2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率計(jì)算公式 3.2.2 建立概率模型學(xué)案 北師大版必修3

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1、3.2.1　古典概型的特征和概率計(jì)算公式 3.2.2　建立概率模型 [航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解古典概型的兩個(gè)基本特征． 2．掌握古典概型的概念及概率的計(jì)算公式． [讀教材·自主學(xué)習(xí)] 1．基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件． 2．基本事件的特點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件是不可能同時(shí)發(fā)生的．一次試驗(yàn)中，只可能出現(xiàn)一種結(jié)果，即出現(xiàn)一個(gè)基本事件．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 3．古典概型：(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果．(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型

2、． 4．古典概型的計(jì)算公式：對(duì)于古典概型，通常試驗(yàn)中的某一事件A是由幾個(gè)基本事件組成，如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(基本事件)數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為P(A)＝. [看名師·疑難剖析] 1．古典概型試驗(yàn)有兩個(gè)共同的特征 (1)有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件． (2)等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的． 2．古典概型的概率公式(等可能性事件的概率) (1)若試驗(yàn)的結(jié)果是由n個(gè)基本事件組成，并且每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的，而隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，則由互斥事件的概率加法公式可得： 所以古

3、典概型中，P(A)＝. 這就是概率的古典定義． (2)用集合觀點(diǎn)來(lái)理解事件A與基本事件的關(guān)系(如下圖)：在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合I，這n個(gè)結(jié)果就是集合I的n個(gè)元素，各基本事件均對(duì)應(yīng)于集合I的含有1個(gè)元素的子集，包含每個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于I的含有m個(gè)元素的子集A.因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)(記作card(A))與集合I的元素個(gè)數(shù)(記作card(I))的比值，即P(A)＝＝. 考點(diǎn)一 基本事件的計(jì)數(shù)問(wèn)題 例1　一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩只球． (1)共有多少個(gè)基本事件？ (2)兩只都是

4、白球包含幾個(gè)基本事件？ [分析]　由題目可獲取以下主要信息： ①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球． ②題目中摸球的方式為一次摸出兩只球，每只球被摸取是等可能的． 解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數(shù)出均為白球的基本事件數(shù)． [解]　(1)解法一：采用列舉法分別記白球?yàn)?、2、3號(hào)，黑球?yàn)?、5號(hào)，有以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10個(gè)(其中(1,2)表示摸到1號(hào)，2號(hào)時(shí))． 解法二：采用列表法 設(shè)5只球的編號(hào)為：a、b、c、d、e，其中a，b，c為白球，

5、d，e為黑球．列表如下： 由于每次取兩個(gè)球，每次所取兩個(gè)球不相同，而摸(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個(gè)基本事件． (2)解法一中“兩只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三種．解法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三種． 類題通關(guān) 求基本事件個(gè)數(shù)常用列舉法、列表法、樹(shù)狀圖法來(lái)解決，并且注意以下幾個(gè)方面：①用列舉法時(shí)要注意不重不漏；②用列表法時(shí)注意順序問(wèn)題；③樹(shù)狀圖法若是有順序問(wèn)題時(shí)，只做一個(gè)樹(shù)狀圖然后乘以元素個(gè)數(shù)． 　連續(xù)擲3枚均勻硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面． (1)請(qǐng)寫出這個(gè)試驗(yàn)的所有基本事件； (2)“恰有兩枚正面向上”這

6、個(gè)事件包含哪幾個(gè)基本事件？ 解　(1)這個(gè)試驗(yàn)的所有基本事件為：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有兩枚正面向上”包含以下3個(gè)基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)． 考點(diǎn)二 古典概型的判斷 例2　下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為(　　) (1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率； (2)從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率； (3)在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率； (4)拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概

7、率． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性”．第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；第3個(gè)概率模型不是古典概型．第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等． [答案]　A 類題通關(guān) 一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是看這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，即判斷試驗(yàn)是否同時(shí)滿足這兩個(gè)特征(或條件). 　判斷下列試驗(yàn)是否是古典概型，并說(shuō)明理由． (1)同時(shí)拋擲

8、兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)和為7的概率； (2)求近三天中有一天降雨的概率； (3)10個(gè)人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相鄰的概率． 解　(1)、(3)為古典概型．因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而(2)不適合等可能性，故不為古典概型． 考點(diǎn)三 古典概型的概率計(jì) 例3　袋中裝有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率： (1)A：取出的兩球都是白球； (2)B：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球． [分析]　求古典概型的概率應(yīng)按下面四個(gè)步驟進(jìn)行： (1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意； (2)判

9、斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； (3)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m； (4)利用公式P(A)＝求出事件A的概率． [解]　設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1、2、3、4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5、6.從袋中的6個(gè)小球中任取兩個(gè)的方法為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15個(gè)． (1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，所取的兩球全是白球的方法總數(shù)，即是從4個(gè)白球中任取兩個(gè)的方法總數(shù)，共有6個(gè)．即為(1,2)，(1,3)，

10、(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． ∴取出的兩個(gè)小球全是白球的概率為P(A)＝＝. (2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，其中一個(gè)是紅球，而另一個(gè)是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種． ∴取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球的概率為. 　先后拋擲兩顆骰子，求： (1)點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率； (2)點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10的概率． 解　從圖中容易看出基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)共36種． (1)記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有9個(gè)：(1,3)

11、，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)＝. (2)記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”的事件為B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件共有20個(gè)．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝. [例]　(12分)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若從甲校和乙校報(bào)名

12、的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率． (一)精妙思路點(diǎn)撥 (二)分層規(guī)范細(xì)解 (1)甲校兩名男教師分別用A，B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩名女教師分別用E，F(xiàn)表示． ①的所有可能的結(jié)果為： .②2分 從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共4種.4分 選出的兩名教師性別相同的概率為 P＝.6分 (2)①的所有可能的結(jié)果為： ② 8分 從中選出兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的結(jié)果

13、有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共6種，10分 選出的兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為P＝＝.12分 (三)來(lái)自一線的報(bào)告 通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見(jiàn)分層規(guī)范細(xì)解過(guò)程) (四)類題練筆掌握 用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求： (1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率； (2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率． 解　所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示： (1)記“3個(gè)矩形都涂同一種顏色”為事件A，由圖知，事件A的基本事件有3個(gè)，故P(A)＝＝.

14、(2)記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B，由圖可知，事件B的基本事件有6個(gè)，故P(B)＝＝. (五)解題設(shè)問(wèn) (1)本題是古典概型嗎？________. (2)用哪種方法列舉所有可能的基本事件最方便、最合適？________. 答案　(1)是 (2)樹(shù)狀圖法 1.袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面任意摸2個(gè)小球，________不是基本事件．(　　) A.{正好2個(gè)紅球} B．{正好2個(gè)黑球} C.{正好2個(gè)白球} D．{至少1個(gè)紅球} 答案　D 解析　至少1個(gè)紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個(gè)紅球，所以{至少1個(gè)紅球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.

15、 2.下列對(duì)古典概型的說(shuō)法中正確的是(　　) ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè) ②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等 ③每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等 ④基本事件總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則P(A)＝ A.②④ B．①③④ C.①④ D．③④ 答案　B 解析　②中所說(shuō)的事件不一定是基本事件，所以②不正確；根據(jù)古典概型的特點(diǎn)及計(jì)算公式可知①③④正確. 3.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________. 答案　 解析　本題主要考查古典概型．采用枚舉法：從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，基本事件

16、為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)，符合“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2個(gè)，所以所求的概率為. 4.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________. 答案　 解析　設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐，則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 5.拋擲一枚骰子，設(shè)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x， (1)求出x的可能取值情況(即全體基本事件). (2)下列事件由哪些基本事件組成(用x的取值回答). ①x的取值為2的倍數(shù)(記為事件A)； ②x的取值大于3(記為事件B)； ③x的取值不超過(guò)2(記為事件C)； ④x的取值是質(zhì)數(shù)(記為事件D). (3)判斷(2)中的事件是否為古典概型，并求其概率. 解　根據(jù)定義判斷. (1)1,2,3,4,5,6； (2)①事件A為2,4,6； ②事件B為4,5,6； ③事件C為1,2； ④事件D為2,3,5； (3)是古典概型，其中 P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝，P(D)＝＝. - 10 -