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1、
第七節(jié) 函數(shù)的圖像
[考綱傳真] (教師用書獨具)會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)．
(對應學生用書第24頁)
[基礎知識填充]
1．利用描點法作函數(shù)的圖像
方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；
(2)化簡函數(shù)的解析式；
(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；
(4)描點連線．
2．利用圖像變換法作函數(shù)的圖像
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y＝f(x)的圖像y＝－f(x)的圖像；
②y＝f(x)的圖像y＝f(－x)的圖像；
③y＝f(x)的圖像y＝－f(－x)的圖像；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖像y＝logax(a＞0且
2、a≠1)的圖像．
(3)伸縮變換
①y＝f(x)的圖像
y＝f(ax)的圖像；
②y＝f(x)的圖像
y＝af(x)的圖像．
(4)翻轉(zhuǎn)變換
①y＝f(x)的圖像y＝|f(x)|的圖像；
②y＝f(x)的圖像y＝f(|x|)的圖像．
[知識拓展] 函數(shù)對稱的重要結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關于直線x＝a對稱．
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關于點(a，b)中心對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．
其中(1)(2)為兩函數(shù)間的
3、對稱，(3)為函數(shù)自身的對稱．
[基本能力自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個單位得到．( )
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖像關于y軸對稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像關于y軸對稱．( )
(3)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同．( )
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關于直線x＝1對稱．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改編)函
4、數(shù)f(x)＝－x的圖像關于( )
A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱
C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱
C [∵f(x)＝－x是奇函數(shù)，∴圖像關于原點對稱．]
3．函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
D [依題意，與曲線y＝ex關于y軸對稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當于y＝e－x向左平移1個單位的結(jié)果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]
4．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的圖像為( )
A [由題意知函數(shù)f(x)在R上是
5、增函數(shù)，當x＝1時，f(x)＝1，當x＝0時，f(x)＝0，故選A．]
5．若關于x的方程|x|＝a－x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(0，＋∞) [在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖像，如圖所示．由圖像知當a＞0時，方程|x|＝a－x只有一個解．]
(對應學生用書第25頁)
作函數(shù)的圖像
作出下列函數(shù)的圖像：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解] (1)先作出y＝的圖像，保留y＝圖像中x≥0的部分，再作出y＝x的圖像中x＞0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝
6、的圖像，如圖(1)實線部分．
(1) (2)
(2)將函數(shù)y＝log2x的圖像向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖像，如圖(2)．
(3)∵y＝2＋，故函數(shù)圖像可由y＝圖像向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，如圖(3)．
(3) (4)
(4)∵y＝且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖像，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖像，得圖像如圖(4)．
[規(guī)律方法] 函數(shù)圖像的常用畫法
(1)直接法：當函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的
7、關鍵點，進而直接作出圖像.
(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可脫掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖像.
(3)圖像變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用圖像變換作出.
易錯警示：注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
[跟蹤訓練] 作出下列函數(shù)的圖像：
(1)y＝eln x；(2)y＝log2|x－1|.
【導學號：79140055】
[解] (1)因為函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，
且y＝eln x＝x，所以其圖像如圖所示．
(2)作y＝log2|x|的圖像，再將圖像向右平移一個單位，如圖，即得到y(tǒng)＝log
8、2|x－1|的圖像．
識圖與辨圖
(1)(2017·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖像大致為( )
(2)函數(shù)f(x)＝的圖像如圖2-7-1所示，則下列結(jié)論成立的是( )
圖2-7-1
A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0
B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0
C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0
D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0
(1)D (2)C [(1)當x→＋∞時，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除選項B．
當0＜x＜時，y＝1＋x＋＞0，故排除選項A，C．
故選D．
(2)函數(shù)定義域為{x|x≠－c}，
結(jié)合圖像知－c＞0，∴c＜0.
令x＝0，
9、得f(0)＝，又由圖像知f(0)＞0，∴b＞0.
令f(x)＝0，得x＝－，結(jié)合圖像知－＞0，∴a＜0.
故選C．]
[規(guī)律方法] 已知函數(shù)解析式選圖，從函數(shù)的下列性質(zhì)考慮
[跟蹤訓練] (1)(2016·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖像大致為( )
(2)(2017·北京海淀區(qū)期末)函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖2-7-2所示，則f(x)的解析式可以為( )
圖2-7-2
A．f(x)＝－x2
B．f(x)＝－x3
C．f(x)＝－ex
D．f(x)＝－ln x
(1)D (2)C [(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2
10、]是偶函數(shù)，∴f(x)的圖像關于y軸對稱，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B．設g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，排除C．故選D．
(2)由函數(shù)圖像知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，A中，∵f(－1)＝－2，f(－2)＝－＜f(－1)，不滿足題意；B中，f(－1)＝0，不滿足題意；C中，易知函數(shù)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減；D中函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，不滿足題意，故選C．]
函數(shù)圖
11、像的應用
◎角度1 研究函數(shù)的性質(zhì)
已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)
C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)
D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)
C [將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，
觀察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減．]
◎角度2 求參數(shù)的值或取值范圍
已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(
12、x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A． B．
C．(1,2) D．(2，＋∞)
B [f(x)＝如圖，
作出f(x)的圖像，其中A(2,1)，則kOA＝.
要使方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有兩個交點，由圖可知，＜k＜1.]
◎角度3 求不等式的解集
(1)設奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為( )
【導學號：79140056】
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(
13、－1,0)∪(0,1)
(2)當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是( )
A． B．
C．(1，) D．(，2)
(1)D (2)B [(1)因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式＜0可化為＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致圖像如圖所示．
所以xf(x)＜0的解集為(－1,0)∪(0,1)．
(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a＞1時不滿足條件，當0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖像，可知f＜g，即2＜loga ，則a＞，所以a的取值范圍為.
]
[規(guī)律方法] 函數(shù)圖像應用的常見題型與求解方法
(1)研究函數(shù)性質(zhì)：
①根據(jù)已知或作出的
14、函數(shù)圖像，從最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值.
②從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性.
③從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.
④從圖像與x軸的交點情況，分析函數(shù)的零點等.
(2)研究方程根的個數(shù)或由方程根的個數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合求解.
(3)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應函數(shù)的圖像可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.
[跟蹤訓練] (1)如圖2-7-3，函數(shù)f(x)的圖像為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x
15、＋1)的解集是( )
圖2-7-3
A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
(2)(2017·武漢六中模擬)設函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(1)C (2)[－1，＋∞) [(1)作出函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖像，如圖所示：
其中函數(shù)f(x)與y＝log2(x＋1)的圖像的交點為D(1,1)，由圖像可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}，故選C．
(2)如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1，∴a≥－1.
]
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2019年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第7節(jié) 函數(shù)的圖像學案 理 北師大版
