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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 12.4 隨機事件的概率與概率的基本性質(zhì)教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 頻率與概率
【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進行了抽樣檢測,檢查結(jié)果如下表所示.
抽取球數(shù)n
50
100
200
500
1 000
2 000
優(yōu)等品數(shù)m
45
92
194
470
954
1 902
優(yōu)等品頻率
(1)計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率;
(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個,質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保留到小數(shù)點后三位)
【解析】(1)
2、依據(jù)公式,計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,
0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知,抽取的球數(shù)n不同,計算得到的頻率值不同,但隨著抽取的球數(shù)的增多,卻都在常數(shù)0.950的附近擺動,所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.
【點撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出,當所抽乒乓球較少時,優(yōu)等品的頻率波動很大,但當抽取的球數(shù)很大時,頻率基本穩(wěn)定在0.95,在其附近擺動,利用概率的統(tǒng)計定義,可估計該批乒乓球的優(yōu)等率.
【變式訓(xùn)練1】某籃球運動員在最近幾場比賽中罰球的結(jié)果如下.
投籃次數(shù)n
8
10
12
9
10
16
進球次數(shù)m
3、
6
8
9
7
7
12
進球頻率
(1)計算表中進球的頻率;
(2)這位運動員投籃一次,進球的概率是多少?
【解析】(1)由公式計算出每場比賽該運動員罰球進球的頻率依次為:
(2)由(1)知,每場比賽進球的頻率雖然不同,但頻率總在附近擺動,可知該運動員進球的概率為.
題型二 隨機事件間的關(guān)系
【例2】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對事件是否為互斥事件,是否為對立事件.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”.
【解析】(1)
4、是互斥事件但不是對立事件.因為“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時不可能同時發(fā)生,因而是互斥的.同時,不能保證其中必有一個發(fā)生,因為還可能抽出“方塊”或“梅花”,因此兩者不對立.
(2)是互斥事件又是對立事件.因為兩者不可同時發(fā)生,但其中必有一個發(fā)生.
(3)不是互斥事件,更不是對立事件.因為“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”這兩個事件有可能同時發(fā)生,如抽得12.
【點撥】要區(qū)分互斥事件和對立事件的定義.
【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品,設(shè)事件A:至少有兩件次品,則A的對立事件為( )
A.至多兩件次品 B.至多一件次品
C.至多兩件正品
5、 D.至少兩件正品
【解析】根據(jù)對立事件的定義得選項B.
題型三 概率概念的應(yīng)用
【例3】 甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試,按照大于或等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀,統(tǒng)計后,得到如下列聯(lián)表.
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲
10
乙
30
總計
105
已知從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,能否認為“成績與班級有關(guān)系”(參考數(shù)據(jù)P(K2>6.635)=0.05);
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進行編號,
6、然后兩次擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的編號.試求抽到6號或10號的概率.
【解析】(1)
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲
10
45
55
乙
20
30
50
總計
30
75
105
(2)計算K2的一個觀測值
k==6.109.
因為6.109<6.635,所以沒有95%的把握認為成績與班級有關(guān).
(3)記被抽取人的序號為ζ,
則P(ζ=6)=,P(ζ=10)=,
所以P(ζ=6或ζ=10)=P(ζ=6)+P(ζ=10)==.
【點撥】本題考查概率的概念在實際生活中的應(yīng)用.
【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個球,每個球上都記有從1~35中
7、的一個號碼,設(shè)號碼為n的球的重量為-5n+20克,這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號碼的影響).
(1)如果取出1球,試求其重量比號碼數(shù)大5的概率;
(2)如果任意取出2球,試求它們重量相等的概率.
【解析】(1)由不等式-5n+20>n+5,得n>15或n<3,
由題意知n=1,2或者n=16,17,…,35,于是所求概率為.
(2)設(shè)第n號和第m號的兩個球的重量相等,
其中n<m,則有-5n+20=-5m+20,
所以(n-m)(n+m-15)=0.
因為n≠m,所以n+m=15,
所以(n,m)=(1,14),(2,13),…,(7,8).
故所求概率為.
總
8、結(jié)提高
1.對立事件是互斥事件的一種特殊情況,是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件.集合A的對立事件記作,從集合的角度來看,事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補集,即A∪=U,A∩=.對立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件.
事件A、B的和記作A+B,表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當A、B為互斥事件時,事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的.
當計算事件A的概率P(A)比較困難時,有時計算它的對立事件的概率則要容易些,為此有P(A)=1-P().
2.若A與B互相獨立,則與,A與,與B都是相互獨立事件.判斷A與B是否獨立的方法是看P(AB)=P(A)·P(B)是否成立.