2018高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 理 蘇教版選修2-2

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1、 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 理解復(fù)數(shù)的基本概念； 2. 理解復(fù)數(shù)相等的充要條件； 3. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； 4. 會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算； 5. 了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的加法與減法的運(yùn)算及幾何意義；復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。 難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義的靈活運(yùn)用及復(fù)數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確運(yùn)用。 三、考點(diǎn)分析： 1. 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)之一，常以選擇題的形式出現(xiàn)，屬容易題； 2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考的另一熱點(diǎn)，以選擇題、填空題的形

2、式出現(xiàn)，屬容易題。 一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1. 復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)。 2. 復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）。 3. 共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）。 4. 復(fù)平面 借用直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)。 5. 復(fù)數(shù)的模 向量的模

3、r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 二、復(fù)數(shù)的幾何意義 1. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）（a，b∈R）； 2. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量（a，b∈R）。 三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算 1. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則 ①加法：z1＋ z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i； ②減法：z1－ z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i； ③乘法：z1· z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i； ④除

4、法： 2. 復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何、、∈C，有＋＝＋，（＋）＋＝＋（＋）。 注：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。 知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 例1 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i （1）為純虛數(shù)；（2）為實(shí)數(shù)；（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)。 思路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)分類的條件和復(fù)數(shù)的幾何意義求解。 解題過程：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，轉(zhuǎn)化為實(shí)部和虛部分別滿足的條件求解。 （1）若z為純虛數(shù)，則解得m＝3 （2）若z為實(shí)數(shù)，則解得m＝－1或m＝－2 （3）若z的對(duì)應(yīng)

5、點(diǎn)在第二象限，則解得－1

6、題過程： …………………………① 或…………………………………………② 或…………………………③ 由①得a＝－3，b＝±2，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－3，b＝－2不合題意，舍去。 ∴a＝－3，b＝2 由②得a＝±3，b＝－2。又a＝－3，b＝－2不合題意，∴a＝3，b＝－2； 由③得，此方程組無整數(shù)解。 綜合①②③得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2。 解題后反思：利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號(hào)兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對(duì)于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R）。 知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 例3 計(jì)算： 思路分析：根據(jù)

7、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算。 解題過程： 。 解題后反思：（1）在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度： ④ ⑤ ⑥。 （2）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過程中，要熟悉i的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧。 知識(shí)點(diǎn)四：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 例4 如圖，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O、A、C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求： （1）表示的復(fù)數(shù)；（2）對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)。 思路分析：求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要求出向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

8、的復(fù)數(shù)即可。 解題過程：（1）＝－，∴表示的復(fù)數(shù)為－3－2i。∵＝，∴表示的復(fù)數(shù)為－3－2i。 （2）＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i。 解題后反思：（1）解決這類題目時(shí)可利用復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R）與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，相等的向量表示同一復(fù)數(shù)，然后借助于向量運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行求解。 （2）復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本也是最重要的思想方法，橋梁是設(shè)z＝x＋yi，依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件。 （湖北高考）若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（ ） A. E B.

9、F C. G D. H 思路分析：首先在圖形上看出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡(jiǎn)形式，在坐標(biāo)系中看出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。 解題過程：觀察圖形可知z＝3＋i， ∴， 即對(duì)應(yīng)點(diǎn)H（2，－1）， 故選D。 解題后反思：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，在坐標(biāo)系中找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，根據(jù)復(fù)平面上的點(diǎn)寫出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的表示式。 問題：已知z為復(fù)數(shù)，z＋2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。 （1）求復(fù)數(shù)z； （2）若復(fù)數(shù)（z＋ai）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 思路分析： （1）設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)

10、形式，整理出z＋2i和，根據(jù)兩個(gè)都是實(shí)數(shù)、虛部都等于0，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。 （2）根據(jù)上一問得出的復(fù)數(shù)的結(jié)果，代入復(fù)數(shù)（z＋ai）2中，利用復(fù)數(shù)的加減和乘方運(yùn)算，寫出代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，寫出關(guān)于實(shí)部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結(jié)果。 解題過程：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）， 由題意，z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋ ∴b＋2＝0，即b＝－2。 又， ∴2b＋a＝0，即a＝－2b＝4?！鄗＝4－2i。 （2）由（1）可知z＝4－2i， ∵（z＋ai）2＝（4－2i＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i 對(duì)

11、應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限， ∴ 解得a的取值范圍為2＜a＜6。 解題后反思：本題考查復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，及解決實(shí)際問題的能力，是一道綜合題。 1. 掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解實(shí)部和虛部的概念，及復(fù)數(shù)的幾何意義。 2. 熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法和乘除法的運(yùn)算。常用的運(yùn)算公式要記牢： （1±i）2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i，＝b－ai， （－±i）3＝1，（±i）3＝－1 3. 解決復(fù)數(shù)的根本思想，就是將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來解決。 4. 高考主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，這是高考中重要的知識(shí)點(diǎn)。 下節(jié)課我們開始學(xué)習(xí)——選修2－3第1章第1節(jié) 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，請(qǐng)大家閱讀課本思考： 1. 什么是分類計(jì)數(shù)原理？ 2. 什么是分步計(jì)數(shù)原理？ 5