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1、九年級數(shù)學競賽輔導講座 第三講 活力的韋達定理
一元二次方程的根與系數(shù)的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的．
韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內容，應用廣泛，主要體現(xiàn)在：
運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；
運用韋達定理，求代數(shù)式的值；
利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征；
利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等．
韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路．
韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數(shù)
2、學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數(shù)學思想方法．
【例題求解】
【例1】 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ．
思路點撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例
【例2】如果、都是質數(shù)，且，，那么的值為( )
A． B．或2 C． D．或2
思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關系，由于兩個等式結構相同，可視、為方程的兩
3、實根，這樣就為根與系數(shù)關系的應用創(chuàng)造了條件．
注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：
(1)恰當組合；
(2)根據根的定義降次；
(3)構造對稱式．
【例3】 已知關于的方程：
(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根．
(2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應的、．
思路點撥 對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手．
4、
【例4】 設、是方程的兩個實數(shù)根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值．
思路點撥 利用根與系數(shù)關系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的．
注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉化前后問題的等價性．
【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根．
(1)當m＝2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪
5、種四邊形?并說明理由．
(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ＝1，且AB
6、，并和滿足不等式，則實數(shù)取值范圍是 ．
(2)已知關于的一元二次方程有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是 ．
2．已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 ．
3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是 ．
4．設、是關于的方程
7、的兩根，+1、+1是關于的方程的兩根，則、的值分別等于( )
A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關于
的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是( )
A． B． C．5 D．2
6．方程恰有兩個正整數(shù)根、，則的值是( )
A．1 B．-l C． D．
7．若關于的一元二次方程的兩個實數(shù)
8、根滿足關系式：，判斷是否正確?
8．已知關于的方程．
(1) 當是為何值時，此方程有實數(shù)根；
(2)若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求的值．
9．已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個方程兩根為 ．
10．已知、是方程的兩個根，則的值為 ．
11．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程
9、的兩根，則m的取值范圍是 ．
12．兩個質數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則的值是( )
A．9413 B． C． D．
13．設方程有一個正根，一個負根，則以、為根的一元二次方程為( )
A． B．
C． D．
14．如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1
15．如圖，在矩形ABCD中，對角線A
10、C的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關于的方程的兩個根．
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的，請說明理由．
16．設m是不小于的實數(shù)，使得關于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、．
(1) 若，求m的值．
(2) 求的最大值．
17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值．
18．設、、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值．
參考答案
九年級數(shù)學競賽輔導講座 第三講 活力的韋達定理
