2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程章末復習課學案 新人教B版選修1-1

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1、第2章 圓錐曲線與方程 圓錐曲線定義的應用 【例1】　(1)已知F是雙曲線－＝1的左焦點，點A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為(　　) A．9　B．5 C．8 D．4 (2)若點M(1,2)，點C是橢圓＋＝1的右焦點，點A是橢圓的動點，則|AM|＋|AC|的最小值是________． (1)A　(2)8－2　[(1)設(shè)右焦點為F′，則F′(4,0)，依題意，有|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9. (2)設(shè)點B為橢圓的左焦點，則B(－3，0)，點M(1,2)

2、在橢圓內(nèi)，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝＝2， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.] 研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題. 提醒：應用定義解決問題時，需緊扣其內(nèi)涵，注意限制條件是否成立，然后得到相應的結(jié)論. 1．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則

3、C的焦點到準線的距離為(　　) A．2　　 B．4　　　C．6　 D．8 B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4.] 圓錐曲線性質(zhì)的應用 【例2】　(1)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離

4、心率為(　　) A． B． C． D． (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，點A(0,1)與雙曲線上的點的最小距離是，求雙曲線方程． (1)A　[如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 由PF⊥x軸得P. 設(shè)E(0，m)，又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝. ① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝. ② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c， ∴e＝＝. 故選A.] (2)∵e＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，設(shè)雙曲線－＝1上一點B(x，y)，則|AB|2＝x2＋(y－1)2＝4b2＋4y2＋(y－1)2＝5y2－

5、2y＋4b2＋1＝5＋4b2＋.當y＝時，|AB|取得最小值，為，即＝，∴b2＝1，雙曲線方程為－y2＝1. 圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強，需弄清每個性質(zhì)的真正內(nèi)涵，然后正確地應用到解題中去. 2．若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點)，求橢圓的離心率e的取值范圍． [解]　設(shè)點M的坐標是(x0，y0)，則 消去y0，得x＝. 因為0≤x≤a2，所以 由①，得c2≥b2，即c2≥a2－c2， 所以a2≤2c2，所以e2＝≥. 又0

6、的離心率e的取值范圍是. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 【例3】　已知直線l：x＝my＋1(m≠0)恒過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點． (1)若拋物線x2＝4y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程； (2)對于(1)中的橢圓C，若直線l交y軸于點M，且＝λ1，＝λ2， 當m變化時，求λ1＋λ2的值． [解]　(1)根據(jù)題意，直線l：x＝my＋1(m≠0)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點F， ∴F(1,0)，∴c＝1， 又∵拋物線x2＝4y的焦點為橢圓C的上頂點， ∴b＝，∴b2＝3.∴a2＝b2＋c2＝4， ∴橢圓C的方程為＋

7、＝1. (2)∵直線l與y軸交于M， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴＋＝(*)， 又由＝λ1，∴＝λ1(1－x1，－y1)， ∴λ1＝－1－， 同理λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－， ∴λ1＋λ2＝－. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點個數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：(1)有關(guān)直線與圓錐

8、曲線公共點的個數(shù)問題，應注意數(shù)形結(jié)合；(2)有關(guān)弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；(3)有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運算. 3．如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上． (1)求曲線C的方程及t的值； (2)記d＝，求d的最大值． [解]　(1)y2＝2px(p>0)的準線為x＝－， ∴1－＝，p＝， ∴拋物線C的方程為y2＝x. 又點M(t,1)在曲線C上，∴t＝1. (2)由

9、(1)知，點M(1,1)，從而n＝m，即點Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)， 且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2， 故k·2m＝1， ∴直線AB的方程為y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， ∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 從而|AB|＝·|y1－y2| ＝· ＝2. ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 當且僅當m＝1－m，即m＝時，上式等號成立， 又m＝滿足Δ＝4m－

10、4m2＞0. ∴d的最大值為1. 數(shù)學思想在圓錐曲線中的應用 【例4】　已知定點F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C. (1)求動點C的軌跡方程； (2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P，Q，交直線l1于點R，求·的最小值． [解]　(1)由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到l1的距離， ∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線， ∴動點C的軌跡方程為x2＝4y. (2)由題意知，直線l2的方程可設(shè)為y＝kx＋1(k≠0)， 與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k

11、，x1x2＝－4. 又易得點R的坐標為， ∴· ＝· ＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8. ∵k2＋≥2，當且僅當k2＝1時取等號， ∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16. 函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題中應用廣泛，主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題. 4．設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (1)求證|

12、EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程； (2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． [解]　(1)證明：因為|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC， 所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設(shè)得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2， 由橢圓定義可得點E的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)當l與x軸不垂直時，設(shè)l的

13、方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過點B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y＝－(x－1)，點A到直線m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4， 故四邊形MPNQ的面積S＝|MN|·|PQ|＝12. 可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)． 當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)． - 9 -