2022年高考數(shù)學一輪總復習 10.6 空間向量及其運算教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 10.6 空間向量及其運算教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　共線和共面向量 【例1】 設A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點，求證：M、N、P、Q四點共面. 【證明】因為＝，＝，所以＝2，＝2， 又＝(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω， 所以＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω， 所以、、共面，即M、N、P、Q四點共面. 【點撥】可以利用共面向量定理或其推論完成證明.用共線向量定理證明線線平行，從而證明面面平行，更簡捷，使問題簡單化. 【變式訓練1】如圖所示，長方體

2、ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A、B、N、M四點共面. 【證明】設＝a，＝b，＝c，則＝b－a. 因為M是DD1的中點，所以＝c－a. 因為AN∶NC＝2，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋， 所以A、B、M、N四點共面. 題型二　利用向量計算長度和證明垂直 【例2】已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1所有棱長均為1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°. (1)求AC1的長； (2)求證：AC1⊥平面A1BD. 【解析】(1)設＝a，＝b，＝c， 則a·b＝b·c＝c·a＝1

3、×1×cos 60°＝，a2＝b2＝c2＝1.而＝a＋b＋c， 所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，即||＝. (2)證明：因為＝a－c， 所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋－＝0. 所以⊥.同理可得⊥. 所以AC1⊥平面A1BD. 【點撥】利用|a|2＝a2是計算長度的有效方法之一；而利用向量數(shù)量積為零是證明垂直問題的常用方法之一. 【變式訓練2】已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1長為b，且AA1與AB，AD的

4、夾角都是120°.求AC1的長. 【解析】||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120° ＝2a2＋b2－2ab. 所以|AC1|＝. 題型三　利用坐標求法向量和證明垂直問題 【例3】 正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點. (1)求證：D1F⊥平面ADE； (2)求平面ADE的一個法向量. 【解析】(1)建立如圖所示的直角坐標系D－xyz，則D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， F(0，，0)，E(1,1， ). 所以＝(0，，－1

5、)， ＝(－1,0,0)，＝(0,1，)， 因為·＝0，所以⊥， 又·＝0，所以⊥， 所以D1F⊥平面ADE. (2)由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一個法向量為＝(0，，－1). 【點撥】空間向量坐標化，大大降低了立體幾何試題的難度，同學們需要善于利用. 【變式訓練3】 已知平面α內有一個點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6， －3,6)，則下列各點中，在平面α內的是(　　) A.A(2,3,3) B.B(－2,0,1) C.C(－4,4,0) D.D(3，－3,4) 【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以

6、它應該和平面α內任意一個向量垂直，只有在選項A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故選A. 題型四　利用坐標法求解線面及面面位置關系 【例4】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點. (1)證明：平面AED⊥平面A1FD1； (2)在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE. 【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，不妨設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2). 設平面AED的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1

7、)，則 所以2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0. 令y1＝1，得n1＝(0,1，－2). 同理可得平面A1FD1的一個法向量為n2＝(0,2,1). 因為n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1. (2)由于點M在直線AE上，所以可設＝λ＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2).A1M⊥平面DAE，則A1M⊥AE，所以·＝(0, 2λ，λ－ 2) (0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝.故當AM＝AE時，A1M⊥平面DAE. 【變式訓練4】 已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的單位法向量. 【解析】設

8、平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，且n·＝0， 即2x＋2y＋z＝0且4x＋5y＋3z＝0，解得 所以n＝z(，－1,1)，單位法向量n0＝＝±(，－，). 總結提高 1.利用共線向量定理，可解決立體幾何中三點共線和兩直線平行等問題. 2.利用共面向量定理，可解決立體幾何中直線在平面內，直線與平面平行以及四點共面等問題. 3.同時要重視空間向量基本定理的運用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問題的所有向量，將幾何問題轉化為向量問題. 4.用空間向量處理某些立體幾何問題時，除要有應用空間向量的意識外，關鍵是根據(jù)空間圖形的特點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.若坐標系選取不當，計算量就會增大.總之樹立用數(shù)解形的觀念，即用數(shù)形結合的思想解決問題. 5.用向量法解決空間問題，優(yōu)先考慮建立坐標系(尤其當直角條件較充足時)，因為單位正交基底運用起來最方便. 6.建系用坐標法解決空間問題時，寫出各點坐標要萬分謹慎.