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1、2022年高考數學 第八篇 第6講 空間向量及其運算限時訓練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．在下列命題中：
①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；
②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；
③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c，共面；
④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正確命題的個數是 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確
2、；根據自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②錯誤；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們三個卻不一定共面，故③不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個命題中正確的個數為0，故選A.
答案 A
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝ ( )．
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)
3、，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
答案 D
3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構成基底的一組向量是( )．
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構成空間向量的一組基底．
答案 C
4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC
4、，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為 ( )．
A．0 B.
C. D.
解析 設＝a，＝b，＝c，
由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.
答案 A
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是________．
①＝2－－；②＝＋＋；
③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；
解析 ∵＋＋＝0，∴＝－－，則、、為共面向量，即M、A、B、C四點共面．
答案?、?
6.在空間四邊形ABC
5、D中，·＋·＋·＝________.
解析 如圖，設＝a，＝b，＝c，
·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.
答案 0
三、解答題(共25分)
7．(12分)已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
(1)判斷、、三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內．
解 (1)由已知＋＋＝3 ，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基線過同一點M，
∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內．
8．(13分)如右圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1
6、C1D1中，G為△BC1D的重心，
(1)試證：A1、G、C三點共線；
(2)試證：A1C⊥平面BC1D；
(3)求點C到平面BC1D的距離．
(1)證明?。剑剑?，
可以證明：＝(＋＋)＝，
∴∥，即A1、G、C三點共線．
(2)證明 設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可證：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.
(3)解 ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面
7、BC1D的距離為a.
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(xx·海淀月考)以下四個命題中正確的是 ( )．
A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示
B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構成空間向
量的另一組基底
C．△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0
D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底
解析 若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同時為1，設μ≠1，則a＝b＋c，則a、b、c為共面向量，此與{a，
8、b，c}為空間向量基底矛盾．
答案 B
2．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 ( )．
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析 ＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案 A
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．已知在一個60°的二面角的棱上，如圖有兩個點A，B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個半平面內垂直于AB的線段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，則CD的長為________．
解
9、析 設＝a，＝b，＝c，
由已知條件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，
〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°
||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，
則||＝2.
答案 2 cm
4．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________．
解析 設＝a，＝b，＝c.
OA與BC所成的角為θ，
·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.
∴c
10、os θ＝＝＝.
答案
三、解答題(共25分)
5．(12分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點共線．
證明 設＝a，＝b，＝c，則
＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B、G、N三點共線．
6．(13分)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB、AD、CD的中點，計算：
(1)·；(2)·；(3)EG的長；
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．
解 設＝a，＝b，＝c.
11、則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.
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2022年高考數學 第八篇 第6講 空間向量及其運算限時訓練 新人教A版
