2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（2）教案 新人教A版 導(dǎo)入新課 思路1.當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x+1;當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=-x,請(qǐng)寫出函數(shù)f(x)的解析式.這個(gè)函數(shù)的解析式有什么特點(diǎn)？教師指出本節(jié)課題. 思路2.化簡(jiǎn)函數(shù)y=|x|的解析式,說(shuō)說(shuō)此函數(shù)解析式的特點(diǎn),教師指出本節(jié)課題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①函數(shù)h(x)=與f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么區(qū)別? ②請(qǐng)舉出幾個(gè)分段函數(shù)的例子. 活動(dòng)：學(xué)生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別.所謂“分段函數(shù)”,習(xí)慣上指在定義域的不同部分,有不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù).并讓學(xué)生結(jié)合體會(huì)來(lái)實(shí)際舉例. 討論結(jié)果：①函數(shù)

2、h(x)是分段函數(shù),在定義域的不同部分,其解析式不同.說(shuō)明:分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問(wèn)題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等等. ②例如:y=等. 應(yīng)用示例 思路1 1.畫出函數(shù)y=|x|的圖象. 活動(dòng)：學(xué)生思考函數(shù)圖象的畫法:①化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù);②利用變換法畫出圖象,根據(jù)絕對(duì)值的概念來(lái)化簡(jiǎn)解析式. 解法一：由絕對(duì)值的概念,我們有y= 所以,函數(shù)y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示. 圖1-2-2-10 解法二：畫函數(shù)y=x的圖象,將其位于

3、x軸下方的部分對(duì)稱到x軸上方,與函數(shù)y=x的圖象位于x軸上方的部分合起來(lái)得函數(shù)y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示. 變式訓(xùn)練 1.已知函數(shù)y= (1)求f{f［f(5)］}的值; (2)畫出函數(shù)的圖象. 分析:本題主要考查分段函數(shù)及其圖象.f(x)是分段函數(shù),要求f{f［f(5)］},需要確定f［f(5)］的取值范圍,為此又需確定f(5)的取值范圍,然后根據(jù)所在定義域代入相應(yīng)的解析式,逐步求解.畫出函數(shù)在各段上的圖象,再合起來(lái)就是分段函數(shù)的圖象. 解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f

4、{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1. (2)圖象如圖1-2-2-11所示: 圖1-2-2-11 2.課本P23練習(xí)3. 3.畫函數(shù)y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的圖象. 步驟:①畫整個(gè)二次函數(shù)y=x2的圖象,再取其在區(qū)間(-∞,0］上的圖象,其他部分刪去不要;②畫一次函數(shù)y=-x的圖象,再取其在區(qū)間(0,+∞)上的圖象,其他部分刪去不要;③這兩部分合起來(lái)就是所要畫的分段函數(shù)的圖象.如圖1-2-2-12所示. 圖1-2-2-12 函數(shù)y=f(x)的圖象位于x軸上方的部分和y=|f(x)|的圖象相同,函數(shù)y=f(x)的圖象位

5、于x軸下方的部分對(duì)稱到上方就是函數(shù)y=|f(x)|的圖象的一部分.利用函數(shù)y=f(x)的圖象和函數(shù)y=|f(x)|的圖象的這種關(guān)系,由函數(shù)y=f(x)的圖象畫出函數(shù)y=|f(x)|的圖象. 2.某市“招手即停”公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定: (1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米),票價(jià)2元; (2)5千米以上,每增加5千米,票價(jià)增加1元(不足5千米按5千米計(jì)算), 如果某條線路的總里程為20千米,請(qǐng)根據(jù)題意,寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象. 活動(dòng)：學(xué)生討論交流題目的條件,弄清題意.本例是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,有具體的實(shí)際意義,根據(jù)實(shí)際情況公共汽車到站才能停車,所以行車?yán)锍讨荒?/p>

6、取整數(shù)值.由于里程在不同的范圍內(nèi),票價(jià)有不同的計(jì)算方法,故此函數(shù)是分段函數(shù). 解：設(shè)里程為x千米時(shí),票價(jià)為y元,根據(jù)題意得x∈(0,20］. 由空調(diào)汽車票價(jià)制定的規(guī)定,可得到以下函數(shù)解析式: 圖1-2-2-13 y= 根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式,可畫出函數(shù)圖象,如圖1-2-2-13所示. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,以及應(yīng)用函數(shù)解決問(wèn)題的能力.生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問(wèn)題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅納稅額等等.在列出其解析式時(shí),要充分考慮實(shí)際問(wèn)題的規(guī)定,根據(jù)規(guī)定來(lái)求得解析式. 注意：①本例具有實(shí)際背景,所以解題時(shí)應(yīng)考慮其實(shí)際意義; ②分段函數(shù)的解析式不能寫成幾

7、個(gè)不同的方程,而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái),并分別注明各部分的自變量的取值情況. 變式訓(xùn)練xx上海中學(xué)高三測(cè)試,理7某客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是:如果行程不超過(guò)100千米,票價(jià)是每千米0.5元,如果超過(guò)100千米,超過(guò)部分按每千米0.4元定價(jià),則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程千米數(shù)x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式是________. 分析:根據(jù)行程是否大于100千米來(lái)求出解析式. 答案：y= 思路2 1.已知函數(shù)f(x)= (1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值; (2)畫出函數(shù)的圖象. 活動(dòng)：此函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)注意在不同的自變量取值范圍

8、內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1. (2)函數(shù)圖象如圖1-2-2-14所示: 圖1-2-2-14 變式訓(xùn)練 xx福建廈門調(diào)研,文10若定義運(yùn)算a⊙b=則函數(shù)f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. 分析:由題意得f(x)=畫函數(shù)f(x)的圖象得值域是(-∞,1］. 答案：(-∞,1］ 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的解析式和圖象.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),要注意自變量在其定義域的哪一段上,依次代入分段函數(shù)的解析式.畫分段函數(shù)y=(D1,D2,…,兩兩交集是空集)的圖象步驟是

9、 (1)畫整個(gè)函數(shù)y=f1(x)的圖象,再取其在區(qū)間D1上的圖象,其他部分刪去不要; (2)畫整個(gè)函數(shù)y=f2(x)的圖象,再取其在區(qū)間D2上的圖象,其他部分刪去不要; (3)依次畫下去; (4)將各個(gè)部分合起來(lái)就是所要畫的分段函數(shù)的圖象. 2.如圖1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿著折線BC、CD、DA前進(jìn)至A,若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為x,△PAB的面積為y. 圖1-2-2-15 (1)寫出y=f(x)的解析式,指出函數(shù)的定義域; (2)畫出函數(shù)的圖象并求出函數(shù)的值域. 活動(dòng)：學(xué)生之間相互討論交流,教師幫助學(xué)生審題

10、讀懂題意.首先通過(guò)畫草圖可以發(fā)現(xiàn),P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同的位置,y的求法是不同的(如圖1-2-2-16的陰影部分所示). 圖1-2-2-16 可以看出上述三個(gè)陰影三角形的底是相同的,它們的面積由其高來(lái)定,所以只要由運(yùn)動(dòng)里程x來(lái)求出各段的高即可.三角形的面積公式為底乘高除以2,則△PAB的面積的計(jì)算方式由點(diǎn)P所在的位置來(lái)確定. 解：(1)分類討論: ①當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),易知∠B=60°,則知 y=×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4. ②當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí), y=×10×2=10,4

11、

12、 答案：B 2.已知函數(shù)f(x)= (1)畫出函數(shù)的圖象; (2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值. 解析:分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象,合在一起得函數(shù)的圖象. (1)如圖1-2-2-19所示,畫法略. 圖1-2-2-19 (2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1. 3.某人驅(qū)車以52千米/時(shí)的速度從A地駛往260千米遠(yuǎn)處的B地,到達(dá)B地并停留1.5小時(shí)后,再以65千米/時(shí)的速度返回A地.試將此人驅(qū)車走過(guò)的路程s(千米)表示為時(shí)間t的函數(shù). 分析:本題中的函數(shù)是分段函數(shù),要由時(shí)間t屬于哪個(gè)時(shí)間段,得到相應(yīng)

13、的解析式. 解：從A地到B地,路上的時(shí)間為=5(小時(shí));從B地回到A地,路上的時(shí)間為=4(小時(shí)).所以走過(guò)的路程s(千米)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為 s= 拓展提升 問(wèn)題:已知函數(shù)y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N*. (1)求:f(2),f(3),f(4),f(5); (2)猜想f(n),n∈N*. 探究:(1)由題意得f(1)=1,則有 f(2)=f(1)+2=1+2=3, f(3)=f(2)+2=3+2=5, f(4)=f(3)+2=5+2=7, f(5)=f(4)+2=7+2=9. (2)由(1)得 f(1)=1=2×1-1, f(2)=3=2×2-1, f(3)=5=2×3-1, f(4)=7=2×4-1, f(5)=9=2×5-1. 因此猜想f(n)=2n-1,n∈N*. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了:畫分段函數(shù)的圖象;求分段函數(shù)的解析式以及分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用. 作業(yè) 課本P25習(xí)題1.2 B組 3、4. 設(shè)計(jì)感想 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)容量較大,特別是例題條件有圖,建議使用信息技術(shù)來(lái)完成.本節(jié)重點(diǎn)設(shè)計(jì)了分段函數(shù),這是課標(biāo)明確要求也是高考的重點(diǎn),通過(guò)分段函數(shù)問(wèn)題能夠區(qū)分學(xué)生的思維層次,因此教學(xué)中應(yīng)予以重視.