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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 不等式 專題綜合檢測卷四 理
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.“a>b>0”是“ab<”的(A)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:由a>b>0?ab<,而ab<?a,b∈R且a≠b,但不能推出a>b>0.
2.下列函數(shù)中,y的最小值為4的是(C)
A.y=x+ B.y=sin x+(0<x<π)
C.y=ex+ D.y=log2x+
解析:A成立需x>0;
2、B取不到等號;D成立需x>1.
3.(xx·天津卷)設(shè)x∈R,則“1<x<2”是“|x-2|<1”的(A)
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:<1?10的解集是{x|-< x<},則m,n分別是(D)
A.6,-1 B.-6,-1
C.
3、6,1 D.-6,1
6.下列函數(shù)中,最小值是2的是(A)
A.y= 2x+2-x
B.y=+
C.y=sin x +,x∈
D.y=+
7.(xx·陜西卷)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如下表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(D)
A.12萬元 B.16萬元
C.17萬元 D.18萬元
解析:設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸,每天所獲利潤為z萬元,則有
z=3x+4y,作出可行域如圖陰影部分所示,
由圖形可知,當(dāng)直線z=3x+4y經(jīng)過點A
4、(2,3)時,z取最大值,最大值為3×2+4×3=18.
8.(xx·陜西卷)設(shè)f(x)=ln x,0p
C.p=rq
9.已知向量a=(x,2),b=(1,y),其中x>0,y>0.若a·b=4,則+的最小值為(C)
A. B.2
C. D.2
10.已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=(B)
A. B. C.1 D.2
解析:本題可先畫出可行域,然后根據(jù)圖形
5、確定出最小值點進行解答.
作出不等式組表示的可行域,如圖(陰影部分).
易知直線z=2x+y過交點A時,z取最小值,
由
得
∴zmin=2-2a=1,解得a=.故選B.
11.(xx·青島二中月考)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,則+的最小值是(C)
A.2 B.2 C.4 D.2
解析:因為lg 2x+lg 8y=lg 2,所以x+3y=1.所以+=(x+3y)=2++≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=,y=時,取等號.
12.(xx·遼寧六校聯(lián)考)設(shè)變量x,y滿足約束條件且不等式x+2y≤14恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(A)
A.[8,10]
6、 B.[8,9]
C.[6,9] D.[6,10]
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,顯然a≥8,否則可行域無意義.由圖可知x+2y在點(6,a-6)處取得最大值2a-6,由2a-6≤14,得a≤10.故選A.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13. (xx·江蘇卷)不等式2x2-x<4的解集為{x|-1<x<2}(或(-1,2)).
解析:∵ 2x2-x<4,∴ 2x2-x<22,
∴ x2-x<2,即x2-x-2<0,∴ -1<x<2.
14.(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)若x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值為
7、8.
解析:∵ z=2x+y,∴ y=-2x+z,
將直線y=-2x向上平移,經(jīng)過點B時z取得最大值.
由
解得
∴ zmax=2×3+2=8.
15.已知關(guān)于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(0,8).
16.若不等式x2-(2a+1)x+a2+a<0的解集為A,不等式x2-5x+4≥0的解集為B,且A?B,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪[4,+∞).
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)已知函數(shù)y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的圖象都在x軸上方,求實數(shù)
8、k的取值范圍.
解析:①由k2+4k-5=0,得k=-5或k=1,
當(dāng)k=1時,y=3,滿足題意;
當(dāng)k=-5時,y=24x+3,不合題意.
②當(dāng)k2+4k-5≠0,即k≠-5且k≠1時,
函數(shù)的圖象都在x軸上方,則
解得1<k<19.
綜上所述,k的取值范圍是(1,19).
18. (12分) 已知直線過點P(3,2)且與x軸正半軸,y軸正半軸分別交于A、B兩點.
(1)求△AOB面積的最小值及此時直線l方程(O為原點);
(2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值.
解析:(1)設(shè)直線l的方程+=1(a>0,b>0).
則+=1≥2,≥2,ab≥24.
S=
9、ab≥12.
僅當(dāng)==,即a=6,b=4,Smin=12.
此時l:+=1,即2x+3y-12=0.
(2)∵+=1,∴a+b=(a+b)=5++≥5+2.
僅當(dāng)=時,即a=3+ ,b=2+時,
(a+b)min=5+2.
19.(12分)設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:
(1)a>0且-2<<-1;
(2)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根.
解析:(1)∵f(0)>0,f(1)>0,
∴
又∵a+b+c=0,
∴b=-a-c,代入不等式組得a>c>0.
要證-2<<-1,
∵a>0,∴只需證-2a<b<
10、-a,
即需證
又∵a+b=-c<0,
∴2a+b=a+(a+b)=a-c>0.
∴原不等式成立,即-2<<-1.
(2)證法一 f=+b+c=-a<0,
又因為f(0)>0,f(1)>0,所以f·f(0)<0,f·f(1)<0,且f(x)為連續(xù)函數(shù),所以方程f(x)=0在區(qū)間與內(nèi)分別有一個實根,故方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根.
證法二 ∵-2<<-1,
∴對稱軸x=-∈,
又∵b=-a-c.
∴Δ=4b2-12ac=4(-a-c)2-12ac=4(a2+c2-ac)>0.
由得方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根.
20. (12分)某公司計劃xx年在
11、甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500 元/分和200 元/分.假定甲、乙兩個電視臺為該公司做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間,才能使公司的收益最大?最大收益是多少萬元?
分析:先列出約束條件,建立目標(biāo)函數(shù);然后求解.
解析:設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘,收益為z元.
由題意得
目標(biāo)函數(shù)z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式組等價于
作二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖.
作直線l
12、:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.
平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線過點M時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
聯(lián)立
解得x=100,y=200.
∴點M的坐標(biāo)為(100,200).
∴zmax=700 000 元,即該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告,才能使公司的收益最大,最大收益是70萬元.
21. (12分)某廠家擬在xx年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=3-(k為常數(shù)),如果不搞促銷活動,則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該
13、產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將xx年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù);
(2)該廠家xx年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?
解析:(1)由題意可知當(dāng)m=0時,x=1 萬件,
∴1=3-k?k=2,∴x=3-.
每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5× 元,
xx年的利潤y=x·-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-[+(m+1)]+29(m≥0).
(2)當(dāng)m≥0時,+(m+1)≥2=8,
∴y≤-8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)=m+1?m=3 萬元時,
ymax=21 萬元.
∴促銷費用投入3 萬元時,廠家的利潤最大.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=(a,b為常數(shù))且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式:f(x)<.
解析:(1)將x1=3,x2=4分別代入方程
-x+12=0得
解得
所以f(x)=(x≠2).
(2)不等式即為<,可化為
<0,
即(x-2)(x-1)(x-k)>0.
①當(dāng)1<k<2時,解集為;
②當(dāng)k=2時,不等式化為(x-2)2(x-1)>0,解集為;
③當(dāng)k>2時,解集為.