2022年高考數學 高頻考點、提分密碼 第二部分 導數 新人教版

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1、2022年高考數學 高頻考點、提分密碼 第二部分 導數 新人教版 一、考試要求： 1、了解導數概念的實際背景。 2、理解導數的幾何意義。 3、掌握函數y=xn (n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數。 4、理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。 5、會利用導數求最大值和最小值的方法，解決科技、經濟、社會中的某些簡單實際問題。 二、知識與方法 1、導數的定義 設函數y=f(x)在點x0及其近旁有定義，當自變量x在x0處有增量（或稱改為量）△x，那么函數y相應的有增量（或稱改變量）△y， △

2、y=f(x0+△x)－f(x0) 比值就叫做函數y=f(x)在x0到x0+△x之間的平均變化率. =. 如果當△x→0時，有極限，我們就說函數y=f(x)在x0處可導，并把這個極限值叫做函數f(x)在x0處的導數（或稱變化率），記作f′(x0)或y′|x=x0或f′(x)|x=x0.即： f′(x0)= 這里須指出：f′(x0)是函數y=f(x)在x0點的導數值，瞬時速度就是位移函數s(t)在點t0處的導數，即：S′(t0)= 2、求函數y=f(x)在x0點處的導數的步驟 ⑴求函數的增量△y=f(x0+△x)－f(x0) ⑵求平均變化率：=. ⑶取極限，求函數在x0點的

3、變化率，即導數：f′(x0)=. 3、“函數f(x)在點x0處的導數”、“導函數”及“導數”的概念間的區(qū)別與聯(lián)系： ⑴函數在一點處的導數，就是在該點的函數增量△y=f(x0+△x)－f(x0)與自變量的增量△x之比的極限。它是一個常數，不是變量。 ⑵如果函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點處均可導，這時稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內可導，對于區(qū)間(a,b)內一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數f′(x0)，這樣的對應就構成了以區(qū)間(a,b)為定義域的一個新函數，稱為函數f(x)的導函數，簡稱導數，所以函數的導數是對某一區(qū)間內任意一點x而言的。 ⑶y=f(x)在x=x0處的導

4、數f′(x0)就是導函數f′(x)在x=x0處的函數值, 即f′(x)|=f′(x0)，值得注意的是：f′(x0)≠[f(x0)]′ 4、導數的幾何意義 ⑴函數f(x)在點x0處有導數，則函數f(x)的曲線在該點處必有切線，且導數值是該切線的斜率；但函數f(x)的曲線在點x0處有切線，函數f(x)在該點處不一定可導。如f(x)=在x=0有切線，但不可導。 ⑵函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義是指：曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率,即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f′(x0),切線方程為y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)

5、5、常見函數的導數公式 ⑴C′=0 (C為常數) ⑵(xn)′=nxn－1　(n∈Q) 6、可導函數四則運算法則 設函數f(x)、g(x)都是可導函數，則： (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x) 三、導數的應用 1、利用導數判斷函數的單調性 設函數y=f(x)在某區(qū)間內可導，并且在該區(qū)間內，f′(x)>0，則f(x)在該區(qū)間內為增函數；若在該區(qū)間內，f′(x)<0，則f(x)在該區(qū)間內為減函數. 指出：若可導函數只有某區(qū)間的個別點處導數等于零，不影響函數在該區(qū)間內的單調性，如y=x3，在(－∞,+∞)內，y=3x2≥0(只在x=0處y′=0)不影響y

6、=x3在(－∞,+∞)內為單調增加. 2、求可導函數f(x)單調區(qū)間的一般方法和步驟如下： ⑴確定函數f(x)的定義區(qū)間； ⑵求函數f(x)的導數f′(x)； ⑶令f′(x)>0，所得x的范圍（區(qū)間）為函數f(x)的單調增區(qū)間；令f′(x)<0，得單調減區(qū)間. 3、利用導數求函數的極值 ⑴極值的定義：設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0左右近旁的所有x值，都有 f(x)f(x0) 我們就說f(x0)是f(x)的一個極小值，記作y極小值

7、=f(x0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為f(x)的極值. 指出：一個函數在給定區(qū)間上的極小值不一定小于極大值.(即極小值可以大于或等于極大值)；極值是函數的局部性質，它僅與左右近旁的函數值進行比較；極值點一定是區(qū)間的內點。導數為零的點是該點為極值點的必要條件，不是充分條件。 ⑵極值的判定方法。 當函數f(x)在x0處連續(xù)時，判別f(x0)是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵? ①如果在x0在左側近旁f′(x0)>0，右側近旁f′(x0)<0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0在左側近旁f′(x0)<0，右側近旁f′(x0)>0，那么f(x0)是極小值. ⑶求函數的極值的步驟： ①求函數的

8、定義域 ②求導數f′(x) ③求導數f′(x)=0的根. ④檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符號，如果左正、右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值. 4、函數的最大值與最小值 ⑴閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最大值和最小值.(開區(qū)間上的連續(xù)函數不一定有最大值和最小值). ⑵求閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數f(x)的最大值和最小值的步驟： ①求f(x)在(a,b)內的極值； ②將f(x)的各極值與端點函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值. ⑶如果函數f(x)在開區(qū)間(a,b)或(－∞,+∞)內可導且有惟一的極值點x0，那么當f(x0)是極大值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當f(x0)是極小值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. ⑷對于實際問題，如果連續(xù)函數f(x)在區(qū)間（a,b）內只有一個點使f′(x)=0，而且實際問題本身又可以知道f(x)在(a,b)內必定取得最大值或最小值，則f(x0)就是所求的最大值或最小值，這時也就無須判斷是極大值還是極小值.