2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.4平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.4平面向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查向量與平面幾何知識、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用;2.考查向量的物理應(yīng)用,利用向量解決一些實(shí)際問題.
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.掌握向量平行、垂直的條件和數(shù)量積的意義,會求一些角、距離;2.體會數(shù)形結(jié)合思想,重視向量的工具性作用.
1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用
平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.
(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題,包括相似問題,常用共線向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(3)求夾角問題,利用夾角公式
cos θ== (θ為a與b的夾角).
2. 平面向量在物理中的應(yīng)用
(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法和減法相似,可以用向量的知識來解決.
(2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,這是力F與位移s的數(shù)量積.即W=F·s=|F||s|cos θ (θ為F與s的夾角).
3. 平面向量與其他數(shù)學(xué)知識的交匯
平面向量作為一個運(yùn)算工具,經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合,當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時,由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上,可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.
此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種:一是利用平面向量平行或垂直的充要條件;二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1. 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀,向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物.在利用向量解決問題時,要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.
2. 要注意變換思維方式,能從不同角度看問題,要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題.
1. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1,F(xiàn)2成120°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為1和2,則F1與F3所成的角為________.
答案 90°
解析 如圖,F(xiàn)3=-(F1+F2).
在?OACB中,|OA|=1,|AC|=2,
∠OAC=60°,
∴|OC|=
=,
∴∠AOC=90°,即⊥,∴F1⊥F3.
2. 平面上有三個點(diǎn)A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,則動點(diǎn)C的軌跡方程為_____.
答案 y2=8x (x≠0)
解析 由題意得=,=,
又⊥,∴·=0,
即·=0,化簡得y2=8x (x≠0).
3. 河水的流速為2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為________.
答案 2 m/s
解析 如圖所示小船在靜水中的速度為
=2 m/s.
4. 已知A、B是以C為圓心,半徑為的圓上的兩點(diǎn),且||=,則·等于( )
A.- B. C.0 D.
答案 A
解析 ∵||==r,∴∠ACB=60°,
·=-·=-||·||·cos∠ACB
=-·cos 60°=-.
5. a,b為非零向量,“a⊥b”是“函數(shù)f(x)=(xa+b)·(xb-a)為一次函數(shù)”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 因?yàn)閒(x)=(xa+b)·(xb-a)=(a·b)x2+(|b|2-|a|2)x-a·b.當(dāng)f(x)為一次函數(shù)時,必須滿足即故f(x)為一次函數(shù)時一定有a⊥b.當(dāng)a⊥b且|a|=|b|時,f(x)為常函數(shù),所以“a⊥b”不是“f(x)為一次函數(shù)”的充分條件,故選B.
題型一 應(yīng)用平面向量的幾何意義解題
例1 平面上的兩個向量,滿足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y (x,y∈R),且a22+b22=1.
(1)如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),求證:=+;
(2)求||的最大值,并求此時四邊形OAPB面積的最大值.
思維啟迪:對第(1)問,可先求,再由條件即可得到結(jié)論;對第(2)問,先設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),進(jìn)而利用第(1)問的結(jié)論,并由條件確定P,O,A,B四點(diǎn)共圓,結(jié)論即可得到.
(1)證明 因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),
所以=+.
所以=-=(x+y)-
=+.
(2)解 設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),
則由⊥,知||=||=||=||=1.
又由(1)及a22+b22=1,得
||2=|-|2=22+22
=2a2+2b2=1.
所以||=||=||=||=1.
故P,O,A,B四點(diǎn)都在以M為圓心、1為半徑的圓上,所以當(dāng)且僅當(dāng)OP為圓M的直徑時,||max=2.
這時四邊形OAPB為矩形,則S四邊形OAPB=||·||=ab≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,四邊形OAPB的面積最大,最大值為2.
探究提高 本題是一道典型的考查向量幾何意義的應(yīng)用問題.求解第(2)問的難點(diǎn)就是如何利用第(1)問的結(jié)論來解決新的問題,突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵主要是從設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)入手,借助條件及第(1)問的結(jié)論,去探究||的最大值問題.
在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P,滿足++=,則△PAB與△ABC的面積之比是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由已知可得=2,∴P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
題型二 平面向量在物理計算題中的應(yīng)用
例2 質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成60°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2和4,則F3的大小為________.
答案 2
解析 方法一 由已知條件F1+F2+F3=0,
則F3=-F1-F2,F(xiàn)=F+F+2|F1||F2|cos 60°=28.
因此,|F3|=2.
方法二 如圖,||2=|F1|2+
|F2|2-2|F1||F2|cos 60°=12,
則||2+||2=||2,
即∠OF1F2為直角,
|F3|=2=2.
如圖所示,已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向
上),F(xiàn)的大小為50 N,F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)μ
=0.02的水平平面上運(yùn)動了20 m,問F、摩擦力f所做的功分別
為多少?
解 設(shè)木塊的位移為s,
則F·s=|F|·|s|cos 30°=50×20×=500 (J),
F在豎直方向上的分力大小為
|F|sin 30°=50×=25(N),
所以摩擦力f的大小為|f|=(80-25)×0.02=1.1(N),
所以f·s=|f|·|s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
∴F,f所做的功分別為500 J,-22 J.
題型三 平面向量與三角函數(shù)的交匯
例3 已知在銳角△ABC中,兩向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p與q是共線向量.
(1)求A的大小;
(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos取最大值時,B的大?。?
解 (1)∵p∥q,
∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0,
∴sin2A=,sin A=,
∵△ABC為銳角三角形,∴A=60°.
(2)y=2sin2B+cos
=2sin2B+cos
=2sin2B+cos(2B-60°)
=1-cos 2B+cos(2B-60°)
=1-cos 2B+cos 2Bcos 60°+sin 2Bsin 60°
=1-cos 2B+sin 2B=1+sin(2B-30°),
當(dāng)2B-30°=90°,即B=60°時,函數(shù)取最大值2.
探究提高 向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡單的組合.如本題中的條件通過向量給出,根據(jù)向量的平行得到一個等式.向量與其他知識的結(jié)合往往也是這種簡單組合,因此這種題目較為簡單.
△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,則角B的大小為________.
答案
解析 ∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,又∵==,
則化簡得a2+c2-b2=-ac,
∴cos B==-,∵0<B<π,∴B=.
題型四 平面向量與解析幾何的綜合問題
例4 已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點(diǎn),作PQ⊥l,垂足為Q,且·=0.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的任一條直徑,求·的最小值.
解 (1)設(shè)P(x,y),則Q(8,y).
由·=0,
得||2-||2=0,即(x-2)2+y2-(x-8)2=0,
化簡得+=1.
所以點(diǎn)P在橢圓上,其方程為+=1.
(2)因·=(-)·(-)
=(--)·(-)
=(-)2-2=2-1,
P是橢圓+=1上的任意一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),
則有+=1,即x=16-,
又N(0,1),所以2=x+(y0-1)2
=-y-2y0+17=-(y0+3)2+20.
因y0∈[-2,2],
所以當(dāng)y0=2時,2取得最小值(2-1)2=13-4,(此時x0=0),故·的最小值為12-4.
探究提高 本題是平面向量與解析幾何的綜合性問題,涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算,數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和曲線等問題,該題的難點(diǎn)是向量條件的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,破解此問題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手,這也是解決解析幾何問題的基本方法——坐標(biāo)法.在解題過程中應(yīng)該注意結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算技巧,先化簡后運(yùn)算.
已知圓C:(x-3)2+(y-3)2=4及點(diǎn)A(1,1),M是圓C上的任意一點(diǎn),點(diǎn)N在線段MA的延長線上,且=2,求點(diǎn)N的軌跡方程.
解 設(shè)M(x0,y0)、N(x,y).由=2得
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
∴ ∵點(diǎn)M(x0,y0)在圓C上,
∴(x0-3)2+(y0-3)2=4,
即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.
∴x2+y2=1.
∴所求點(diǎn)N的軌跡方程是x2+y2=1.
利用平面向量解三角形
典例:(12分)已知角A,B,C是△ABC的內(nèi)角,a,b,c分別是其對邊長,向量m=,n=,m⊥n.
(1)求角A的大??;
(2)若a=2,cos B=,求b的長.
審題視角 先根據(jù)m⊥n,利用兩個向量的數(shù)量積將已知條件轉(zhuǎn)化成三角形中邊、角的條件,然后利用正弦定理或余弦定理解題.
規(guī)范解答
解 (1)已知m⊥n,
所以m·n=·
=sin A-(cos A+1)=0,[2分]
即sin A-cos A=1,即sin=,[4分]
因?yàn)?<A<π,所以-<A-<,
所以A-=,所以A=.[6分]
(2)在△ABC中,A=,a=2,cos B=,
sin B===,
由正弦定理知:=,[9分]
所以b=a·==,
所以b=.[12分]
答題模板
利用向量解三角形問題的一般步驟為
第一步:分析題中條件,觀察題中向量和三角形的聯(lián)系;
第二步:脫去向量外衣,利用數(shù)量積將已知條件轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系;
第三步:利用正弦定理或余弦定理解三角形;
第四步:反思回顧,檢查所得結(jié)果是否適合題意作答.
溫馨提醒 解三角形問題要分析清楚題目條件,利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系,靈活進(jìn)行變形.向量只是題目的載體,三角形中的條件及轉(zhuǎn)化才是解題關(guān)鍵.
方法與技巧
1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來,這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提,運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題.
2.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.
3.用向量方法解決平面幾何問題的步驟
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;
(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系;
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
4.解析幾何問題和向量的聯(lián)系:可將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示,利用向量運(yùn)算及性質(zhì)解決解析幾何問題.
失誤與防范
1.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系:兩者并不等價.
2.注意向量的共線和直線平行的關(guān)系.
3.構(gòu)造向量解題:要根據(jù)題目需要靈活構(gòu)造向量.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 在△ABC中,已知向量與滿足·=0且·=,則△ABC為( )
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形
答案 A
解析 因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿足·=0,所以∠BAC的平分線垂直于BC,所以AB=AC.
又cos∠BAC=·=,所以∠BAC=.
所以△ABC為等邊三角形.
2. 已知|a|=2|b|,|b|≠0且關(guān)于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩相等實(shí)根,則向量a與b的夾角是 ( )
A.- B.- C. D.
答案 D
解析 由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,
即4|b|2+4·2|b|·|b|cos θ=0,
∴cos θ=-,又∵0≤θ≤π,∴θ=.
3. 已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若=λ+,其中λ∈R,則點(diǎn)P一定在( )
A.△ABC的內(nèi)部 B.AC邊所在直線上
C.AB邊所在直線上 D.BC邊所在直線上
答案 B
解析 由題意知:-=λ,
即+=λ,∴=λ,即與共線,
∴點(diǎn)P在AC邊所在直線上.
4.已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動點(diǎn)P(x,y)滿足·=x2,則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
答案 D
解析?。?-2-x,-y),=(3-x,-y),
∴·=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6.
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若·=·=1,那么c=________.
答案
解析 由題意知·+·=2,
即·-·=·(+)
=2=2?c=||=.
6. 已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),動點(diǎn)P(x,y)滿足不等式0≤·≤1,0≤·≤1,則z=·的最大值為________.
答案 3
解析?。?x,y),=(1,1),=(0,1),
∴·=x+y,·=y(tǒng),
即在條件下,求z=2x+3y的最大值,由線性規(guī)劃知識,當(dāng)x=0,y=1時,zmax=3.
7. 已知在△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則∠BAC=________.
答案 150°
解析 ∵·<0,∴∠BAC為鈍角,
又S△ABC=|a||b|sin∠BAC=.
∴sin∠BAC=,∴∠BAC=150°.
三、解答題(共22分)
8. (10分)已知△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),且AE=2EB,求證:AD⊥CE.
證明 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
設(shè)A(a,0),則B(0,a),E(x,y).
∵D是BC的中點(diǎn),∴D.
又∵=2,
即(x-a,y)=2(-x,a-y),
∴解得x=,y=a.
∵=-(a,0)=,
==,
∴·=(-a)×+a×
=-a2+a2=0.
∴⊥,即AD⊥CE.
9. (12分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).
(1)若x=,求向量a與c的夾角;
(2)當(dāng)x∈時,求函數(shù)f(x)=2a·b+1的最大值,并求此時x的值.
解 (1)設(shè)a與c的夾角為θ,當(dāng)x=時,
a=,cos θ=
==-.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)f(x)=2(-cos2x+sin xcos x)+1
=sin 2x-cos 2x=sin.
又x∈,∴2x-∈.
∴當(dāng)2x-=,即x=時,
f(x)的最大值為×=1.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)=a,=b,則△OAB的面積等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 設(shè)∠AOB=θ,那么cos θ=,
則sin θ==,
那么△OAB的面積
S=|a||b|·sin θ
=|a||b|·
=.
2. 如圖,△ABC的外接圓的圓心為O,AB=2,AC=3,BC=,則·
等于 ( )
A. B.
C.2 D.3
答案 B
解析 ·=·(-)=·-·,
因?yàn)镺A=OB,所以在上的投影為||,
所以·=||·||=2,
同理·=||·||=,
故·=-2=.
3. 已知向量m,n的夾角為,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=m+n,=m-3n,D為BC邊的中點(diǎn),則||等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 由題意知:||=|+|
=|2m-2n|=|m-n|==1.
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為120°.如圖所示,
點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若=x+y,其中x,y∈R,
則x+y的最大值是________.
答案 2
解析 依題意,||=1,則||2=1,
又=x+y,||=||=1,〈,〉=120°,
∴x2·2+y2·2+2xy·=1,
因此x2+y2+2xycos 120°=1,xy=x2+y2-1.
∴3xy=(x+y)2-1≤32,(x+y)2≤4.
∴x+y的最大值是2.
5. (xx·湖南)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為
P,且AP=3,則·=________.
答案 18
解析 根據(jù)向量的加法幾何意義及數(shù)量積運(yùn)算律求解.
∵·=·(+)=·+·
=·+·(+)=·+2·,
又∵AP⊥BD,∴·=0.
∵·=||||cos∠BAP=||2,
∴·=2||2=2×9=18.
6. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|+|=|-|,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為________.
答案 ±2
解析 如圖所示,以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形OACB,則由|+|=|-|得,平行四邊形OACB是矩形,⊥.由圖象得,直線y=-x+a在y軸上的截距為±2.
三、解答題
7. (13分)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動,如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°,速度為20 km/h,此時水的流向是正東,流速為20 km/h.若不考慮其他因素,求帆船的速度與方向.
解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30°,速度為|v1|=20(km/h),水流的方向?yàn)檎龞|,速度為|v2|=20(km/h),
設(shè)帆船行駛的速度為v,
則v=v1+v2.
由題意,可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10),向量v2=(20,0),
則帆船的行駛速度
v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),
所以|v|==20(km/h).
因?yàn)閠an α==(α為v和v2的夾角,α為銳角),
所以α=30°.
所以帆船向北偏東60°的方向行駛,速度為20 km/h.