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG. (2016·全國卷Ⅲ節(jié)選)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點． 證明：MN∥平面PAB. [證明]　由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因為MN?平面PAB，AT?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. - 8 -