2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.5兩角和與差的正弦、余弦、正切教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.5兩角和與差的正弦、余弦、正切教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角變換；2.利用三角變換討論三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.牢記和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.靈活使用(正用、逆用、變形用)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角變換，三角變換中角的變換技巧是解題的關(guān)鍵． 1． 兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β) sin

2、(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β) tan(α－β)＝　(Tα－β) tan(α＋β)＝　(Tα＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3． 在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等．如Tα±β可變形為 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－＝－1

3、. 4． 函數(shù)f(α)＝acos α＋bsin α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝ sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 三角變換中的“三變” (1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”． (2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等． (3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等． 1． 已知sin(α＋β)＝，

4、sin(α－β)＝－，則的值為_______． 答案　 解析　由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－， 得sin αcos β＝，cos αsin β＝， 所以＝＝. 2． 函數(shù)f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的單調(diào)增區(qū)間為______________________． 答案　 (k∈Z) 解析　f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x ＝2×＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋1 ＝sin＋1， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋k

5、π≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以所求區(qū)間為 (k∈Z)． 3． (xx·江蘇)設(shè)α為銳角，若cos＝，則 sin的值為________． 答案　 解析　∵α為銳角且cos＝， ∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin 2cos －cos 2sin ＝sincos－ ＝××－ ＝－＝. 4． (xx·江西)若＝，則tan 2α等于 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由＝，等式左邊分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，則tan 2α＝＝. 5． (xx·遼寧)設(shè)sin(＋θ)＝，則sin 2θ等于

6、 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　sin(＋θ)＝(sin θ＋cos θ)＝， 將上式兩邊平方，得(1＋sin 2θ)＝，∴sin 2θ＝－. 題型一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題 例1　(1)化簡(jiǎn)： ·； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·. 思維啟迪：切化弦；注意角之間的聯(lián)系及轉(zhuǎn)化． 解　(1)· ＝· ＝· ＝·＝. (2)原式＝·sin 80° ＝×cos 10° ＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝2sin

7、(50°＋10°)＝2×＝. 探究提高　(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征． (2)對(duì)于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有 ①化為特殊角的三角函數(shù)值； ②化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值； ③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值． 在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan ＋tan ＋tan tan 的值為________． 答案　 解析　因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan

8、＝＋tan tan ＝. 題型二　三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題 例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 思維啟迪：(1)拆分角：＝－，利用平方關(guān)系分別求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解　(1)∵0<β<<α<π， ∴－<－β<，<α－<π， ∴cos＝＝， sin＝＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. (

9、2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0， ∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－. 探究提高　(1)注意變角－＝，可先求cos 或sin 的值．(2)先由tan α＝tan[(α－β)＋β]，求tan α的值，再求tan 2α的值，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可確定2α的取值范圍．(3)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是

10、(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． (4)解這類問題的一般步驟： ①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； ②確定角的范圍； ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角． 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β. 解　∵0<β<α<，∴0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝，cos α＝，0<β<α<， ∴sin α＝＝， ∴sin(α－β)＝＝， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 題型三　三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3　已知f(x)＝sin2x－2sin·sin

11、. (1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范圍． 思維啟迪：(1)化簡(jiǎn)f(x)，由tan α＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范圍． 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin· cos ＝＋sin 2x＋sin ＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝. cos 2α＝＝＝－. 所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋

12、cos 2x)＋ ＝sin＋. 由x∈，得≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1,0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值范圍是. 探究提高　(1)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin 2α，cos 2α化為正切tan α，為第(1)問鋪平道路． (2)把形如y＝asin x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性． 已知函數(shù)f(x)＝sin＋ 2sin2 (x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)x的集合． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋1－cos 2 ＝2[

13、sin－cos]＋1 ＝2sin＋1＝2sin＋1， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sin＝1， 此時(shí)2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)， 所以所求x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 利用三角變換研究三角函數(shù)的性質(zhì) 典例：(12分)(xx·北京)已知函數(shù)f(x)＝4cos x· sin－1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 審題視角　(1)問首先化為形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝求得；(2)問由x∈求得ωx＋φ的范圍，從而求得最值． 規(guī)范解答

14、解　(1)因?yàn)閒(x)＝4cos xsin－1 ＝4cos x－1 ＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin，[4分] 所以f(x)的最小正周期為π.[6分] (2)因?yàn)椋躼≤， 所以－≤2x＋≤.[8分] 于是，當(dāng)2x＋＝， 即x＝時(shí)，f(x)取得最大值2；[10分] 當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時(shí)，f(x)取得最小值－1.[12分] 答題模板 第一步：將f(x)化為asin x＋bcos x的形式． 第二步：構(gòu)造f(x)＝(sin x·＋ cos x·)． 第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ) (其中 φ為輔助角)

15、． 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)． 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)在本題的解法中，運(yùn)用了二倍角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技巧性較強(qiáng)．值得強(qiáng)調(diào)的是輔助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝ cos(α－φ) (其中tan φ＝)，在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注． (2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是想不到引入輔助角或引入錯(cuò)誤． 方法與技巧 1． 巧用公式變形： 和差角公式變形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1

16、?tan xtan y)； 倍角公式變形：降冪公式cos2α＝，sin2α＝； 配方變形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 2． 利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期．由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|. 3． 重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適

17、當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 4． 已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化． 5． 熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換．本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì)公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形． 失誤與防范 1．運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通． 2

18、．在(0，π)范圍內(nèi)，sin(α＋β)＝所對(duì)應(yīng)的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·江西)若tan θ＋＝4，則sin 2θ等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由tan θ＋＝＋＝＝4， 得sin θcos θ＝， 則sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×＝. 2． (xx·大綱全國)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α等于 (　　) A．－

19、 B．－ C. D. 答案　A 解析　方法一　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α為第二象限角且sin α＋cos α＝>0， ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)， ∴2α為第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 方法二　由sin α＋cos α＝， 兩邊平方得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－. ∵α為第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝ ＝＝. 由得

20、 ∴cos 2α＝2cos2α－1＝－. 3． 已知α，β都是銳角，若sin α＝，sin β＝， 則α＋β等于 (　　) A. B. C.和 D．－和－ 答案　A 解析　由于α，β都為銳角，所以cos α＝＝， cos β＝＝. 所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝， 所以α＋β＝. 4． (xx·福建)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，則tan α的值等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝， ∴sin2α＋co

21、s2α－sin2α＝，∴cos2α＝， ∴cos α＝或－(舍去)， ∴α＝，∴tan α＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值為________． 答案　 解析　由誘導(dǎo)公式及倍角公式， 得cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15° ＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋sin 30°＝. 6. ＝________. 答案　－4 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 7． sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，則α＋β＝________

22、____. 答案　 解析　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝×－×＝0，∴α＋β＝. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知－＝－2tan α，試確定使等式成立的α的取值集合． 解　因?yàn)椋? ＝－ ＝－ ＝ ＝， 所以＝－2tan α＝－. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0. 故α的取值集合為{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}． 9． (12分)已知α∈，且sin ＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，

23、求cos β的值． 解　(1)因?yàn)閟in ＋cos ＝， 兩邊同時(shí)平方，得sin α＝. 又<α<π，所以cos α＝－. (2)因?yàn)?α<π，<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－×＋×＝－. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·山東)若θ∈，sin 2θ＝，則sin θ等于 (　　) A. B.

24、C. D. 答案　D 解析　∵θ∈，∴2θ∈. ∴cos 2θ＝－＝－， ∴sin θ＝＝. 2． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因?yàn)棣粒拢溅粒拢? 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ＝＝. 3． 當(dāng)－≤x≤時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x的 (　　) A．最大值是1，最小值是－1 B．最大值是1，最小值是－ C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1 答案　D 解析　f(x)＝sin x＋c

25、os x ＝2＝2sin， 由－≤x≤，得－≤x＋≤. 所以當(dāng)x＋＝時(shí)，f(x)有最大值2， 當(dāng)x＋＝－時(shí)，f(x)有最小值－1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知銳角α滿足cos 2α＝cos，則sin 2α＝________. 答案　 解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈. 又cos 2α＝cos， ∴2α＝－α或2α＋－α＝0， ∴α＝或α＝－(舍)，∴sin 2α＝sin ＝. 5． 已知cos＝，α∈，則＝________. 答案　 解析　∵cos＝(cos α＋sin α)＝， ∴sin α＋cos α＝， 1＋2sin αcos

26、α＝，2sin αcos α＝， 1－2sin αcos α＝，cos α－sin α＝， ＝ ＝(cos α－sin α)＝. 6． 設(shè)x∈，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　 解析　因?yàn)閥＝＝， 所以令k＝.又x∈， 所以k就是單位圓x2＋y2＝1的左半圓上的動(dòng)點(diǎn)P(－sin 2x，cos 2x)與定點(diǎn)Q(0,2)所成直線的斜率．又kmin＝tan 60°＝，所以函數(shù)y＝的最小值為. 三、解答題 7． (13分)(xx·廣東)已知函數(shù)f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期為10π. (1)求ω的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f ＝，求cos(α＋β)的值． 解　(1)由T＝＝10π得ω＝. (2)由得 整理得　∵α，β∈， ∴cos α＝＝，sin β＝＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcosβ －sin αsin β ＝×－×＝－.