2022年高三數學二輪復習 專題三第三講 思想方法與解答教案 理

2022年高三數學二輪復習 專題三第三講 思想方法與解答教案 理 思想方法 1．數形結合思想在三角函數中的應用 本專題中三角函數圖象的應用，解三角形的實際應用都體現了數形結合思想． [例1]　(xx年鄭州模擬)已知曲線y＝2sin (x＋)cos (－x)與直線y＝相交，若在y軸右側的交點自左向右依次記為P1，P2，P3，…，則||等于(　　) A．π　　　　　　B．2π C．3π D．4π [解析]　y＝2sin (x＋)cos (－x)＝2sin 2(x＋)＝1－cos 2(x＋)＝1＋sin 2x，又函數y＝1＋sin 2x的最小正周期是＝π，結合函數y＝1＋sin 2x的圖象(如圖所示)可知，||＝2π，選B. [答案]　B 跟蹤訓練 設關于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0，2π)內有相異的兩個實根α、β.求實數a的取值范圍． 解析：原方程可化為sin (θ＋)＝－， 作出函數y＝sin (x＋)(x∈(0，2π))的圖象． 由圖知，方程在(0，2π)內有相異兩實根α，β的充要條件是即－2<a<－或－<a<2. a的取值范圍為(－2，－)∪(－，2)． 2．轉化與化歸思想 所謂轉化與化歸思想，就是將待解決的問題和未解決的問題，采取某種策略，轉化歸結為一個已經能解決的問題；或者歸結為一個熟知的具有確定解決方法和程序的問題；歸結為一個比較容易解決的問題，最終求得原問題的解． 轉化與化歸思想在三角函數中的應用主要體現在：化切為弦、升冪降冪、輔助元素、“1”的代換等． [例2]　(xx年高考浙江卷)某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin (－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin (－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數； (2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論． [解析]　解法一　(1)選擇②式，計算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝. 證明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＋sin 2α－sin αcos α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α＝. 解法二　(1)同解法一． (2)三角恒等式為sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝. 證明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α) －sin αcos α－sin 2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 跟蹤訓練 設<α<，sin (α－)＝，求：的值． 解析：解法一　由<α<，得<α－<， 又sin (α－)＝， 所以cos (α－)＝. 所以cos α＝cos [(α－)＋]＝cos (α－)cos －sin (α－)sin ＝，所以sin α＝. 故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝. 解法二　由sin (α－)＝，得sin α－cos α＝，兩邊平方，得1－2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝>0. 由于<α<，故<α<. 因為(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 故sin α＋cos α＝， 解得sin α＝，cos α＝.下同解法一． 考情展望 高考對三角函數的考查，在解答題中多以兩種形式呈現：一是三角變換后化為y＝Asin (ωx＋φ)型，再根據三角函數圖象與性質或求值．二是將解三角形與三角變換相結合綜合考查，難度中檔偏下． 名師押題 【押題】　已知函數f(x)＝sin xcos (x＋)＋. (1)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)＝0，a＝，b＝2，求△ABC的面積S. 【解析】　(1)由題知，f(x)＝sin x(cos xcos －sin xsin )＋＝sin xcos x－sin 2x＋ ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)． 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)由(1)及f(A)＝0，得sin (2A＋)＝0， 解得A＝或A＝. 又a<b，所以A＝. 由＝，得sin B＝1，則B＝，所以C＝. 所以△ABC的面積S＝absin C＝.