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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題七 平面向量(含解析)
抓住4個(gè)高考重點(diǎn)
重點(diǎn) 1 平面向量的概念與線性運(yùn)算
1.平面向量的概念
2.平面向量的線性運(yùn)算
3.一個(gè)向量與非零向量共線的充要條件及其應(yīng)用
[高考??冀嵌萞
角度1如圖,正六邊形中,=( D )
A. B. C. D.
解析:,故選擇D
角度2 中,點(diǎn)在上,平分.若則( B )
A. B. C. D.
點(diǎn)評:本試題主要考查向量的基本運(yùn)算,考查角平分線定理.
解
2、析:因?yàn)槠椒郑山瞧椒志€定理得,所以D為AB的三等分點(diǎn),
且,所以,故選B.
重點(diǎn) 2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
1.平面向量基本定理及其應(yīng)用 2.平面向量的坐標(biāo)表示
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
[高考常考角度]
角度1給定兩個(gè)長度為1的平面向量和,它們的夾角為,如圖所示,點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng).若,其中,則的最大值是 2 .
解析:設(shè) ,即
∴
角度2.已知向量,若則__-1_____
解析:由得
角度3已知為平面向量,且,則夾角的余弦值等于( C )
A.
3、 B. C. D.
解析:由
角度4已知,向量與垂直,則實(shí)數(shù)的值為( A )
A. B. C. D.
解析:由已知得向量
重點(diǎn) 3 平面向量的數(shù)量積
1.數(shù)量積的幾何意義 2.數(shù)量積的運(yùn)算律
3.數(shù)量積的坐標(biāo)表示 4.數(shù)量積的性質(zhì)
[高考??冀嵌萞
角度1已知、是夾角為的兩個(gè)單位向量, 若,則的值為__________
解析:由
角度2 (xx 江西) 已知,,則
4、與的夾角為 .
解析:根據(jù)已知條件,去括號得:,
角度3若,,均為單位向量,且,,則的最大值為( )
A. B. C. D.
解析:,
,故選擇B。
角度4已知向量若,則與的夾角為( D )
A. B. C. D.
解析:一般地,設(shè),則由 ① , ②
從而解方程組,呵呵,就好玩了.
正解:由,故選D
重點(diǎn) 4 平面向量的應(yīng)用
1.利用平面向量解決解析幾何問題 2.解決向量與三
5、角函數(shù)的綜合題
[高考常考角度]
角度1已知直角梯形中,,,,是腰上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為____5______
解析:建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè),則,設(shè)
則,∴.
角度2設(shè)分別為橢圓的焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
解析:由已知得,設(shè)點(diǎn),則
由,又點(diǎn)在橢圓上
所以……..① …….②
解①②得,故點(diǎn)的坐標(biāo)是
角度3 已知向量,其中
(Ⅰ)若,求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值;
(Ⅱ)若與的夾角為,且求的值.
解析:(Ⅰ)由已知得
令,則,且
則,
當(dāng),此時(shí),
又
(Ⅱ)與的夾角為
6、
又,
突破1個(gè)高考難點(diǎn)
難點(diǎn) 探究平面向量中的三角形的“四心”問題
典例1 已知是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)滿足
,則點(diǎn)的軌跡一定通過___重_____心.
解析:由條件得即根據(jù)平行四邊形法則,是的邊上的中線所對應(yīng)向量的2倍,所以的軌跡一定通過的重心.
典例2 若動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡一定通過___內(nèi)_____心.
解析:由條件得即而和分別表示平行于、的單位向量,知平分(菱形的對角線平分對角),即平分,所以的軌跡一定通過的內(nèi)心.
典例3 若動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡一定通過的_垂_心.
解析:由條件得
從而,
,則點(diǎn)的軌跡一定通過垂
7、心.
典例4 若動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡一定通過___外_心.
解析:由條件得
,
即,的軌跡一定通過的外心.
規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn)
易失分點(diǎn)1 忽視零向量
典例 下列命題敘述錯(cuò)誤的是___________
①若,則; ②若非零向量與方向相同或者相反,則與、之一的方向相同;
③與的方向相同; ④向量與共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得;
⑤; ⑥若則
解析:6個(gè)命題都是錯(cuò)的,對于①,時(shí),與不一定平行;
對于②,,其方向任意,與、的方向可以都不相同;
對于③,當(dāng)、之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立;
對于④,當(dāng)且時(shí),有無數(shù)個(gè)值,當(dāng)?shù)珪r(shí),不存在;
對于⑤,由于兩個(gè)向量
8、之和仍為一個(gè)向量,所以
對于⑥,當(dāng)時(shí),不管與的大小與方向如何,都有此時(shí)不一定有.
易失分點(diǎn)2 忽視平面向量基本定理的使用條件
典例 5.已知和點(diǎn)滿足,若存在實(shí)數(shù)使得成立,則=( B )
A. B. C. D.
解析:由題目條件可知,M為的重心,連接并延長交于,則 ①,
因?yàn)闉橹芯€,即 ②, 聯(lián)立①②可得 ,故選
在平行四邊形中,和分別是邊和的中點(diǎn),或,其中,則= _________.
解析:作圖,與交于點(diǎn),則為中點(diǎn),
易失分點(diǎn)3 向量的模與數(shù)量積的關(guān)系不清楚
典例 已知向量、滿足且其中
(1)試用表示并求出的最大值及此時(shí)與的夾角的值;
(2)當(dāng)取得最大值時(shí),求實(shí)數(shù),使的值最小,并對這一結(jié)果作出幾何解釋.
解析:(1)
當(dāng)且僅當(dāng)即取等號
所以的最大值為,此時(shí)
(2)由題意,
當(dāng)時(shí),的值最小,此時(shí),這表明
易失分點(diǎn)4 判別不清向量的夾角
典例 在中,則等于( D )
A. B. C. D.
解析:與的夾角為
而