2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真]　1.會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C>0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.線性規(guī)劃中的相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由x，y的一次不等式組成的不等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 [常見結(jié)論] 1．確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法 把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示為y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，則平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，則平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的下方． 2．點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方． (　　) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一． (　　) (3)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距． (　　) (4)不等式x2－y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) C　[x－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方的平面區(qū)域，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方的平面區(qū)域，故選C．] 3．點(diǎn)(－2，t)在直線2x－3y＋6＝0的上方，則t的取值范圍是________． 　[直線2x－3y＋6＝0上方的點(diǎn)滿足不等式y(tǒng)＞x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.] 4．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________． 1　[不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.] 5．設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 3　[根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z. 作出直線y＝－x，并平移該直線， 當(dāng)直線y＝－x＋z過點(diǎn)A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 由圖知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.] 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，A，B(1,1)，C(0,4)，則△ABC的面積為×1×＝.故選C．] 2．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<5 B．a(chǎn)≥7 C．5≤a<7 D．a(chǎn)<5或a≥7 C　[如圖，當(dāng)直線y＝a位于直線y＝5和y＝7之間(不含y＝7)時滿足條件，故選C． ] 3．已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實(shí)數(shù)k的值為________． 　[直線kx－y＋2＝0恒過點(diǎn)(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 則A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知 ×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.] [規(guī)律方法]　確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式(組)．若滿足不等式(組)，則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域． (2)當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實(shí)線，不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點(diǎn)常取原點(diǎn)． 求目標(biāo)函數(shù)的最值問題 ?考法1　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________． (2)(2018·北京高考)若x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是________． (1)6　(2)3　[(1)畫出可行域，如圖中陰影部分所示．作出直線3x＋2y＝0并平移，結(jié)合圖像可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時，直線z＝3x＋2y在y軸上的截距最大，z取得最大值，即當(dāng)時，zmax＝3×2＋0＝6. (2)x＋1≤y≤2x可化為其表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在點(diǎn)A(1，2)處取得最小值，最小值為3. ] ?考法2　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例2】　實(shí)數(shù)x，y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍． [解]　由作出可行域， 如圖中陰影部分所示． (1)z＝表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率． 因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)． 由得B(1,2)， 所以kOB＝＝2，即zmin＝2， 所以z的取值范圍是[2，＋∞)． (2)z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方． 因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2. 由得A(0,1)， 所以O(shè)A2＝()2＝1， OB2＝()2＝5， 所以z的取值范圍是[1,5]． [拓展探究]　(1)保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)z＝的取值范圍． (2)保持本例條件不變，求目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值． [解]　(1)z＝可以看作過點(diǎn)P(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線的斜率，所以z的取值范圍是(－∞，0]． (2)z＝x2＋y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1， 而(x－1)2＋(y－1)2表示點(diǎn)P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2， PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， PQ＝＝， 所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝. ?考法3　求參數(shù)的值 【例3】　(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝x－my(m＞0)的最大值為4，則m＝________. (2)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組其中m＞0，且x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m＝________. (1)3　(2)1　[(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示，由得B(－2，－2)，同理可得A(2,0)，C(0,2)，因?yàn)閦＝x－my(m＞0)，則y＝x－z，當(dāng)＞，即0＜m＜2時，z＝x－my在點(diǎn)A(2,0)處取得最大值2，不合題意，因此m≥2，此時z＝x－my在點(diǎn)B(－2，－2)處取得最大值4.所以－2＋2m＝4，解得m＝3. (2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)z＝x＋y，則y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時，x＋y有最大值，此時x＋y＝9，由得A(4,5)，將A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1. ] [規(guī)律方法]　(1)求目標(biāo)函數(shù)的最值的三個步驟 ①作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線． ②平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)的位置． ③求值——解方程組求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值． (2)常見的三類目標(biāo)函數(shù) ①截距型：形如z＝ax＋by. 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值． ②距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.表示點(diǎn)(x，y)與(a，b)的距離的平方． ③斜率型：形如z＝.表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率． (1)(2019·長春模擬)若x，y滿足約束條件，則z＝x－2y的最小值為________． (2)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為________． (3)已知x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________． (1)－5　(2)－　(3)5　[(1)不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示． 由z＝x－2y得y＝x－z. 平移直線y＝x，易知經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)時，z有最小值，最小值為z＝3－2×4＝－5. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(0,1)連線的斜率．由圖知，點(diǎn)P與點(diǎn)A連線的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－. (3)畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3x＋y＝0，平移l，從而可知經(jīng)過C點(diǎn)時z取到最大值， 由 解得 ∴2×3－1－m＝0，m＝5. 由圖知，平移l經(jīng)過B點(diǎn)時，z最小， ∴當(dāng)x＝2，y＝2×2－5＝－1時，z最小，zmin＝3×2－1＝5.] 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【例4】　(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘) 收視人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式， 并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ [解]　(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D①中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)． (2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值就最大． 又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖②可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最大，即z最大． 解方程組得則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)． 所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多． [規(guī)律方法]　解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系． (2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)． (3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)． (4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)． (5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋． (2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 216 000　[設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A為x件，產(chǎn)品B為y件，則 目標(biāo)函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當(dāng)直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．] 1．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3,0]　　　 B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] B　[畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由題意可知，當(dāng)直線y＝x－z過點(diǎn)A(2,0)時，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；當(dāng)直線y＝x－z過點(diǎn)B(0,3)時，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3. 所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 故選B．] 2．(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝(　　) A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3 B　[二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線x＋ay＝0，可知在點(diǎn)A，處，z取得最值， 因此＋a×＝7，化簡得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，但a＝－5時，z取得最大值，故舍去，答案為a＝3，故選B．] 3．(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為______． 9　[畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y可化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x，并平移，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)B時，z取得最大值．聯(lián)立，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9. ] 4．(2018·全國卷Ⅲ)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________． 3　[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線y＝－3x，平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過直線x＝2與直線x－2y＋4＝0的交點(diǎn)(2,3)時，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3. ] - 13 -