2022年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題 含解析

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1、 2022年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題 含解析 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的. 1.設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，可知，，所以，故選B. 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算. 2.已知函數(shù)定義域是，則的定義域（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由得，由，解得，故選D. 考點(diǎn)：函數(shù)的定義域. 3.命題“存在，為假命題”是命題“”的（ ） A．

2、充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)題意為恒成立，即，解得，所以為充要條件，故選A. 考點(diǎn)：充要條件的判斷. 4.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則它在點(diǎn)A處的切線方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，所以，根據(jù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，則有，所以，，，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，求得切線方程是，故選C. 考點(diǎn)：冪函數(shù)解析式的求解，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖像的切線方程. 5.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原的2倍，再向左平移個

3、單位，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是（ ） A B. C D 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，變換以后的函數(shù)解析式為，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是，故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)圖像的變換. 6.函數(shù)的圖象大致是（ ） 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以圖像不關(guān)于軸對稱，所以C,D不正確，當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮，而余弦函數(shù)是有界的，所以趨向于，故B不對，只能選A. 考點(diǎn)：函數(shù)圖像的選取. 7.已知定義在R上的偶函數(shù)，在時(shí)，，若，則a的取值范圍是（ ）

4、 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)圖像的對稱性，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以等價(jià)于，解得，故選B. 考點(diǎn)：偶函數(shù)的性質(zhì). 8.下列四個命題： $x∈(0, ＋∞), ()x＜()x； $x∈(0, 1), logx＞logx； "x∈(0, ＋∞), ()x＞logx； "x∈(0, ), ()x＜logx. 其中真命題是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考點(diǎn)：指對函數(shù)的圖像和性質(zhì). 9.已知符號函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ） A．1 B．2

5、 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可以求得函數(shù)的零點(diǎn)為，所以函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為個，故選B. 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn). 10.設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)， 對 所有的恒成立，則的取值范圍是（ ） A． B．或 C．或或 D． 或或 【答案】D 【解析】 試題分析：根據(jù)題意有，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的最大值為，所以有對于恒成立，所以有在恒成立，即，解得或或，故選D. 考點(diǎn)：構(gòu)造函數(shù)，恒成立問題. 11.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C

6、． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有2個零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的圖像與直線有兩個交點(diǎn)，而圖像過點(diǎn)，此時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，可知的取值范圍是，故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想. 12.定義一：對于一個函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和， 使得在時(shí)， 恒成立，則稱函數(shù)在內(nèi)有一個寬度為的通道. 定義二：若一個函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，都存在一個實(shí)數(shù)，使得函數(shù) 在內(nèi)有一個寬度為的通道，則稱在正無窮處有永恒通道. 下列函數(shù)①,②，③，④， 其中在正無窮處有永恒通道的函數(shù)的個數(shù)為（ ） A. 1

7、 B.2 C. 3 D.4 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖像，可知只有①沒有，剩下三個都可以，所以選C. 考點(diǎn)：新定義. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.若函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) ． 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)奇函數(shù)的條件，當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)有定義時(shí)，可知，解得，當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)沒有定義時(shí)，求得，解得，經(jīng)驗(yàn)證函數(shù)是奇函數(shù)，故. 考點(diǎn)：奇函數(shù)的定義. 14.定義在R上的奇函數(shù)滿足則= ． 【答案】 考點(diǎn)：利用函

8、數(shù)的周期性及奇偶性求函數(shù)值. 15.已知命題:關(guān)于的方程在有解；命題在單調(diào)遞增；若“”為真命題，“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，關(guān)于的方程在有解，可得，從而求得；在單調(diào)遞增，可得，解得，根據(jù)“”為真命題，“”是真命題，可知假真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 考點(diǎn)：命題的真假判斷，參數(shù)的取值范圍. 16.對于函數(shù)，有下列4個命題： ①任取，都有恒成立； ②，對于一切恒成立； ③函數(shù)有3個零點(diǎn)； ④對任意，不等式恒成立． 則其中所有真命題的序號是 ． 【答案】①③④ 【解析】 試題分析：根據(jù)題

9、中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上的最大值和最小值分別是和，所以①對，，對于一切恒成立，故②錯，根據(jù)圖像可知函有3個零點(diǎn)，故③對，根據(jù)圖像，可以判斷④正確，故答案為①③④. 考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.（本小題滿分10分）已知集合，． （1）分別求，； （2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值集合． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 試題分析：第一問結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解集合，再根據(jù)集合的交并補(bǔ)集中元素的特點(diǎn)，求得結(jié)果，第二問注意對集合是否為空集進(jìn)行討論，在非空的條件下，

10、結(jié)合數(shù)軸來解決即可. 試題解析：（1）即，，， ，即，，； ， （2）由（1）知，當(dāng) 當(dāng)C為空集時(shí)， 當(dāng)C為非空集合時(shí)，可得 綜上所述 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算，參數(shù)的取值范圍，交并補(bǔ)集，子集. 18.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，，且． （1）若，求的值； （2）若也是單位圓上的點(diǎn)，且．過點(diǎn)分別做軸的垂線，垂足為，記的面積為，的面積為．設(shè)，求函數(shù)的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 試題分析：第一問根據(jù)題意可知利用題中所給的條件，利用差角公式求得的值，第二問利用三角函數(shù)的定義式，結(jié)合圖形將三角形的面積用三角函數(shù)來表示，即

11、將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用和差角公式，輔助角公式化簡，結(jié)合自變量的取值范圍，求得函數(shù)的最大值. 試題解析：（1）由三角函數(shù)的定義有 ∵， ∴， ∴ ． （2）由，得． 由定義得，，又，于是， ∴ = === ，即． 考點(diǎn)：三角函數(shù)和差角公式，三角函數(shù)的定義式，輔助角公式，三角函數(shù)的最值問題. 19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（、為常數(shù)）． （1）若，解不等式； （2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍． 【答案】（1）時(shí)，解集為：， 時(shí)，解集為：， 時(shí)，解集為：， （2）. 【解析】 試題分析：第一問不等式為，將其轉(zhuǎn)化為正式不等式，需要對

12、和比較大小，從而求得結(jié)果，第二問式子為，等價(jià)于，能夠發(fā)現(xiàn)，易知當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，所以式子轉(zhuǎn)化為恒成立，轉(zhuǎn)化為最值來處理，結(jié)合自變量的取值范圍，利用基本不等式求得最值，從而求得結(jié)果. 試題解析：（1）∵，，∴，∴， ∵，∴，等價(jià)于， ①，即時(shí)，不等式的解集為：， ②當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為：， ③當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為：， （2）∵，， ∴ （※） 顯然，易知當(dāng)時(shí)，不等式（※）顯然成立； 由時(shí)不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，， ∵，∴， 故． 綜上所述，． 考點(diǎn)：解不等式，恒成立問題，基本不等式. 20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，分別為的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：平面；

13、 （Ⅱ）若平面,，，求平面與平面所成角（銳角）的大?。? 【答案】（Ⅰ）證明見解析； （Ⅱ）. 【解析】 試題分析：第一問連結(jié)相應(yīng)的線段，利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，證得TH//DB，利用線面平行的判定定理證得線面平行，第二問建立空間坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值. 試題解析：（Ⅰ）證明：連接DG，DC，設(shè)DC與GF交于點(diǎn)T．在三棱臺中，則而G是AC的中點(diǎn)，DF//AC，則,所以四邊形是平行四邊形,T是DC的中點(diǎn)， 又在,H是BC的中點(diǎn)，則TH//DB，又平面，平面，故平面； （Ⅱ）由平面,可得平面而 則,于是兩兩垂直，以點(diǎn)

14、G為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè),則, ， 則平面的一個法向量為， 設(shè)平面的法向量為，則,即， 取，則，， ，故平面與平面所成角（銳角）的大小為． 考點(diǎn)：線面平行的判定，二面角的余弦值. 21.（本題滿分12分）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：相切于點(diǎn)Q． （Ⅰ）當(dāng)直線PQ的方程為時(shí)，求拋物線C1的方程； （Ⅱ）當(dāng)正數(shù)變化時(shí)，記S1 ，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】 試題分析：第一問要求拋物線的方程，任務(wù)就是求的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

15、，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，再根據(jù)切點(diǎn)在切線上，得，從而求得，進(jìn)而得到拋物線的方程，第二問根據(jù)三角形的面積公式，利用題中的條件，將兩個三角形的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于和切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，從而有，利用基本不等式求得最值. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得，，求導(dǎo)， ……2分 因?yàn)橹本€PQ的斜率為1，所以且，解得， 所以拋物線C1 的方程為． （Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：，即， 根據(jù)切線又與圓相切，得，即，化簡得， 由，得，由方程組，解得， 所以， 點(diǎn)到切線PQ的距離是， 所以， ， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號，即，此時(shí)，， 所以的最小值為． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，三角形的面積，

16、基本不等式. 22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）， ． （Ⅰ）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增； （Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的解析式，并判斷是否有最大值和最小值，請說明理由（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】（Ⅰ）證明見解析； （Ⅱ），有最小值，沒有最大值． 試題解析：（Ⅰ）證明：∵，∴， 設(shè)，則， ∴當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增． ∵，∴當(dāng)時(shí)，． ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增． （Ⅱ）∵R， ∴的定義域是，且，即． ∵≥，∴， 當(dāng)變化時(shí)，、變化情況如下表： ↗ 極大 ↘ 極小 ↗ ∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的最大值是． 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為． 即 （1）當(dāng)時(shí)，． 由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增．又，， ∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，有最小值． （2）當(dāng)時(shí)，， ∴在單調(diào)遞增．又， ∴當(dāng)時(shí)，．∴在上單調(diào)遞增． 綜合（1）（2）及解析式可知，有最小值，沒有最大值． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.