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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時，
(1)直線與圓有兩個公共點；
(2)直線與圓只有一個公共點.
【解析】方法一：(幾何法)
設(shè)圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝＝，半徑r＝.
當(dāng)d＜r時，直線與圓相交，＜，－2＜b＜2，
所以當(dāng)－2＜b＜2時，直線與圓有兩個公共點.
當(dāng)d＝r時，直線與圓相切， ＝，b＝±2，
所以當(dāng)b＝±2時，直線與圓只有一個公共點.
方法二：(代數(shù)法)
聯(lián)立兩個方程得方
2、程組
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
當(dāng)Δ＞0，即－2＜b＜2時，有兩個公共點；
當(dāng)Δ＝0，即b＝±2時，有一個公共點.
【點撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要注意運用數(shù)形結(jié)合思想，既要運用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.
【變式訓(xùn)練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定
【解析】選A.易知圓的半徑r＝，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝.
因為θ≠＋kπ，k∈Z.所
3、以0≤sin2θ＜1，
所以＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離.
題型二 圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】到原點的距離等于1的點在單位圓O：x2＋y2＝1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個公共點時，符合題意，故應(yīng)滿足2－1＜|OC|＜2＋1，
所以1＜＜3，即＜|a|＜，
所以－＜a＜－或＜a＜為所求a的范圍.
【變式訓(xùn)練2】兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點，若點P的坐標(biāo)為(1,2)，則點Q的坐標(biāo)為 .
【解析】由兩圓的方程可
4、知它們的圓心坐標(biāo)分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為＝，即y＝－x.
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱.
故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y＝－x的對稱點，即點Q的坐標(biāo)為(－2，－1).
題型三 圓的弦長、中點弦的問題
【例3】已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；
(2)求圓C內(nèi)過點P的弦的中點的軌跡方程.
【解析】(1)如圖，AB＝4，D是AB的中點，則AD＝2，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為
5、y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點C到直線的距離公式＝2，
得k＝，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x＝0.
所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦長公式求解)
(2)設(shè)圓C上過點P的弦的中點為D(x，y)，
因為CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化簡得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【點撥】在研究與弦的中點有關(guān)問題時，注意運用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為(x0，y0)，
由得k＝＝－＝－.
該
6、法常用來解決與弦的中點、直線的斜率有關(guān)的問題.
【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(3,5)的最長弦為AC＝10，最短弦為BD＝2＝4，S＝AC·BD＝20.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復(fù)雜，利用l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.
2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.
3.處理直線與圓的位置關(guān)系時，特別是有關(guān)交點問題時，為避免計算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.
2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版
