2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 推理與證明 4 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 北師大版選修2-2

《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 推理與證明 4 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 北師大版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 推理與證明 4 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 北師大版選修2-2（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、§4　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟．(重點(diǎn)) 2．體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 1．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法步驟的理解，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 2．通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本步驟 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法．它的基本步驟是： (1)驗(yàn)證：當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0＝1或2等)時(shí)，命題成立； (2)在假設(shè)當(dāng)n＝k(n∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

2、命題成立． 根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開(kāi)始的正整數(shù)n都成立． 2．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法注意的問(wèn)題 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題． (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可． (3)步驟(2)的證明必須以“假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N＋)時(shí)命題成立”為條件． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(　　) A．1　　　 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 D　[當(dāng)n＝1時(shí)，左邊應(yīng)為1＋2＋3＋4，故選D.] 2．一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命

3、題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于(　　) A．一切正整數(shù)命題成立 B．一切正奇數(shù)命題成立 C．一切正偶數(shù)命題成立 D．以上都不對(duì) B　[本題證的是對(duì)n＝1,3,5,7…時(shí)命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立．] 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n∈N＋，n≥2)”的過(guò)程中，由n＝k(k∈N＋，k≥2)推導(dǎo)到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊增加的式子是________． ＋－　[當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝＋＋…＋，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＋＋，故左邊增加的式子是＋－.] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1

4、】　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 思路探究：→→→ [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝＝＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝右邊． ∴n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立． 數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 1．驗(yàn)證是基礎(chǔ) 找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1． 2．遞推是關(guān)鍵 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)

5、的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng)． 3．利用假設(shè)是核心 在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書(shū)寫(xiě)f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫(xiě)出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)， ＋＋＋…＋＝成立， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

6、＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以n＝k＋1時(shí)，等式成立， 綜上可得，等式對(duì)于任意n∈N＋都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例2】　(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的過(guò)程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是__________． (2)證明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 思路探究：(1)寫(xiě)出當(dāng)n＝k時(shí)左邊的式子，和當(dāng)n＝k＋1時(shí)左邊的式子，比較即可． (2)在由n＝k到n＝k＋1推導(dǎo)過(guò)程中利用放縮法，在利用放縮時(shí)，注意放縮的度． 　[(1)當(dāng)n＝k＋1時(shí)左邊的代數(shù)式是＋＋…＋＋，增加了兩項(xiàng)與，但是少了一項(xiàng)，故不等式

7、的左邊增加的式子是＋－＝.] (2)[證明]?、佼?dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋ <2＋＝ <＝＝2. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由①②可知，原不等式對(duì)任意n∈N＋都成立． 本例(2)中把“<2”改為“>(n>1且n∈N＋)”，能給予證明嗎？ [證明]?、佼?dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝， ∴左邊>右邊，所以不等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋…＋>. 那么n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋

8、＋ >＋＝>＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②可知，原不等式對(duì)任意n∈N＋且n>1都成立． 數(shù)學(xué)歸納法證明第二步時(shí)的注意點(diǎn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n＝k＋1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均可靈活運(yùn)用．在證明過(guò)程中，常常要在“湊”出歸納假設(shè)的前提下，根據(jù)剩余部分的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及n＝k＋1時(shí)命題的需要進(jìn)行放縮． 2．若n∈N＋，且n>1，求證：＋＋…＋>. [證明]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)， 左邊＝＋＝＝>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥2)時(shí)不等式成立，即 ＋＋…＋>， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋ ＝

9、＋＋…＋＋＋ ＝＋＋－>＋>. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任意大于1的正整數(shù)不等式都成立. 歸納——猜想證明 【例3】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an＝且a1＝. (1)求a2，a3； (2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明． 思路探究：(1)令n＝2,3可分別求a2，a3. (2)根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明． [解]　(1)a2＝＝，a1＝， 則a2＝，類似地求得a3＝. (2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想： an＝. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)可知等式成立； ②假

10、設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想成立，即ak＝，那么， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由題設(shè)an＝， 得ak＝，ak＋1＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝， Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－. 因此，k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝＝. 這就證明了當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由①②可知命題對(duì)任何n∈N＋都成立． 證明“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)和主要題型 1．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié) 2．“歸納—猜想—證明”的主要題型 (1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和． (2)由一些恒等式、

11、不等式改編的一些探究性問(wèn)題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在． (3)給出一些簡(jiǎn)單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題． 3．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想an，并證明． [解]　由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝； 由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝. 猜想an＝. 下面證明猜想正確： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想成立，則有ak＝，當(dāng)n＝

12、k＋1時(shí)，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－＝， 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題 [探究問(wèn)題] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1? [提示]　不一定，如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°時(shí)，第一個(gè)值為n0＝3. 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟之間有怎樣的聯(lián)系？ [提示]　第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E(1)

13、，無(wú)法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)命題是否正確，我們無(wú)法判定，同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒(méi)有意義了． 【例4】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)． 思路探究：在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋23＋33＝36能被9整除，所以結(jié)論成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)結(jié)論成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k

14、＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)． 因?yàn)閗3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 由(1)(2)知命題對(duì)一切n∈N＋都成立． 證明整除性問(wèn)題的關(guān)鍵 與正整數(shù)有關(guān)的整除性問(wèn)題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè)，將n＝k＋1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來(lái)． 4

15、．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過(guò)程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為_(kāi)_________． (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6　[由n＝k成立推證n＝k＋1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法，一般地，與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題都能用數(shù)學(xué)歸納法解決． 2．第一個(gè)值n0是命題成立的第一個(gè)正整數(shù)，并不是所有的第一個(gè)值n0都是1． 3．步驟(2)是數(shù)學(xué)歸納法證明命題

16、的關(guān)鍵．歸納假設(shè)“當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N＋)時(shí)命題成立”起著已知的作用，證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”的過(guò)程中，必須用到歸納假設(shè)，再根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法． (　　) (2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1． (　　) (3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為(　　) A．1　　　　　 B．1＋a＋a

17、2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 B　[當(dāng)n＝1時(shí)，n＋1＝2，故左邊所得的項(xiàng)為1＋a＋a2．] 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式為_(kāi)_______． 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2　[當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更換為k＋1．] 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝. [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－1＝0，右邊＝＝0， 所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2] ＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k) ＝＋(2k＋1) ＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝k(k＋1)(k2＋3k＋2) ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立． 由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N＋等式成立． - 10 -