2019高考數學二輪復習 專題三 三角函數、平面向量 第一講 三角函數的圖象與性質學案 理

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1、 第一講　三角函數的圖象與性質 考點一　三角函數的定義、誘導公式及基本關系 1．三角函數的定義 若角α的終邊過點P(x，y)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)． 2．誘導公式 (1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)． (2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα. (3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα. (4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos

2、α，tan(π－α)＝－tanα. (5)sin＝cosα，cos＝sinα， sin＝cosα，cos＝－sinα. 3．基本關系 sin2x＋cos2x＝1，tanx＝. [對點訓練] 1．(2018·山東壽光一模)若角α的終邊過點A(2,1)，則 sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　根據三角函數的定義可知cosα＝＝，則sin＝－cosα＝－，故選A. [答案]　A 2．已知sin＝，則cos＝(　　) A．－ B. C. D．－ [解析]　cos＝cos ＝sin＝sin ＝－sin＝－sin＝－. [答案]　A 3．已

3、知P(sin40°，－cos140°)為銳角α終邊上的點，則α＝(　　) A．40° B．50° C．70° D．80° [解析]　∵P(sin40°，－cos140°)為角α終邊上的點，因而tanα＝＝＝＝tan50°，又α為銳角，則α＝50°，故選B. [答案]　B 4．(2018·福建泉州質檢)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________. [解析]　由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－. [答案

4、]?。? [快速審題]　(1)看到終邊上點的坐標，想到三角函數的定義． (2)看到三角函數求值，想到誘導公式及切弦互化． 誘導公式及三角函數關系式的應用策略 (1)已知角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解．轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用． (2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的式子，結合誘導公式將角進行轉化． 考點二　三角函數的圖象與解析式 1．“五點法”作函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 設z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應的y的值，描點、連線可得

5、． 2．兩種圖象變換 [解析]　(1)∵f(x)＝cos＝sin＝sin，∴只需將函數g(x)＝sin的圖象向左平移個單位長度即可得到f(x)的圖象．故選C. (2)由＝π－π＝，得T＝π， 又知T＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)． 又知f＝－2，∴2sin＝－2， 即sin＝－1.∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)． ∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又∵－<φ<0，∴φ＝－. [答案]　(1)C　(2)－ 解決三角函數圖象問題的策略 (1)已知函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數法，由圖中的最高點、最低

6、點或特殊點求A；由函數的周期確定ω；確定φ常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向． [對點訓練] 1．[原創(chuàng)題]將函數f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點的橫坐標先伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z [解析]　解法一

7、：將函數f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，則函數變?yōu)閥＝sin，再向左平移個單位長度得到的函數為y＝sin＝sin＝sinx，又ω>0，所以又－≤φ<，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故選C. 解法二：將y＝sinx的圖象向右平移個單位長度得到的函數為y＝sin，將函數y＝sin的圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，則函數變?yōu)閥＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故選C. [答案]　C 2．(201

8、8·湖北七市(州)3月聯考)函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈，x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝(　　) A．1 B. C. D. [解析]　由題圖知A＝1，函數f(x)的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又因為點在圖象的上升段上，所以－＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin，可知在上，函數f(x)的圖象關于x＝對稱，因為x1，x2∈，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝.故選D. [答

9、案]　D 考點三　三角函數的性質 1．三角函數的單調區(qū)間 y＝sinx的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cosx的單調遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tanx的遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．三角函數的奇偶性與對稱性 y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

10、 y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數． 角度1：研究三角函數的單調性、奇偶性、周期性 [解析]　∵f(x)的最小正周期為π，∴＝π，ω＝2， ∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)＝sin＝sin的圖象，又g(x)的圖象關于原點對稱，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin，當x＝時，2x－＝－， ∴A、C錯誤，當x＝時，2x－＝，∴B正確，D錯誤． [答案]　B [探究追問]　在本例中條件不變，若將“圖象關于原點對稱”改為“圖象關于y軸對稱”，則f(x)的圖象對稱性是怎樣的？ [解析

11、]　g(x)的圖象關于y軸對稱，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z，可求φ＝，∴f(x)＝sin，2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，令k＝1，則x＝，故選D. [答案]　D 角度2：求三角函數的單調區(qū)間及最值 [解]　(1)f(x)＝2cosωx·sinωx＋sin2ωx－cos2ωx ＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin. 由f(x)圖象的一個對稱中心，到最近的對稱軸的距離為，知·＝，即ω＝1.所以f(x)＝2sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z. 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)因為0≤x≤，所以－≤2

12、x－≤， 所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2. 即函數f(x)的值域為[－1,2]． 三角函數性質問題的解題策略 (1)討論三角函數的單調性，研究函數的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數化成一個角的一種三角函數． (2)求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個整體代入正弦函數增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A>0，ω<0時，需先利用誘導公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝－Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數的增區(qū)間．

13、 (3)求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在某一區(qū)間的最值時，將ωx＋φ視為整體，借助正弦函數的圖象和性質求解． [對點訓練] 1．[角度1](2018·內蒙古赤峰二中三模)已知函數f(x)＝2sin－1，則下列結論中錯誤的是(　　) A．f(x)的最小正周期為π B．f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f(x)在區(qū)間上是增函數 D．函數f(x)的圖象可由g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個單位長度得到 [解析]　對于函數f(x)＝2sin－1，由于它的最小正周期為π，故A項正確；當x＝時，f(x)＝2sin－1＝1，函數取得最大值，故f(x)的圖象關于直線

14、x＝對稱，故B項正確；當x在區(qū)間上時，2x－∈，故f(x)在區(qū)間上是增函數，故C項正確；由于把g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝2sin2－1＝2sin－1的圖象，故D項錯誤．故選D. [答案]　D 2．[角度2](2018·河南濮陽一模)先將函數f(x)＝sinx的圖象上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中ω∈N*)，得到函數g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調遞增，則ω的最大值為________． [解析]　由題意易知g(x)＝sin在區(qū)間上單調遞增，所以有k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z. 由12k－4≤8k＋可得k≤，當k＝1

15、時，ω∈，所以正整數ω的最大值為9. [答案]　9 1．(2018·天津卷)將函數y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　) A．在區(qū)間上單調遞增 B．在區(qū)間上單調遞減 C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間上單調遞減 [解析]　將y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數為y＝sin＝sin2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝sin2x的遞增區(qū)間為(k∈Z)，當k＝1時，y＝sin2x在上單調遞增，故選A. [答案]　A 2．(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是

16、減函數，則a的最大值是(　　) A. B. C. D．π [解析]　f(x)＝cosx－sinx＝cos， 由題意得a>0，故－a＋<， 因為f(x)＝cos在[－a，a]是減函數，所以解得0

17、＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調，故D錯誤． [答案]　D 4．(2017·山東卷)設函數f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值． [解]　(1)因為f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ＝sinωx－cosωx ＝ ＝sin. 由題設知f＝0，

18、所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈， 所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 高考對此部分內容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現在6～12或第14～15題位置上，命題的熱點主要集中于三角函數的定義、圖象與性質，主要考查圖象的變換，函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題． 熱點課題7　函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質的綜合應用 [感悟體驗] 1．(2018·西安三

19、模)若將函數f(x)＝2sin的圖象向右平移φ個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是(　　) A. B. C. D．－ [解析]　將函數f(x)＝2sin的圖象向右平移φ個單位長度后得到函數y＝2sin的圖象．因為所得圖象關于y軸對稱，所以－2φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－－(k∈Z)．當k＝－1時，φ＝.故選A. [答案]　A 2．(2018·湖南湘中高三聯考)已知函數f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數，若f(x)≤對x∈R恒成立，且f>f(π)，則f(x)的單調遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)

20、[解析]　因為f(x)≤對x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因為f>f(π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sinφ<0，所以φ＝－π＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以由三角函數的單調性知2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，故選C. [答案]　C 專題跟蹤訓練(十四) 一、選擇題 1．若sin＝－，且α∈，則sin(π－2α)＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　由sin＝cosα＝－，且α∈，得sinα＝，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－，故選D. [答案]　D 2．(2018·福州質量檢

21、測)若將函數y＝3cos的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的一個對稱中心是(　　) A. B. C. D. [解析]　將函數y＝3cos的圖象向右平移個單位長度，得y＝3cos＝3cos的圖象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，當k＝0時，x＝，所以平移后圖象的一個對稱中心是，故選A. [答案]　A 3．(2018·安徽江南十校聯考)已知tanα＝－，則sinα·(sinα－cosα)＝(　　) A. B. C. D. [解析]　sinα·(sinα－cosα)＝sin2α－sinα·cosα＝＝，將tanα＝－代入，得原式＝＝，故選A. [答案]　

22、A 4．(2018·太原模擬試題)已知函數f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)在(0，π)上有且只有兩個零點，則實數ω的取值范圍為(　　) A. B. C. D. [解析]　f(x)＝2sin，設t＝ωx－，因為0

23、2倍，縱坐標不變 B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變 C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變 [解析]　由圖象可知，A＝1，最小正周期T＝π，所以ω＝2.將點代入y＝sin(2x＋φ)可得φ＝，所以y＝sin，故只需將y＝sinx的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的即可．故選D. [答案]　D 6．(2018·太原質檢)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數f是偶函數，下列判

24、斷正確的是(　　) A．函數f(x)的最小正周期為2π B．函數f(x)的圖象關于點對稱 C．函數f(x)的圖象關于直線x＝－對稱 D．函數f(x)在上單調遞增 [解析]　由題意得函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為2×＝π，所以＝π，解得ω＝2.因為函數f是偶函數，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，因為|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin.函數f(x)的最小正周期為π，A錯誤；因為f＝sin＝－1≠0，所以B錯誤；因為f＝sin＝－≠±1，所以C錯誤；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，k

25、∈Z，令k＝1得函數f(x)的一個單調遞增區(qū)間為，因為?，所以D正確．綜上所述，故選D. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·河北滄州模擬)已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝________. [解析]　設點P(a,2a)(a≠0)為角θ終邊上任意一點，根據三角函數的定義有tanθ＝＝2，再根據誘導公式，得 ＝ ＝＝2. [答案]　2 8．(2018·河北石家莊一模)若函數f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的圖象關于點對稱，則函數f(x)在上的最小值為________． [解析]　f(x)＝sin

26、(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，則由題意，知f＝2sin＝0，又因為0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin2x，又因為函數f(x)在上是減函數，所以函數f(x)在上的最小值為f＝－2sin＝－. [答案]?。? 9．已知函數f(x)＝sinωx－cosωx＋m(ω>0，x∈R，m是常數)圖象上的一個最高點為，且與點距離最近的一個最低點是，則函數f(x)的解析式為__________________． [解析]　f(x)＝sinωx－cosωx＋m＝2sin＋m， 因為點和點分別是函數f(x)圖象上的最高點和最低點，且它們是相鄰的，

27、 所以＝＝－＝，且m＝，所以ω＝2，m＝－1.所以函數f(x)的解析式為f(x)＝2sin－1. [答案]　f(x)＝2sin－1 三、解答題 10．(2018·北京西城二模)已知函數f(x)＝tan. (1)求函數f(x)的定義域； (2)設β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值． [解]　(1)由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 所以函數f(x)的定義域是. (2)依題意，得tan＝2cos. 所以＝2sin. 整理得sin·＝0， 所以sin＝0或cos＝. 因為β∈(0，π)，所以β＋∈. 由sin＝0，得β＋＝π，即β＝； 由cos＝

28、，即β＋＝，即β＝. 所以β＝或β＝. 11．(2018·云南曲靖一中模擬)已知函數f(x)＝2cosxsin＋sin2x＋sinxcosx. (1)求函數f(x)的最小正周期． (2)若f(x)－m＝0在恰有一實數根，求m的取值范圍． [解]　(1)函數f(x)＝2cosxsin＋sin2x＋sinxcosx＝2cosx＋sin2x＋sinxcosx＝2cosx·＋sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin. 故函數f(x)的最小正周期為＝π. (2)在x∈時，f(x)＝2sin的圖象如下． ∵f(0)＝2s

29、in＝－，f＝2sin＝0， ∴當方程f(x)－m＝0在恰有一實數根時，m的取值范圍為[－，0)∪{2}． 12．[原創(chuàng)題]已知函數f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程； (2)當x∈時，求f(x)的最小值和最大值． [解]　(1)由題意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－cos2x＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π； 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，則x＝＋(k∈Z)， 故所求圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)當0≤x≤時，－≤2x－≤. 由函數圖象(圖略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin＋≤. 故f(x)的最小值為0，最大值為. 20