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1、2022年高考數(shù)學 第四篇 第3講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)限時訓練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．(xx·山東)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝ ( )．
A. B. C．2 D．3
解析 由題意知f(x)的一條對稱軸為x＝，和它相鄰的一個對稱中心為原點，則f(x)的周期T＝，從而ω＝.
答案 B
2．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的值為
( )．
A．0 B. C. D.
解析 據(jù)已知可得f(x)＝2si
2、n，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，經(jīng)代入檢驗符合題意．
答案 B
3．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為 ( )．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2－.
答案 A
4．(xx·安徽)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)．若f(x)≤對x∈R恒成立，且f＞f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )．
A.(k∈Z)
B
3、.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤對x∈R恒成立，∴f＝±1，即sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.
∴對于φ＝kπ＋(k∈Z)，k為奇數(shù)．
∴f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.
∴由2mπ＋≤2x＋≤2mπ＋(m∈Z)，
得mπ＋≤x≤mπ＋(m∈Z)，
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(m∈Z)．
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．定義在R上的
4、函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當x∈時，f(x)＝sin x，則f的值為________．
解析 f＝f＝f＝sin ＝.
答案
6．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.
解析 由0≤x≤，得0≤ωx≤<，
則f(x)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin ＝，且0<<，
所以＝，解得ω＝.
答案
三、解答題(共25分)
7．(12分)設f(x)＝.
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(x)的值域及取最大值時x的值．
解 (1)由1－2sin x≥0，根據(jù)正弦函數(shù)圖
5、象知：
定義域為{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，
∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，
∴f(x)的值域為[0，]，
當x＝2kπ＋，k∈Z時，f(x)取得最大值．
8．(13分)(xx·東營模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域．
解 (1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋s
6、in2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
∴函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1.
即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(xx·新課標全國)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是 ( )．
A. B.
C. D．(0,2]
解析 取ω＝，f(x)＝sin，其減區(qū)間為，k∈Z，顯然?kπ＋，kπ＋π，k∈Z，排除B，C
7、.取ω＝2，f(x)＝sin，其減區(qū)間為，k∈Z，顯然?，k∈Z，排除D.
答案 A
2．已知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由題意可知函數(shù)f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，將x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.
答案 A
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(xx·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－
8、cos x|，則f(x)的值域是________．
解析 f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|
＝
畫出函數(shù)f(x)的圖象，可得函數(shù)的最小值為－1，最大值為，故值域為.
答案
4．(xx·西安模擬)下列命題中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要條件；
②函數(shù)f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，則△ABC為鈍角三角形；
④若a＋b＝0，則函數(shù)y＝asin x－bcos x的圖象的一條對稱軸方程為x＝.
其中是真命題的序號為________．
解析
9、①∵α＝2kπ＋(k∈Z)?tan α＝，
而tan α＝?/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正確．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|
＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②錯誤．
③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0，
即cos(A＋B)>0，∵0
10、5．(12分)已知函數(shù)f(x)＝coscos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝coscos
＝·
＝cos2x－sin2x＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期為＝π.
(2)由(1)知
h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，
當2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)時，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值時，對應的x的集合為
.
6．(13分)已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2as
11、in＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，又∵a >0，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中當2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
又∵當2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調(diào)遞減，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z.
綜上，g(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)；遞減區(qū)間為(k∈Z)．
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