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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章1.2.2等差數(shù)列前n項(xiàng)課時(shí)訓(xùn)練 北師大版必修5
一、選擇題
1.等差數(shù)列{an}中,S10=4S5,則等于( )
A. B.2 C. D.4
答案 A
解析 由題意得:10a1+×10×9d=4(5a1+×5×4d),
∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴=.
2.已知等差數(shù)列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an<0,則S10為( )
A.-9 B.-11 C.-13 D.-15
答案 D
解析 由a+a+2a3a8=9得(a3+a8)2=9
2、,∵an<0,∴a3+a8=-3,
∴S10====-15.
3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36.則a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
答案 B
解析 數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∵S3=9,S6-S3=27,則S9-S6=45.
∴a7+a8+a9=S9-S6=45.
4.在小于100的自然數(shù)中,所有被7除余2的數(shù)之和為( )
A.765 B.665 C.763 D.6
3、63
答案 B
解析 因a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15,
∴n=14,S14=14×2+×14×13×7=665.
5.一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,則該數(shù)列的公差是( )
A.3 B.-3 C.-2 D.-1
答案 B
解析 由 得nd=-18.
又a1-a2n=-(2n-1)d=33,所以d=-3.
二、填空題
6.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=________.
答案 -82
解析
4、∵a3+a6+…+a99,a1+a4+…+a97分別是33項(xiàng)之和,
∴(a3+a6+…+a99)-(a1+a4+…+a97)=(a3-a1)+(a6-a4)+…+(a99-a97)
=2d+2d+…+2d=33×2d=33×(-4)=-132,
∴a3+a6+…+a99=-132+50=-82.
7.在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150,則n的值為________.
答案 10
解析 S奇==165,S偶==150
∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴==,∴n=10.
8.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn},它們的前n項(xiàng)和分別是Sn、S
5、′n,若=,則=______.
答案
解析 方法一?。剑剑?,
∴====.
方法二 由=,可知公差d≠0,設(shè)Sm=km(2m+3),
S′m=km(3m-1) (k∈R,且k≠0),
則== (m≥2),∴==.
三、解答題
9.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=,求非零常數(shù)c.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=
6、0的兩個(gè)根.
又公差d>0,∴a3
7、差d=a2-a1=2.由Sk=ka1+d,得2k+×2=2 550,
即k2+k-2 550=0,解得k=50或k=-51(舍去).∴a=3,k=50.
(2)由Sn=na1+d,得Sn=2n+×2=n2+n.
∴bn==n+1.∴{bn}是等差數(shù)列.
則b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=2n2+2n
∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.
一、選擇題
1.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-8,a15=5,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則( )
A.S9
8、11
9、 由=,得S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍然是等差數(shù)列,
公差為(S6-S3)-S3=S3,從而S9-S6=S3+2S3=3S3?S9=6S3,
S12-S9=S3+3S3=4S3?S12=10S3,所以=.
4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2n2 (n∈N*),則當(dāng)n≥2時(shí),下列不等式成立的是( )
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
答案 C
解析 由an=,解得an=5-4n.
∴a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴
10、nan=5n-4n2,
∵na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.
Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0.∴na1>Sn>nan.
5.設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且S5S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.d<0 B.a(chǎn)7=0
C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值
答案 C
解析 由S50.又S6=S7?a7=0.
由S7>S8?a8<0,因此,S9-S5=a6+a7+a8+
11、a9=2(a7+a8)<0.
二、填空題
6.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2-n(n∈N*),則通項(xiàng)an=________.
答案 2n-2
7.等差數(shù)列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,則使前n項(xiàng)和Sn取得最大值的自然數(shù)n是______.
答案 5或6
解析 d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0且a3+a9=0,
∴a6=0,∴a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a7>a8>….
∴當(dāng)n=5或6時(shí),Sn取到最大值.
8.在等差數(shù)列{an}中,已知前三項(xiàng)和為15,最后三項(xiàng)和為78,所有項(xiàng)和為155,則項(xiàng)數(shù)n=________.
答案 1
12、0
解析 由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,兩式相加,得
(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=93,即a1+an=31.
由Sn===155,得n=10.
三、解答題
9.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
(1)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},求證:{an}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{bn},求{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)證明 f(x)=[x-(n+1)]2+3n-8,∴an=3n-8,∵an+1-an=3,∴{an}為等差數(shù)列.
(2)解 bn=|3n-8|.當(dāng)1≤n≤2時(shí),bn=8-3n,b1=5.
Sn==.
當(dāng)n≥3時(shí),bn=3n-8,
Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)=7+=.
∴Sn=
10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的范圍;
(2)問前幾項(xiàng)的和最大,并說明理由.
解 (1)根據(jù)題意,有: 整理得:
解之得:-a2>a3>…>a12>a13>…,
而S13==13a7<0,∴a7<0.
又S12==6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,∴a6>0.
∴數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6最大.