2019-2020學年高中數學 第2章 函數 3 函數的單調性學案 北師大版必修1

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1、§3　函數的單調性 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.理解函數單調性的概念及其幾何意義．(難點) 2．掌握用定義證明函數單調性的步驟．(重點) 3．會求函數的單調區(qū)間，理解函數單調性的簡單應用．(難點) 1.通過學習函數單調性的概念及幾何意義，提升數學抽象素養(yǎng)． 2．通過函數單調性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 1．函數在區(qū)間上增加(減少)的定義 閱讀教材P36～P37第二自然段結束，完成下列問題． 在函數f(x)定義域內的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩個數x1，x2∈A，當x1

2、1)>f(x2) f(x)在區(qū)間A上是減少的(遞減的) 思考1：對于函數f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)>f(0)，所以f(x)在區(qū)間[－1,1]上是遞減的，這個結論正確嗎？ [提示]　不正確．在函數遞增的定義中，要求對于任意x1，x2∈A，當x1

3、的圖像是上升的；如果函數是減少的，那么它的圖像是下降的． (2)函數的單調性 如果函數y＝f(x)在定義域的某個子集上是增加的或減少的，那么就稱函數y＝f(x)在這個子集上具有單調性． (3)單調函數 如果函數y＝f(x)在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數為增函數或減函數，統(tǒng)稱為單調函數． 思考2：函數y＝的單調區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)，還是(－∞，0)和(0，＋∞)? [提示]　函數y＝的單調區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函數最大值、最小值的概念 閱讀教材P38第二自然段及左側“思考”～P39“練習”以上內容，完成下列問題． 前提 設函

4、數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足 條件 ①對于任意x∈D，都有f(x)≤M； ②存在x0∈D，使得f(x0)＝M ①對任意x∈D都有f(x)≥M； ②存在x0∈D，使得f(x0)＝M 結論 M為最大值 M為最小值 思考3：(1)任何函數都有最大值或最小值嗎？ (2)當x∈R時，f(x)＝x2≥－1，－1是函數f(x)＝x2，x∈R的最小值嗎？ (3)函數f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是什么？ [提示]　(1)不一定，如函數y＝2x，x∈R就無最大值和最小值． (2)不是，雖然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根據最小值的定義可

5、知－1不是函數f(x)的最小值． (3)函數f(x)的最大(小)值的幾何意義分別是函數f(x)的圖像上最高(低)點的縱坐標． 1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數，則有(　　) A．k>　　　　 B．k>－ C．k< D．k<－ C　[由y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數， 所以2k－1<0得k<，故選C.] 2．函數f(x)在[－2,2]上的圖像如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是(　　) A．f(－2)，0　　　　 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 C　[由最大(小)值的幾何意義，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(

6、x)min＝f(－2)．] 3．函數f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________． －1　[f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.] 4．已知函數f(x)在R中是增函數，則當x1

7、0,1)，且x10，x1x2－1<0，x1x2>0， 所以，f(x2)－f(x1)<0， 于是f(x2)

8、判斷：根據f(x1)－f(x2)的符號及定義判斷函數的單調性. 1．對于例1中的函數，證明其在區(qū)間(1，＋∞)內是增函數． [證明]　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，得 x2－x1>0，x1x2－1>0，x1x2>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 于是f(x2)>f(x1)， 根據增函數的定義知，f(x)在(1，＋∞)上是增函數． 已知函數的單調性求參數的取值范圍 【例2】　已知函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，4]上單調遞減，求實數a的取值范圍． [思路探究]　求出

9、f(x)的單調遞減區(qū)間，利用集合之間的關系求解． [解]　∵f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1. ∴f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，1－a]． 又f(x)在區(qū)間(－∞，4]上單調遞減， 則(－∞，4]?(－∞，1－a]， ∴1－a≥4，解得a≤－3. 1．(變條件)設函數f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的增函數，則有(　　) A．a<　　　　 B．a> C．a<－ D．a>－ A　[依題意，1－2a>0，解得a<.] 2．(變條件)已知函數f(x)＝是R上的增函數，則a的取值范圍是________． －3≤a≤－2　[依題意， 解得－

10、3≤a≤－2.] 知函數的單調性，求參數取值范圍的方法 (1)先求出函數的單調區(qū)間，將其轉化為兩個集合之間的關系求解； (2)當已知函數是分段函數時，不但要考慮各段上函數的單調性，而且還要考慮各段圖像之間的上下關系. 利用單調性求函數的最大(小)值 [探究問題] 1．若函數f(x)在定義域[a，b]上是增函數，則f(x)的最大值與最小值分別是什么？ 提示：f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)． 2．已知函數f(x)的定義域是區(qū)間(a，b)，且在(a，c]上遞增，在[c，b)上遞減，則f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？ 提示：f(

11、x)一定存在最大值，最大值是f(c)． 3．如何求函數f(x)＝－在區(qū)間[1,3]上的最大值與最小值． 提示：由f(x)＝－在區(qū)間[1,3]上單調遞增，得 f(x)max＝f(3)＝－＝－； f(x)min＝f(1)＝－＝－1. 【例3】　求函數f(x)＝在區(qū)間[1,3]上的最大值與最小值． [思路探究]　先判斷函數f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調性，再利用單調性求最值． [解]　f(x)＝＝＝2＋.其圖像如下： 由上圖知，f(x)在區(qū)間[1,3]上遞增， 所以，f(x)max＝f(3)＝2＋＝； f(x)min＝f(1)＝2＋＝. (1)如果函數y＝f(x)在區(qū)

12、間(a，b]上是增函數，在區(qū)間[b，c)上是減函數，則函數y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最大值f(b) (2)如果函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數，在區(qū)間[b，c)上是增函數，則函數y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最小值f(b).,(3)如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數，則在區(qū)間[a，b]的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值. 2．求函數f(x)＝在區(qū)間[2,5]上的最值． [解]　f(x)＝＝＝1＋.其圖像如下： 由上圖知，f(x)在[2,5]上遞減， 所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5

13、)＝. 1．單調函數的運算性質 若函數f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調性，則： (1)f(x)與f(x)＋C(C為常數)具有相同的單調性． (2)f(x)與a·f(x)，當a>0時具有相同的單調性；當a<0時具有相反的單調性． (3)在f(x)，g(x)的公共單調區(qū)間上，有如下結論： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) 增函數 增函數 增函數 不能確定單調性 增函數 減函數 不能確定單調性 增函數 減函數 減函數 減函數 不能確定單調性 減函數 增函數 不能確定單調性 減函數 2.對函數最值的三點說明 (1)

14、最大(小)值必須是一個函數值，是值域中的一個元素，如函數y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是說，函數y＝f(x)的圖像不能位于直線y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定義中的“存在”是說定義域中至少有一個實數滿足等號成立，也就是說y＝f(x)的圖像與直線y＝M至少有一個交點． 3．函數最值與函數值域的關系 函數的值域是一個集合，最值若存在則屬于這個集合，即最值首先是一個函數值，它是值域的一個元素．函數值域一定存在，而函數并

15、不一定有最大(小)值. 1．思考辨析 (1)在區(qū)間A上存在x1，x2，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在區(qū)間A上是增加的．(　　) (2)若函數y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，當x1，x2∈A，且f(x1)＜f(x2)時，有x1＞x2.(　　) (3)函數f(x)＝在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上都是減少的，則f(x)為減函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．函數y＝－x＋1在區(qū)間上的最大值是(　　) A．－　　　　　 B．－1 C. D．3 C　[函數y＝－x＋1在區(qū)間上是遞減的，所以當x＝時，函數取得最大值ymax＝－＋1＝.] 3．若函數f(x)是[－2,2]上的減函數，則f(－1)______f(2)(填“＞”“＜”“＝”)． >　[∵f(x)在[－2,2]上是減函數，且－1＜2， ∴f(－1)＞f(2)．] 4．求證：函數f(x)＝－－1在區(qū)間(－∞，0)上是單調增函數． [證明]　設x1，x2是區(qū)間(－∞，0)內的任意兩個值，且x1＜x2，則x1－x2＜0，x1x2＞0， 因為f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝， 所以f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)． 故f(x)＝－－1在區(qū)間(－∞，0)上是單調增函數． - 8 -