2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第13講 直線 圓的方程教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第13講 直線 圓的方程教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．直線與方程 （1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素； （2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式； （3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系； 2．圓與方程 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。 二．命題走向 直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，

2、可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。 預(yù)測xx年對本講的考察是： （1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會是一個出題方向； （2）熱點(diǎn)問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。 三．要點(diǎn)精講 1．傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。 2．斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。 過兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠

3、x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900）。 4．直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。 名稱 方程 說明 適用條件 斜截式 y=kx+b k——斜率 b——縱截距 傾斜角為90°的直線不能用此式 點(diǎn)斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直線上 已知點(diǎn)，k——斜率 傾斜角為90°的直線不能用此式 兩點(diǎn)式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點(diǎn) 與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 截距式 +

4、=1 a——直線的橫截距 b——直線的縱截距 過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分別為斜率、橫截距和縱截距 A、B不能同時為零 直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線。 5．圓的方程 圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。 圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。 二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①、項項的系數(shù)相同且不為0，即；②、沒有xy項，即B=0；③、。 四．

5、典例解析 圖 題型1：直線的傾斜角 例1．（1995全國，5）圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D 解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2、α3均為銳角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故應(yīng)選D。 點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。 例2．過點(diǎn)P（2，1）作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，求的值最小時直線的方程。 解析：依題意作

6、圖，設(shè)∠BAO＝， 則， ， 當(dāng)，即時的值最小，此時直線的傾斜角為135°， ∴斜率。 故直線的方程為，即。 點(diǎn)評：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。 題型2：斜率公式及應(yīng)用 例3．（1）（05年江西高考）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是___________。 （2）（1997全國文，24）已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn)。 （1）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上。

7、（2）當(dāng)BC平行于x軸時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。 解析：（1）如圖，實(shí)數(shù)x，y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分（包括邊界），而表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，此時，所以的最大值是。 點(diǎn)評：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費(fèi)周折。 （2）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x1＞1，x2＞1，點(diǎn)A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）. 因為A、B在過點(diǎn)O的直線上，所以， 又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

8、 所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為 。 由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一條直線上。 由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 將其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，log8）. 點(diǎn)評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力。 例4．（05年全國高考）當(dāng)時，函數(shù)的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 解析：

9、原式化簡為，則y看作點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)的連線的斜率。 因為點(diǎn)B的軌跡是 即 過A作直線，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。 點(diǎn)評：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。 題型3：直線方程 例5．已知直線的點(diǎn)斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。 解析：（1）將移項、展開括號后合并，即得斜截式方程。 （2）因為點(diǎn)（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn)。 由兩點(diǎn)式方程得： 即 （3）由知：直線在y軸上的

10、截距 又令，得 故直線的截距式方程 點(diǎn)評：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時，要根據(jù)問題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問題解得簡捷、明了。 例6．直線經(jīng)過點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， ∵直線過點(diǎn)P（-5，-4），，即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 點(diǎn)評：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也

11、有三種： （1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距； （3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。 總之，在求直線方程時，設(shè)計合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 題型3：直線方程綜合問題 例5．（xx北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ） A．95 B．91 C．88

12、D．75 答案：B 解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個整數(shù)，x=1，y有10個，x=2或x=3時，y分別有9個，x=4時，y有8個，x=5或6時，y分別有7個，類推：x=13時y有2個，x=14或15時，y分別有1個，共91個整點(diǎn).故選B。 圖 解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個矩形.如圖所示。 對角線上共有6個整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有16×11=176.因此所求△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91（個） 點(diǎn)評：本題較好地考查了考生的

13、數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑。 例6．（xx京春理，22）已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上。 （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。 （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由； （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。 （Ⅰ）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x. 圖 解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|

14、=?；喌茫簓2=4x。 （Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3。 所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=。 假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ① ② 由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－。 但y=－不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解。 因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形。 （ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由得y=2， 即當(dāng)點(diǎn)

15、C的坐標(biāo)為（－1，2）時，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2。 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |AB|2=（）2=。 當(dāng)∠CAB為鈍角時，cosA=<0。 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>時，∠CAB為鈍角。 當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－時，∠CBA為鈍角。 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即。 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角。 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。 解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x－）2

16、+（y+）2=（）2。 圓心（）到直線l：x=－1的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（－1，－）。 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角。 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角。 過點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為。 令x=－1得y=。 過點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2（x－3）。 令x=－1得y=－。 又由解得y=2， 所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形。 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，點(diǎn)

17、C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<－或y>（y≠2）。 點(diǎn)評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 題型4：圓的方程 例7．（1）已知△ABC的三個項點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圓的方程。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定

18、出三個獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解法一：設(shè)所求圓的方程是 ① 因為A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上， 所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是 可解得 所以△ABC的外接圓的方程是。 解法二：因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。 ∵，，線段AB的中點(diǎn)為（5，－1），線段BC的中點(diǎn)為， 圖4－1 ∴AB的垂直平分線方程為， ① BC的垂

19、直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為Ｅ（1，－3）， 半徑。 故△ABC外接圓的方程是． 點(diǎn)評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。 （2）求過A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。 分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡捷。 解析：設(shè)圓的方程為 ① 因為三點(diǎn)A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程①

20、，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個三元一次方程組： ，解得。 所以，圓的方程是。 圓心是坐標(biāo)（1，－3），半徑為。 點(diǎn)評：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法．一般地，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。 例8．若方程。 （1）當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個圓。 （2）當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時，求圓心的軌跡方程。 解析：（1）由， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時， 即時，給定的方程表示一個圓。 （2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則（為參數(shù)）。 消去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。 點(diǎn)評：圓的

21、一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。 題型5：圓的綜合問題 例9．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。 解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在△ABC中由正弦定理，有 。 其中R是△ABC的外接圓的半徑。 可見，當(dāng)R取得最小值時，∠ACB取得最大值。 在過A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時，半徑最小。故切點(diǎn)C即為所求。 由切割線定理，得： 所以 ，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時，∠ACB取得最大值。 點(diǎn)評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中

22、都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 例10．已知⊙O′過定點(diǎn)A(0，p)(p>0)，圓心O′在拋物線x2=2py上運(yùn)動，MN為圓O′截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。 （1）當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論； （2）求+的最大值，并求取得最大值的θ值。 解析：設(shè)O′(x0，y0)，則x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半徑|O′A|=，⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2－2x

23、0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p為定值。 （2）∵M(jìn)(x0-p，0) ，N(x0+p，0) ∴d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=， ∴+===2=2≤2=2。 當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=±p，y0=p時等號成立，∴+的最大值為2。 此時|O′B|=|MB|=|NB|（B為MN中點(diǎn)），又O′M=O′N， ∴△O′MN為等腰直角三角形，∠MO′N=90°，則θ=∠MO′N=45°。 點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。 五．思維總結(jié) 抓好“三基”，

24、把握重點(diǎn)，重視低、中檔題的復(fù)習(xí)，確保選擇題的成功率。 本講所涉及到的知識都是平面解析幾何中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.它們滲透到平面解析幾何的各個部分，正是它們構(gòu)成了解析幾何問題的基礎(chǔ)，又是解決這些問題的重要工具之一.這就要求我們必須重視對“三基”的學(xué)習(xí)和掌握，重視基礎(chǔ)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意基本方法的相互配合，注意平面幾何知識在解析幾何中的應(yīng)用，注重挖掘基礎(chǔ)知識的能力因素，提高通性通法的熟練程度，著眼于低、中檔題的順利解決。 在解答有關(guān)直線的問題時，應(yīng)特別注意的幾個方面： （1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍； （2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止

25、由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m倍（m＞0）”等時，采用截距式就會出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時最好采用點(diǎn)斜式或斜截式求解； （3）在利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式解題時，要注意防止由于“無斜率”，從而造成丟解.如在求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時或討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，或討論兩直線的平行、垂直的位置關(guān)系時，一般要分直線有無斜率兩種情況進(jìn)行討論； （4）首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終。