《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理
空間幾何體的三視圖
【教師備用】 若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是( B )
解析:由題意知,選項A,C中所給的幾何體的正視圖、俯視圖不符合要求,選項D中所給幾何體的側(cè)視圖不符合要求.故選B.
1.(xx福建卷)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是( A )
(A)圓柱 (B)圓錐
(C)四面體 (D)三棱柱
解析:圓柱的正視圖是矩形或圓,不可能是三角形,則該幾何體不可能是圓柱.
故選A.
2.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都
2、是直角三角形,則在該三棱錐的四個面中,直角三角形的個數(shù)為( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由題意可知,幾何體是三棱錐,其放置在長方體中形狀如圖中三棱錐ABCD,利用長方體模型可知,此三棱錐的四個面,全部是直角三角形.故選D.
3. (xx湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①②③④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( D )
(A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和②
解析:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出棱長為2的正
3、方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.故選D.
空間幾何體的表面積與體積
4.(xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由三視圖可知,該幾何體是一個正方體截去了一個三棱錐,即截去了正方體的一個角.設(shè)正方體的棱長為1,則正方體的體積為1,截去的三棱錐的體積為V1=××1×1×1=,故剩余部分的體積為V2=,
所求比值為=.
5. (xx大慶市二檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫的是某幾何體的三視圖,則
4、該幾何體的表面積為( A )
(A)32+4π (B)24+4π
(C)12+ (D)24+
解析:該幾何體為長方體與球的組合體,其中長方體的棱長分別為2,2,3,球的半徑為1,故其表面積為2×2×2+2×3×4+4×π×12
=32+4π,故選A.
6.(xx河北滄州質(zhì)檢)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為,則其俯視圖的面積為( B )
(A)π+2 (B)2π+4
(C)2π+6 (D)π+4
解析:三視圖所對應(yīng)的空間幾何體為一半圓錐拼接一三棱錐,
因為V=××πa2×4+××2a×a×4
=a2(π+2)=,
所以a2=4,所以俯視圖的
5、面積為πa2+·2a·a=2π+4,故選B.
多面體與球的切接問題
【教師備用】 (xx東北三校聯(lián)合二模)一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖為等腰直角三角形,正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,則此三棱錐外接球的表面積為( B )
(A)16π (B)9π (C)4π (D)π
解析:由三視圖可知立體圖形如圖所示.
由三視圖知頂點A在底面BCD上的射影E為BD中點,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,
設(shè)O為外接球球心,AO=R,OE=2-R,
則AB==,
在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,
因為S=4πR2,
所
6、以此三棱錐外接球的表面積為9π.
【教師備用】 (xx甘肅蘭州第二次監(jiān)測)已知長方體ABCDA1B1C1D1的各個頂點都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,則球心O到平面ABCD的距離為( B )
(A)1 (B) (C) (D)2
解析:設(shè)外接球O的半徑為R,則4πR2=16π,
所以R=2,
由題意知長方體的對角線為球的直徑,
又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,
設(shè)AD=x,AB=x,AA1=2x,
則x2+(x)2+(2x)2=42,
解得x=,
球心O到平面ABCD的距離為AA1=x=,選B.
7.(xx江西上饒三模)從點P 出發(fā)
7、的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A,B,C三點,若OP=,則球的體積為( C )
(A) (B) (C) (D)
解析: 設(shè)OP交平面ABC于O′,
由題得△ABC和△PAB為正三角形,
所以O(shè)′A=AB=AP,
因為AO′⊥PO,OA⊥PA,
所以=,=,=,
所以O(shè)A==×=1,
即球的半徑為1,
所以其體積為π×13=π.選C.
8.(xx東北三校第一次聯(lián)合模擬)三棱柱ABCA1B1C1各頂點都在一個球面上,側(cè)棱與底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,則這個球的表面積為 .?
解析:在△ABC中,∠ACB=1
8、20°,CA=CB=2,
由余弦定理可得AB=6,
由正弦定理可得△ABC外接圓半徑r=2,
設(shè)此圓圓心為O′,球心為O,
在Rt△OAO′中,球半徑R==4,
故球的表面積為S=4πR2=64π.
答案:64π
一、選擇題
1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是( D )
解析:根據(jù)幾何體的三視圖知識求解.
由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部是一個矩形,矩形中間無實線和虛線,因此俯視圖不可能是選項D.
2.(xx河南模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,且其體積為,則該幾何體的俯視圖可以是( D )
9、
解析:根據(jù)正視圖與側(cè)視圖的形狀和幾何體的體積是,知底面積是,
所以底面是一個半徑為1的四分之一圓,故選D.
3.(xx河南六市第二次聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,其中側(cè)視圖是一個邊長為2的正三角形,則這個幾何體的體積是( B )
(A)2 cm3 (B) cm3 (C)3 cm3 (D)3 cm3
解析:由三視圖可知幾何體如圖所示,
其側(cè)面PCB與底面垂直,且△PCB為邊長為2的正三角形,
底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,
所以四棱錐的體積為V=××(1+2)×2××2=.
【教師備用】 (xx懷化二模)某幾何體的三視圖如圖所示,且該
10、幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是( D )
(A)2 (B) (C) (D)3
解析:根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐,其直觀圖如圖所示.
V=××2×x=3?x=3.故選D.
【教師備用】 (xx太原市高三模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是扇形,則該幾何體的體積為( B )
(A)4π (B)2π (C) (D)
解析: 由正視圖可知該幾何體的高為H=3,其俯視圖如圖,
OA=OB=2,AC=,AC⊥OB,
所以∠AOB=,弧AB的長為,
所以扇形面積為S=×2×=,
所以幾何體的體積為V=3×=2π.
選B.
【教師備用】 (xx寧夏
11、石嘴山高三聯(lián)考)一個四棱錐的三視圖如圖所示,那么這個四棱錐的表面積是( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:由三視圖可知,其直觀圖如圖,
S△ABC=×1×2=1,
S△ABE=×2×2=2,
S△ACD=×1×=,
可知AD⊥DE,AD==,DE=,
S△ADE=××=,
S梯形BCDE=×(1+2)×1=,
故其表面積為S=1+2+++=.
選A.
4. (xx黑龍江高三模擬)一個四面體的頂點都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都如圖所示.圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為1的正方形.則這個四面體的外接球的表面積是( B )
(A)π (
12、B)3π (C)4π (D)6π
解析:由三視圖可知,該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體,且正方體的棱長為1,所以內(nèi)接正方體的對角線長為,即球的直徑為,所以球的表面積為S=4π×()2=3π,故選B.
5.(xx遼寧沈陽高三一模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的長都為3,頂點都在同一球面上,則該球的表面積為( B )
(A)9π (B)21π (C)33π (D)45π
解析:如圖,因為所有棱的長都為3,
所以O(shè)O1=,
OA即為其外接球的半徑R,
又AO1=××3=,
所以R2=O+A=()2+()2=,
所以S球=4πR2=21π.選B.
6.(xx貴州省
13、適應(yīng)性考試)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),該四面體的體積為( A )
(A) (B) (C)1 (D)2
解析:如圖所示,正方體棱長為1,
依題意知,該四面體為OABC,
其體積為V=1×1×1-4×××1×1×1
=1-
=.
選A.
【教師備用】 (xx鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個三角形均為直角三角形,則xy的最大值為( C )
(A)32 (B)32 (C)64 (D)64
解析:設(shè)三棱錐的高為h,則根據(jù)三視圖可得
所以x2+y2=128,
14、因為x>0,y>0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=8時取“=”號,
故xy的最大值為64.選C.
【教師備用】 (xx廣西南寧二模)已知如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為( B )
(A)24π (B)6π (C)4π (D)2π
解析:依題意知,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐ABCD,
其中AB⊥平面BCD,AB=,BC=CD=,BD=2,
將該三棱錐補成一個正方體,
則有(2R)2=()2+()2+()2=6,
所以R=,
所以外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=6π.
選B.
【教師備用】 (xx
15、唐山市一模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( C )
(A)4 (B)21+
(C)3+12 (D)+12
解析:根據(jù)三視圖可知該幾何體是正六邊形截得的正方體下方的幾何體,因為正方體的棱長為2,
所以根據(jù)分割的正方體的2個幾何體的對稱性得,
S1=×6×22=12,
正六邊形的面積為6××()2=3,
所以該幾何體的表面積為12+3.選C.
二、填空題
7.(xx廣西南寧二模)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等且=,則的值是 .?
解析:設(shè)兩個圓柱的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h
16、2,
則由題意知,==·=,①
又2πr1·h1=2πr2·h2,
所以=, ②
把②代入①可得,=,
所以=()2=()2=.
答案:
【教師備用】 (xx遼寧沈陽高三一模)已知某多面體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,則此多面體最長的一條棱長為 .?
解析:由三視圖知,該幾何體是一個四棱錐,
如圖所示,其底面是直角梯形,
AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,
則OD==,
CD==5,
OB==,
OC===,
故多面體最長的一條棱長為.
答案:
8.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為 .?
解析:由三視圖知,幾何體由一個四棱錐與四棱柱組成,則體積V=×2×2×1+1×1×2=.
答案:
9.(xx大連市高三一模)如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為 .?
解析:設(shè)球的半徑為R,則底面ABCD的面積為2R2,
因為半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,
該四棱錐的體積為,
所以×2R2×R=,
所以R3=2,
所以該半球的體積為V=×πR3=π.
答案:π