2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 11.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 11.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　考查線性回歸的基本思想和簡(jiǎn)單應(yīng)用． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解散點(diǎn)圖和相關(guān)關(guān)系的概念；2.注意線性回歸方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用． 1． 兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)正相關(guān) 在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱(chēng)為正相關(guān)． (2)負(fù)相關(guān) 在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為負(fù)相關(guān)． (3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)

2、系，這條直線叫做回歸直線． 2． 回歸方程 (1)最小二乘法 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程 方程 ＝ x＋ 是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)的回歸方程，其中 ， 是待定參數(shù)． . 3． 回歸分析 (1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． (2)樣本點(diǎn)的中心 對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(，)稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心． (3)相關(guān)系數(shù) 當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時(shí)，表

3、明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系．例如正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系S＝x2就是函數(shù)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．例如商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)是相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提． 2． 對(duì)回歸分析的理解 回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它主

4、要解決三個(gè)問(wèn)題： (1)確定兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式，否則求出的回歸方程沒(méi)有意義； (2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)； (3)求出線性回歸方程． 1． 已知x、y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從所得的散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且 ＝0.95x＋ ，則 ＝________. 答案　2.6 解析　因?yàn)榛貧w直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)， 又＝2，＝4.5，代入 ＝0.95x＋ ，得 ＝2.6. 2． (xx·遼寧)調(diào)查了某地若干戶(hù)家庭的年收入x(單位

5、：萬(wàn)元)和年飲食支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的線性回歸方程： ＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加______萬(wàn)元． 答案　0.254 解析　由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 3． (xx·湖南)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是

6、 (　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 答案　D 解析　由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85， 因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確． 又線性回歸方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，因此B正確． 由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加0.85 kg，故C正確． 當(dāng)某女生的身高為170 cm時(shí)，其體重估計(jì)值是58.79 kg，而不是具體值，因此D不正確． 4． 對(duì)于回歸分析，

7、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 (　　) A．在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯 一確定 B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的 C．回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說(shuō)明x與y之間完全線性相關(guān) D．樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－1,1) 答案　D 解析　由定義可知相關(guān)系數(shù)|r|≤1，故D錯(cuò)誤． 5． 已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，若它們的回歸直線的斜率為6.5，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，它在回歸直線上方的概率為

8、 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意可知， ＝6.5，＝5，＝50，則 ＝－ ＝17.5，所以線性回歸方程為 ＝6.5x＋17.5，將樣本數(shù)據(jù)代入線性回歸方程檢驗(yàn)可知，只有兩點(diǎn)(5,60)，(8,70)在回歸直線上方，所以所求概率為. 題型一　兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系 例1　5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚? 　　學(xué)生 學(xué)科　　 A B C D E 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系． 思維啟迪：

9、將每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，作散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 解　以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī)，y軸表示物理成績(jī)，可得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示． 由散點(diǎn)圖可知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致在一條直線附近，所以?xún)烧咧g具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)． 探究提高　判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖很容易看出兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)性，是不是存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，相關(guān)關(guān)系是強(qiáng)還是弱． 　對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi) (i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u、v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi) (i＝1,

10、2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 答案　C 解析　由圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)． 題型二　線性回歸方程 例2　(xx·福建)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷(xiāo)量y(件) 90 84 83 80 7

11、5 68 (1)求線性回歸方程＝x＋，其中＝－20，＝－； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本) 思維啟迪：根據(jù)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心來(lái)求線性回歸方程，然后利用回歸方程求最大利潤(rùn)． 解　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20， 所以＝－＝80＋20×8.5＝250， 從而線性回歸方程為＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得 L＝x(－20x＋250)

12、－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20(x－8.25)2＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值． 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 探究提高　回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心(，)是一條重要性質(zhì)；利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)． 　(xx·廣東)為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時(shí)間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的

13、平均投籃命中率為_(kāi)_______；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_(kāi)_______． 答案　0.5　0.53 解析　小李這5天的平均投籃命中率 ＝＝0.5，可求得小李這5天的平均打籃球時(shí)間＝3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得 ＝0.01， ＝0.47，故線性回歸方程為 ＝0.01x＋0.47，將x＝6代入得6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率約為0.53. 統(tǒng)計(jì)中的數(shù)形結(jié)合思想 典例：(12分)某地10戶(hù)家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如表所示： 年收入x(萬(wàn)元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年飲食支出y(萬(wàn)元) 0.9

14、 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系； (2)如果某家庭年收入為9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)其年飲食支出． 審題視角　可以畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖中點(diǎn)的分布判斷家庭年收入和年飲食支出的線性相關(guān)性． 規(guī)范解答 解　(1)由題意，知年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖如圖所示． [3分] 從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系．[4分] 因?yàn)椋?，＝1.83，＝406，＝35.13， iyi＝1

15、17.7， 所以＝≈0.172， ＝－≈1.83－0.172×6＝0.798. 從而得到線性回歸方程為＝0.172x＋0.798.[8分] (2)＝0.172×9＋0.798＝2.346(萬(wàn)元)． 所以家庭年收入為9萬(wàn)元時(shí)，可以預(yù)測(cè)年飲食支出為2.346萬(wàn)元．[12分] 溫馨提醒　(1)在統(tǒng)計(jì)中，用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)圖表中的莖葉圖、折線圖、條形圖，去估計(jì)總體的相關(guān)問(wèn)題，以及用散點(diǎn)圖判斷相關(guān)變量的相關(guān)性等都體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合．借助于形的直觀，去統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，無(wú)不體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． (2)本題利用散點(diǎn)圖分析兩變量間的相關(guān)關(guān)系，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的

16、應(yīng)用． (3)本題易錯(cuò)點(diǎn)為散點(diǎn)圖畫(huà)的不準(zhǔn)確，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤. 方法與技巧 1． 求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù) ， ，由于 ， 的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤．(注意線性回歸方程中一次項(xiàng)系數(shù)為 ，常數(shù)項(xiàng)為 ，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同．) 2． 回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)求出線性回歸方程． 失誤與防范 1． 回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性

17、時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義． 2． 根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值． A組　專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 相關(guān)系數(shù)度量 (　　) A．兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度 B．散點(diǎn)圖是否顯示有意義的模型 C．兩個(gè)變量之間是否存在因果關(guān)系 D．兩個(gè)變量之間是否存在關(guān)系 答案　A 解析　相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱． 2． (xx·陜西)設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣

18、本 點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線(如 圖)，以下結(jié)論中正確的是 (　　) A．直線l過(guò)點(diǎn)(，) B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 D．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 答案　A 解析　因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以B、C錯(cuò)誤．D中n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同，所以D錯(cuò)誤．根據(jù)線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)中心可知A正確． 3． (xx·山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

19、廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程 ＝ x＋ 中的 為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為 (　　) A．63.6萬(wàn)元 B．65.5萬(wàn)元 C．67.7萬(wàn)元 D．72.0萬(wàn)元 答案　B 解析　∵＝＝，＝＝42， 又 ＝ x＋ 必過(guò)(，)， ∴42＝×9.4＋ ，∴ ＝9.1. ∴線性回歸方程為 ＝9.4x＋9.1. ∴當(dāng)x＝6時(shí)， ＝9.4×6＋9.1＝65.5(萬(wàn)元)． 4． (xx·課標(biāo)全國(guó))在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，

20、(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為 (　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案　D 解析　樣本點(diǎn)都在直線上時(shí)，其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的，即yi＝i，代入相關(guān)系數(shù)公式r＝＝1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 某市居民xx～xx年家庭年平均收入x(單位：萬(wàn)元)與年平均支出Y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 年份 xx xx xx xx xx 收入x 1

21、1.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關(guān)關(guān)系． 答案　13　正 解析　把xx～xx年家庭年平均收入按從小到大順序排列為11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位數(shù)為13(萬(wàn)元)，由統(tǒng)計(jì)資料可以看出，當(dāng)年平均收入增多時(shí)，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正線性相關(guān)關(guān)系． 6． 在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟

22、病是________的(有關(guān)，無(wú)關(guān))． 答案　有關(guān) 解析　由觀測(cè)值k＝27.63與臨界值比較，我們有99.9%的把握說(shuō)打鼾與患心臟病有關(guān)． 6． 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生 產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為 ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為_(kāi)_______． 答案　3 解析　樣本點(diǎn)中心是(，)，即. 因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)該點(diǎn)， 所以＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3. 三、解答題(共22分) 8．

23、(10分)某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下： 月份 產(chǎn)量(千件) 單位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 且已知產(chǎn)量x與成本y具有線性相關(guān)關(guān)系． (1)求出線性回歸方程； (2)指出產(chǎn)量每增加1 000件時(shí)，單位成本平均變動(dòng)多少？ (3)假定產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本為多少元？ 解　(1)n＝6，＝3.5，＝71，x＝79，xiyi＝1 481， ＝＝≈－1.82， ＝－ ＝71＋1.82×3.5＝77.37， ∴線性回歸方程為 ＝ x＋ ＝－1.82x＋77.3

24、7. (2)因?yàn)閱挝怀杀酒骄儎?dòng) ＝－1.82<0，且產(chǎn)量x的計(jì)量單位是千件，所以根據(jù)回歸系數(shù) 的意義有產(chǎn)量每增加一個(gè)單位即1 000件時(shí)，單位成本平均減少1.82元． (3)當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí)，即x＝6，代入線性回歸方程， 得 ＝77.37－1.82×6＝66.45(元) ∴當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本大約為66.45元． 9． (12分)(xx·安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 xx xx xx xx xx 需求量(萬(wàn)噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程

25、 ＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地xx年的糧食需求量． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求線性回歸方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份－xx －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得 ＝0，＝3.2. ＝ ＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求線性回歸方程為 －257＝ (x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2， 即 ＝6.5(x－2 006)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預(yù)測(cè)xx年的糧食需求量約為

26、 6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬(wàn)噸)． B組　專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 以下三個(gè)命題，其中正確的是 (　　) ①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣； ②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1 ； ③在線性回歸方程 ＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量 平均增加0.2個(gè)單位． A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 答案　D 2

27、． 若變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)r＝－0.936 2，則變量y與x之間 (　　) A．不具有線性相關(guān)關(guān)系 B．具有線性相關(guān)關(guān)系 C．它們的線性相關(guān)關(guān)系還要進(jìn)一步確定 D．不確定 答案　B 解析　相關(guān)系數(shù)r主要是來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，|r|越接近1，兩個(gè)變量之間線性關(guān)系就越強(qiáng)，|r|越接近0，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性關(guān)系．因?yàn)閨r|＝0.936 2，接近1，所以變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 3．(xx·江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x(cm) 174 176 176 176 178 兒子身

28、高y(cm) 175 175 176 177 177 則y對(duì)x的線性回歸方程為 (　　) A. ＝x－1 B. ＝x＋1 C. ＝88＋x D. ＝176 答案　C 解析　因?yàn)椋剑?76， ＝＝176， 又y對(duì)x的線性回歸方程表示的直線恒過(guò)點(diǎn)(，)，所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗(yàn)知選C. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． ①若r>0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；②若r<0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)點(diǎn)均在一條直線上．

29、 上面是關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的幾種說(shuō)法，其中正確的序號(hào)是__________． 答案?、佗? 解析　若r>0，表示兩個(gè)相關(guān)變量正相關(guān)，x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大，故①正確；r<0，表示兩個(gè)相關(guān)變量負(fù)相關(guān)，x增大時(shí)，y相應(yīng)減小，故②錯(cuò)誤；|r|越接近1，表示兩個(gè)變量相關(guān)性越高，|r|＝1表示兩個(gè)變量有確定的關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)，故③正確． 5． (xx·廣東)某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)_______ cm. 答案　185 解析　兒子和父親的身高可列表

30、如下： 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設(shè)線性回歸方程 ＝ ＋ x，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得 ＝1，故 ＝－ ＝176－173＝3，故線性回歸方程為 ＝3＋x，將x＝182代入得孫子的身高為185 cm. 6． 某煉鋼廠廢品率x(%)與成本y(元/t)的線性回歸方程為＝105.492＋42.569x.當(dāng)成本控制在176.5元/t時(shí)，可以預(yù)計(jì)生產(chǎn)的1 000 t鋼中，約有________ t鋼是廢品． 答案　16.68 解析　∵176.5＝105.492＋42.569x， ∴x≈1.668， 即成本控制在176.5元/t時(shí)，廢品率為1

31、.668%. ∴生產(chǎn)的1 000 t鋼中，約有1 000×1.668%＝16.68(t)鋼是廢品． 三、解答題 7． (13分)一臺(tái)機(jī)器使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用．它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)； (2)如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程； (3)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(結(jié)果保留整數(shù)) 解　(1)＝12.5，＝8.25，xiyi＝438， 4 ＝412.5，x＝660，y＝291， 所以r＝ ＝ ＝≈≈0.995. 因?yàn)閞>0.75，所以y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． (2) ＝≈0.728 6， ＝－ ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5， ∴所求線性回歸方程為 ＝0.728 6x－0.857 5. (3)要使 ≤10?0.728 6x－0.857 5≤10， 所以x≤14.901 9≈15. 所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒以下．