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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 6.4 數(shù)列求和教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 錯位相減法求和
【例1】求和：Sn＝＋＋＋…＋.
【解析】(1)a＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)a≠1時，因為a≠0，
Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋.②
由①－②得(1－)Sn＝＋＋…＋－＝－，
所以Sn＝.
綜上所述，Sn＝
【點撥】(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法；
(2)當?shù)缺葦?shù)列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論；
(3)當將Sn與qSn相減合并同類項時，注意錯位及未合
2、并項的正負號.
【變式訓練1】數(shù)列{}的前n項和為( )
A.4－ B.4＋ C.8－ D.6－
【解析】取n＝1，＝－4.故選C.
題型二 分組并項求和法
【例2】求和Sn＝1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋).
【解析】和式中第k項為ak＝1＋＋＋…＋＝＝2(1－).
所以Sn＝2[(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]
＝－(＋＋…＋)]
＝2[n－]＝2[n－(1－)]＝2n－2＋.
【變式訓練2】數(shù)列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項和為( )
A.2n－1
3、 B.n·2n－n
C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2
【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故選D.
題型三 裂項相消法求和
【例3】數(shù)列{an}滿足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若對任意非零自然數(shù)n，Tn＞恒成立，求m的最大整數(shù)值.
【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
從而可知數(shù)
4、列{an}為等差數(shù)列，設其公差為d，則d＝＝－2，
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)bn＝＝＝(－)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1＋－－)＝－－＞ ，
上式對一切n∈N*恒成立.
所以m＜12－－對一切n∈N*恒成立.
對n∈N*，(12－－)min＝12－－＝，
所以m＜，故m的最大整數(shù)值為5.
【點撥】(1)若數(shù)列{an}的通項能轉化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項相消法求和.
(2)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項.
【變式訓練3】已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項和為An，Bn，記cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項和為( )
A.A10＋B10 B. C.A10B10 D.
【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10項和為A10B10，故選C.
總結提高
1.常用的基本求和法均對應數(shù)列通項的特殊結構特征，分析數(shù)列通項公式的特征聯(lián)想相應的求和方法既是根本，也是關鍵.
2.數(shù)列求和實質就是求數(shù)列{Sn}的通項公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對學生的知識和思維有很高的要求，應充分重視并系統(tǒng)訓練.
2022年高考數(shù)學一輪總復習 6.4 數(shù)列求和教案 理 新人教A版
