2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.3平面向量的數(shù)量積教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.3平面向量的數(shù)量積教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的求法；2.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積求向量的夾角、向量的模；3.利用兩個(gè)向量的數(shù)量積證明兩個(gè)向量垂直． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解數(shù)量積的意義，掌握求數(shù)量積的各種方法；2.理解數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)；3.利用數(shù)量積解決向量的幾何問(wèn)題． 1． 平面向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b＝|a||b|cos θ. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__. 兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條

2、件是a·b＝0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b＝±|a||b|. 2． 平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 3． 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|. 4． 平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·

3、b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5． 平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝||＝. (3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān)，

4、在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍． 2． a·b>0是兩個(gè)向量a·b夾角為銳角的必要不充分條件．因?yàn)槿簟碼，b〉＝0，則a·b>0，而a，b夾角不是銳角；另外還要注意區(qū)分△ABC中，、的夾角與角B的關(guān)系． 3． 計(jì)算數(shù)量積時(shí)利用數(shù)量積的幾何意義是一種重要方法． 1． 已知向量a和向量b的夾角為135°，|a|＝2，|b|＝3，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝___. 答案?。? 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝2×3×＝－3. 2． 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案　 解析

5、　由a⊥b知a·b＝0. 又3a＋2b與λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝. 3． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為______． 答案　 解析　設(shè)a和b的夾角為θ，|a|cos θ＝|a| ＝＝＝. 4． (xx·遼寧)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k等于 (　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 答案　D 解析　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12. 5．

6、 (xx·陜西)設(shè)向量a＝(1，cos θ)與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ等于 (　　) A. B. C．0 D．－1 答案　C 解析　利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. 題型一　平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 例1　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則·等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 (2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，

7、c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 思維啟迪：(1)由于∠C＝90°，因此選向量，為基底． (2)先算出8a－b，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)·＝(－)·(－) ＝－·＋＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4. 探究提高　求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．本題從不同

8、角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件． 　(xx·北京)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________． 答案　1　1 解析　方法一　以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則 E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因?yàn)椋?1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 方法二　由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·

9、1＝1， 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1. 題型二　向量的夾角與向量的模 例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 思維啟迪：運(yùn)用數(shù)量積的定義和|a|＝. 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．

10、 |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝. (3)∵與的夾角θ＝，∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3. 探究提高　(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|＝要引起足夠重視，它是求距離常用的公式． (2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系．在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的． (1)已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為(　　) A.

11、 B. C. D. (2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，則|a＋2b|等于 (　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)∵cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝. (2)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a＋2b|＝2. 題型三　向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用 例3　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求證：a＋b與a－b互相垂直； (2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實(shí)

12、數(shù)) 思維啟迪：(1)證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題，數(shù)量積為零即得證． (2)由模相等，列等式、化簡(jiǎn)． (1)證明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0， ∴a＋b與a－b互相垂直． (2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)， a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)， |ka＋b|＝， |a－kb|＝. ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)． 又k≠0，∴cos(β－α

13、)＝0. ∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝. 探究提高　(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a⊥b，則只需證明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來(lái)表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明a·b＝0. (3)數(shù)量積的運(yùn)算中，a·b＝0?a⊥b中，是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說(shuō)a⊥b. 已知平面向量a＝(，－1)，b＝. (1)證明：a⊥b； (2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f

14、(t)． (1)證明　∵a·b＝×－1×＝0， ∴a⊥b. (2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d， ∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0， 又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， ∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0， ∴k＝f(t)＝ (t≠0)． 三審圖形抓特點(diǎn) 典例：(4分)如圖所示，把兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起， 若＝x＋y，則x＝________， y＝________. 審題路線圖 圖形有一副三角板構(gòu)成 ↓(注意

15、一副三角板的特點(diǎn)) 令|AB|＝1，|AC|＝1 ↓(一副三角板的兩斜邊等長(zhǎng)) |DE|＝|BC|＝ ↓(非等腰三角板的特點(diǎn)) |BD|＝|DE|sin 60°＝×＝ ↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°) 在上的投影即為x ↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋×＝1＋ ↓在上的投影即為y ↓y＝|BD|·sin 45°＝×＝. 解析　方法一　結(jié)合圖形特點(diǎn)，設(shè)向量，為單位向量，由＝x＋y知，x，y分別為在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝， ∴||＝||·sin 60°＝. ∴在上的投影 x＝1＋cos 45°＝1＋×＝1＋， 在上的投影y＝sin

16、45°＝. 方法二　∵＝x＋y，又＝＋， ∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y. 又⊥，∴·＝(x－1)2. 設(shè)||＝1，則由題意||＝||＝. 又∠BED＝60°，∴||＝.顯然與的夾角為45°. ∴由·＝(x－1)2， 得×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝＋1. 同理，在＝(x－1)＋y兩邊取數(shù)量積可得y＝. 答案　1＋　 溫馨提醒　突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖形的特點(diǎn)(圖形由一副三角板構(gòu)成)．根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用向量分解的幾何意義，求解方便快捷．方法二是原試題所給答案，較方法一略顯繁雜． 方法與技巧 1． 計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾

17、何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2． 求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算． 3． 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧． 失誤與防范 1． (1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系． 2． a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 3． a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)

18、間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·遼寧)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x等于 (　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　D 解析　a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1. 2． (xx·重慶)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于 (　　) A. B. C．2 D．10 答案　B 解析　∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a

19、·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 聯(lián)立①②解得x＝－，y＝－. 4． 在△ABC中，AB＝3，A

20、C＝2，BC＝，則·等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由于·＝||·||·cos∠BAC ＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx·課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 答案　3 解析　∵a，b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 6． (xx·浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，B

21、C＝10，則·＝________. 答案?。?6 解析　如圖所示， ＝＋， ＝＋ ＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. 7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是__________． 答案　(－∞，－6)∪ 解析　由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得： 6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a與b的夾角是45°. (1)求b； (2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c.

22、解　(1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝， ∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0， ∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5. 又c與b同向，故可設(shè)c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝， ∴c＝b＝(－1,3)． 9． (12分)設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解　∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1， ∴(2te1＋7

23、e2)·(e1＋te2) ＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. 由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7

24、. 答案　A 解析　∵·＝1，且AB＝2， ∴1＝||||cos(π－B)，∴||||cos B＝－1. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－2×(－1)． ∴|BC|＝. 2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案　A 解析　a·b為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉， ∴|a|·cos〈a，b〉＝－4. 3． (xx·

25、江西)在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則等于 (　　) A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 解析　∵＝－，∴||2＝2－2·＋2. ∵＝－，∴||2＝2－2·＋2. ∴||2＋||2 ＝(2＋2)－2·(＋)＋22 ＝2－2·2＋22. 又2＝162，＝2， 代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值為10. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． (xx·安徽)設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝______

26、__. 答案　 解析　利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解． a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝. 5． (xx·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn) F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 答案　 解析　方法一　坐標(biāo)法． 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)． 故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，

27、 ∴·＝(，0)·(x,2)＝x. 又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)． ∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝. 方法二　用，表示，是關(guān)鍵． 設(shè)＝x，則＝(x－1). ·＝·(＋) ＝·(＋x)＝x2＝2x， 又∵·＝，∴2x＝， ∴x＝.∴＝＋＝＋. ∴·＝(＋)· ＝ ＝2＋2 ＝×2＋×4＝. 6． (xx·上海)在矩形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足＝，則·的取值范圍是________． 答案　[1,4] 解析　利用基向量法，把，都用，表示，再求數(shù)量積． 如圖所示， 設(shè)＝ ＝λ(0≤λ≤1)，則＝

28、λ， ＝λ，＝－ ＝(λ－1)， ∴·＝(＋)·(＋) ＝(＋λ)·[＋(λ－1)] ＝(λ－1)·＋λ· ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ， ∴當(dāng)λ＝0時(shí)，·取得最大值4； 當(dāng)λ＝1時(shí)，·取得最小值1. ∴·∈[1,4]． 三、解答題 7． (13分)設(shè)平面上有兩個(gè)向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝. (1)求證：向量a＋b與a－b垂直； (2)當(dāng)向量a＋b與a－b的模相等時(shí)，求α的大?。? (1)證明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0， 故向量a＋b與a－b垂直． (2)解　由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方得 3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|， 所以a·b＝0，即·cos α＋·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°， k∈Z， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z， 又0°≤α<360°，則α＝30°或α＝210°.