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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.2 空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 表面積問題
【例1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
【解析】設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，圓柱的半徑為r，軸截面如圖，
S圓錐＝π(R＋l)R ＝π(R＋R)R＝(π＋π)R2，
S圓柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，
又＝，所以＝，
所以＝.
【點撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法.
【變式訓(xùn)練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m).
(1)試畫出它的直觀圖；
(2)求
2、它的表面積和體積.
【解析】(1)直觀圖如圖所示.
(2)該幾何體的表面積為(7＋) m2，體積為 m3.
題型二 體積問題
【例2】 某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面)，為減少油的損失，該人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少？
【解析】 如圖，破損處為D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC－DB1E的體積.
因為＝，而＝，
由三棱柱幾何性質(zhì)知
3、＝V， ＝，
所以＝V，
又因為＝，所以 VD－ABC＝·＝，
所以＝＋VD－ABC＝V.
故油最理想的剩余量為V.
【點撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種常用的思想方法.
【變式訓(xùn)練2】一個母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內(nèi)，有水溢出，容器蓋上一平板，恰與球相切，問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾？
【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓錐的高h＝3R，底面半徑r＝R，
V圓錐＝·(R)2·3R＝3πR3；V球＝πR3.
所以＝＝，
所以剩下的水量是原來的1－＝.
【點撥】本題關(guān)鍵是求圓錐
4、與球的體積之比，作出軸截面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可.
題型三 組合體的面積、體積的關(guān)系
【例3】底面直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A，如圖所示：
(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式；
(2)求截得棱柱的體積的最大值.
【解析】 (1)A＝x·(0＜x＜2).
(2)V＝x··1＝ ＝.
因為0＜x＜2，所以當(dāng)x＝時，Vmax＝2.
【點撥】關(guān)鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第(2)求體積時還可利用不等式.
【變式訓(xùn)練3】(xx山東檢測)把一個周長為12 cm的長方形圍
5、成一個圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為( )
A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π
【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm，則另一條邊長為(6－x) cm，且0＜x＜6，以長為(6－x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有2πr＝x，所以r＝，因此圓柱的體積V＝π·()2(6－x)＝(6x2－x3)，由于V′＝·(12x－3x2)，令V′＝0，得
x＝4，容易推出當(dāng)x＝4時圓柱的體積取得最大值，此時圓柱的底面周長是4 cm，圓柱的高是2 cm，所以圓柱的底面周長與高的比為2∶1，選C.
總結(jié)提高
表面積包含側(cè)面積和底面積；直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊；對于正棱柱、正棱錐、正棱臺，其所有側(cè)面多邊形均全等，故可先求一個的側(cè)面積，再乘以側(cè)面多邊形的個數(shù).
求體積時，常常需要“轉(zhuǎn)變”底面，使底面面積和高易求；另外，對于三棱錐的幾何體選擇不同的底面時，利用同一個幾何體體積相等，再求出幾何體的高，即等體積法.
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