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1、2022年高二3月月考 數(shù)學(xué)(理科) 含答案(IV)
一、選擇題 (本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知,則等于( )
A. 0 B. C. D. 2
【答案】B
2.若函數(shù),則( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
3.如下圖,陰影部分的面積是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.若,則的解集為( )
A. B. C. D.
【答案】C
5.已知的切線的斜率等于1,則其切線方程有( )
A.1個 B.2個 C.多于兩個 D.不能
2、確定
【答案】B
6.過拋物線上的點M()的切線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
【答案】C
7.已知定義在上的函數(shù),則曲線在點處的切線方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
8.設(shè)曲線在點(3,2)處的切線與直線垂直,則( )
A.2 B. C. D.
【答案】B
9.若曲線處的切線互相垂直,則x0等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
10.已知函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù),則a的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
11.已知函數(shù),則要得到其導(dǎo)函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象(
3、 )
A.向左平移個單位 B.向右平移個單位
C.向左平移個單位 D.向右平移個單位
【答案】C
12.如圖所示,曲線和曲線圍成一個葉形圖(陰影部分),則該葉形圖的面積是( )
A. B. C. D.
【答案】D
二、填空題 (本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
13.對于三次函數(shù)(),定義:設(shè)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=的導(dǎo)數(shù),若方程=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;且‘拐點’就是對稱中心.”
請你將這一發(fā)現(xiàn)為
4、條件,函數(shù),則它的對稱中心為 ;
計算= .
【答案】; xx
14.在曲線的所有切線中,斜率最小的切線的方程為 .
【答案】y=3x+1
15.對于函數(shù),若有六個不同的單調(diào)區(qū)間,則的取值范圍為
【答案】(0,3)
16.設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線方程則
【答案】0
三、解答題 (本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.計算由曲線y2=2x,y=x-4所圍成的圖形的面積.
【答案】首先根據(jù)曲線的方程畫出圖象(如圖所示),確定出圖形的范圍,從而確定
5、積分的上、下限,最后利用定積分求面積.
為了確定圖形的范圍,先求出這兩條曲線的交點坐標(biāo).
解方程組得出交點坐標(biāo)為(2,-2),(8,4).
因此,所求圖形的面積為S==18.
18.已知函數(shù)()
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,設(shè),若存在,,使,
求實數(shù)的取值范圍。為自然對數(shù)的底數(shù),
【答案】(Ⅰ),。
令
? 當(dāng)時,,的減區(qū)間為,增區(qū)間為(。
? 當(dāng)時,
所以當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞減。
當(dāng)時,,
,
當(dāng)時,單調(diào)遞減,
當(dāng)時,單調(diào)遞增,
當(dāng)時,單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為(。
當(dāng)時,的減區(qū)間為。
當(dāng)時,的減區(qū)間為,
增區(qū)間為。
(
6、Ⅱ)由(Ⅰ)可知在上的最大值為,
令,得
時,,單調(diào)遞減,
時,,單調(diào)遞增,
所以在上的最小值為,
由題意可知,解得
所以
19.已知
(1)當(dāng)a=1時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)求在點(0,1)處的切線與直線x=1及曲線所圍成的封閉圖形的面積;
(3)是否存在實數(shù)a,使的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當(dāng)a=1時,,
當(dāng)時,時,或.
的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為:(-∞,0),(1,+∞).
(2)切線的斜率為
∴切線方程為y=-x+1.
所求封閉圖形面積為
(3)
令
列表如下:
由表可知,=.
7、
設(shè)
在上是增函數(shù),……(13分)
不存在實數(shù)a,使極大值為3.
20.某企業(yè)有一條價值為m萬元的生產(chǎn)流水線,要提高其生產(chǎn)能力,提高產(chǎn)品的價值,就要對該流水線進行技術(shù)改造,假設(shè)產(chǎn)值y萬元與投入的改造費用x萬元之間的關(guān)系滿足:①y與成正比;②當(dāng)時,,③,其中a為常數(shù),且.
(1)設(shè),求出的表達式;
(2)求產(chǎn)值y的最大值,并求出此時x的值.
【答案】(1)y與(m-x)x成正比,
∴y=f (x)=k (m-x)x2
又時,
∴ ∴k=4
∴y=f (x)=4(m-x)x2
由得
∴
(2)∵
8、
∴令
得
(i)若 即
當(dāng)時,
∴在[0,m]上單調(diào)遞增
當(dāng)時,
由在[]上單調(diào)遞減
∴當(dāng),
(i i)若 即時
當(dāng)(0, )時,
∴在[0,]上單調(diào)遞增
∴
綜合(i)(i i)可知
當(dāng)時,產(chǎn)值y的最大值為,此時投入的技術(shù)改造費用為;
當(dāng)時,產(chǎn)值y的最大值為,此時投入的技術(shù)改造費用為;
21.某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交元()的管理費,預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元()時,一年的銷售量為萬件.
(Ⅰ)求分公司一年的利潤(萬元)與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時,分公司一年的利
9、潤最大,并求出的最大值.
【答案】(Ⅰ)分公司一年的利潤(萬元)與售價的函數(shù)關(guān)系式為:
?????? .
(Ⅱ)
????????????? ??? .
?????? 令得或(不合題意,舍去).
?????? ,.
?????? 在兩側(cè)的值由正變負.
?????? 所以(1)當(dāng)即時,
?????? .
(2)當(dāng)即時,
,
所以
答:若,則當(dāng)每件售價為9元時,分公司一年的利潤最大,最大值(萬元);若,則當(dāng)每件售價為元時,分公司一年的利潤最大,最大值(萬元).
22.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且函數(shù)的圖象在處的切線方程為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意都有成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)∵ 函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),∴
∵ ∴ .
又在處的切線方程為,由
∴ ,且, ∴ 得
(Ⅱ)
依題意對任意恒成立,
∴ 對任意恒成立,
即 對任意恒成立,∴ .
(Ⅲ),
即 ∴
即對任意恒成立,
記,其中
則
∴ 當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
∴ 在上的最大值是,則;
記,其中
則
所以 在上單調(diào)遞減,
∴ 即在上的最小值是,則;
綜合上可得所求實數(shù)的取值范圍是.