江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 考前回扣2 函數(shù)與導數(shù)學案

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1、 2.函數(shù)與導數(shù) 1.求函數(shù)的定義域,關鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解,如開偶次方根,被開方數(shù)一定是非負數(shù);對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù);列不等式時,應列出所有的不等式,不應遺漏. 對抽象函數(shù),只要對應法則相同,括號里整體的取值范圍就完全相同. [問題1] 函數(shù)f(x)=+lg(1+x)的定義域是________________. 答案 (-1,1)∪(1,+∞) 2.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用不同的式子來表示對應法則的函數(shù),它是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù). [問題2] 已知函數(shù)f(x)=的值域為R,那么a的取值范圍是____________

2、. 答案  解析 要使函數(shù)f(x)的值域為R, 需使所以 所以-1≤a<. 3.求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法:適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù). (2)圖象法:適合于已知或易作出圖象的函數(shù). (3)基本不等式法:特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù). (4)導數(shù)法:適合于可導函數(shù). (5)換元法(特別注意新元的范圍). (6)分離常數(shù)法:適合于一次分式. [問題3] 函數(shù)y=(x≥0)的值域為________. 答案  解析 方法一 ∵x≥0,∴2x≥1,∴≥1, 解得≤y<1.∴其值域為y∈. 方法二 y=1-, ∵x≥0,∴0<≤, ∴y∈.

3、4.判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關于原點對稱,有時還要對函數(shù)式化簡整理,但必須注意使定義域不受影響. [問題4] f(x)=是________函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案 奇 解析 由得定義域為(-1,0)∪(0,1), f(x)==. ∴f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù). 5.函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反. (2)若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0,則必有f(0)=0.

4、 “f(0)=0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件. [問題5] 設f(x)=lg是奇函數(shù),且在x=0處有意義,則該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞________. 答案 增 解析 由題意可知f(0)=0,即lg(2+a)=0, 解得a=-1, 故f(x)=lg ,函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1), 在此定義域內(nèi)f(x)=lg =lg(1+x)-lg(1-x), 函數(shù)y1=lg(1+x)是增函數(shù),函數(shù)y2=lg(1-x)是減函數(shù),故f(x)=y(tǒng)1-y2是增函數(shù). 6.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法 (1)能畫出圖象的,一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察. (2)由基本初等函數(shù)通過加減運

5、算或復合而成的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷問題. (3)對于解析式較復雜的,一般用導數(shù). (4)對于抽象函數(shù),一般用定義法. [問題6] 函數(shù)y=|log2|x-1||的遞增區(qū)間是________________. 答案 [0,1),[2,+∞) 解析 ∵y= 作圖可知正確答案為[0,1),[2,+∞). 7.有關函數(shù)周期的幾種情況必須熟記:(1)f(x)=f(x+a)(a>0),則f(x)的周期T=a;(2)f(x+a)=(f(x)≠0)或f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2a. [問題7] 設f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),當x∈[-2,1)時

6、,f(x)=則f?=________. 答案 -1 8.函數(shù)圖象的幾種常見變換 (1)平移變換:左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言);上下平移——“上加下減”. (2)翻折變換:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3)對稱變換:①證明函數(shù)圖象的對稱性,即證圖象上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上; ②函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點成中心對稱; ③函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于直線x=0 (y軸)對稱;函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關于直線y=0(x軸)對稱. [問題8] 函數(shù)y=的對稱中心是_______

7、_. 答案 (1,3) 9.如何求方程根的個數(shù)或范圍 求f(x)=g(x)根的個數(shù)時,可在同一坐標系中作出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,看它們交點的個數(shù);求方程根(函數(shù)零點)的范圍,可利用圖象觀察或零點存在性定理. [問題9] 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是________. 答案  解析 先作出函數(shù)f(x)=|x-2|+1的圖象,如圖所示, 當直線g(x)=kx與直線AB平行時,斜率為1,當直線g(x)=kx過點A時,斜率為,故當f(x)=g(x)有兩個不相等的實根時,實數(shù)k的取值范

8、圍是. 10.二次函數(shù)問題 (1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向,二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系. (2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式,要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形. [問題10] 若關于x的方程ax2-x+1=0至少有一個正根,則a的取值范圍為________. 答案  11.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮,特別注意底數(shù)的取值對有關性質(zhì)的影響,另外,指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過定點(0,1),對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(1,0).

9、[問題11] 設a=log36,b=log510,c=log714,則a,b,c的大小關系是________. 答案 a>b>c 12.函數(shù)與方程 (1)函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標. (2)y=f(x)在[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,那么f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即至少存在一個x0∈(a,b)使f(x0)=0.這個x0也就是方程f(x)=0的根. (3)用二分法求函數(shù)零點. [問題12] 函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為________. 答案 1 13.利用導數(shù)研究函數(shù)單

10、調(diào)性的步驟 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域. (2)求導數(shù)y′=f′(x). (3)解方程f′(x)=0在定義域內(nèi)的所有實根. (4)將函數(shù)y=f(x)的間斷點(即函數(shù)無定義點)的橫坐標和各個實數(shù)根按從小到大的順序排列起來,分成若干個小區(qū)間. (5)確定f′(x)在各個小區(qū)間內(nèi)的符號,由此確定每個區(qū)間的單調(diào)性. 特別提醒:(1)多個單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接; (2)f(x)為減函數(shù)時,f′(x)≤0恒成立,但要驗證f′(x)是否恒等于0. [問題13] 若函數(shù)f(x)=x2-ln x+1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是_____

11、_________. 答案  解析 因為f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2x-, 由f′(x)=0,得x=. 利用圖象(圖略)可得 解得1≤k<. 14.導數(shù)為零的點并不一定是極值點,例如:函數(shù)f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是極值點. [問題14] 函數(shù)f(x)=x4-x3的極值點是________. 答案 x=1 15.利用導數(shù)解決不等式問題的思想 (1)證明不等式f(x)

12、(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為______. 答案  解析 由題意知f′(x)=x+2a-≥0在上恒成立,即2a≥-x+在上恒成立, 因為max=, 所以2a≥,即a≥. 易錯點1 忽視函數(shù)的定義域 例1 函數(shù)y=(x2-5x+6)的單調(diào)增區(qū)間為__________. 易錯分析 忽視對函數(shù)定義域的要求,漏掉條件x2-5x+6>0. 解析 由x2-5x+6>0,知x>3或x<2. 令u=x2-5x+6,則u=x2-5x+6在(-∞,2)上是減函數(shù), ∴y=(x2-5x+6)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,2). 答案 (-∞,2)

13、 例2 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,求x的取值范圍. 易錯分析 解函數(shù)有關的不等式,除考慮單調(diào)性、奇偶性,還要把定義域放在首位. 解 由得 故03-x2,即x2+x-6>0, 解得x>2或x<-3. 綜上得2

14、分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況,忽視對定義域的臨界點處函數(shù)值的要求. 解析 若函數(shù)在R上單調(diào)遞減, 則有解得a≤-; 若函數(shù)在R上單調(diào)遞增, 則有解得1

15、0不是函數(shù)的零點,這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)=mx2-2x+1=0有一個正根一個負根,即mf(0)<0,即m<0. 答案 (-∞,0]∪{1} 易錯點4 混淆“在點”和“過點”致誤 例5 已知曲線f(x)=x3-3x,過點A(0,16)作曲線f(x)的切線,求曲線的切線方程. 易錯分析 “在點”處的切線,說明點在曲線上,且點是切點.“過點”的切線,說明切線經(jīng)過點:當這個點不在曲線上時,一定不是切點;當這個點在曲線上時,也未必是切點. 解 設切點為M(x0,x-3x0).因為點M在切線上,所以x-3x0=(3x-3)x0+16,得x0=-2, 所以切線方程為y=

16、9x+16. 易錯點5 極值點條件不清 例6 已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值,且極值為10,則a+b=________. 易錯分析 把f′(x0)=0作為x0為極值點的充要條件,沒有對a,b值進行驗證,導致增解. 解析 f′(x)=3x2+2ax+b,由x=1時,函數(shù)取得極值10,得 聯(lián)立①②,得或 當a=4,b=-11時, f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1). 在x=1兩側(cè)的符號相反,符合題意. 當a=-3,b=3時, f′(x)=3(x-1)2在x=1兩側(cè)的符號相同, 所以a=-3,b=3不符合題意,舍去. 綜上可知

17、,a=4,b=-11, 所以a+b=-7. 答案?。? 易錯點6 函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系理解不準確 例7 若函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是________. 易錯分析 誤認為f′(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件,漏掉f′(x)=0的情況. 解析 f(x)=ax3-x2+x-5的導數(shù) f′(x)=3ax2-2x+1, 由f′(x)≥0,得 解得a≥. 答案  1.函數(shù)f(x)=log2(x2-6)的定義域為________________. 答案 (-∞,-)∪(,+∞) 解析 由題意得x2-6>0?x>或x<-,

18、即定義域為(-∞,-)∪(,+∞). 2.若函數(shù)f(x)=則滿足f(a)=1的實數(shù)a的值為________. 答案 -1 解析 依題意,滿足f(a)=1的實數(shù)a必不大于零,于是有由此解得a=-1. 3.(2018·江蘇溧陽中學等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù),當x∈(0,1)時,f(x)=x2-8x+30,則f()=________. 答案?。?4 解析 由已知,得f()=-f(-) =-f(4-), 又f(4-)=(4-)2-8(4-)+30=24, 故f()=-24. 4.已知函數(shù)f(x)=其中m>0,若函數(shù)y=f(f(x))-1有3個不同的零點,則實數(shù)m的取值

19、范圍是________. 答案 (0,1) 解析 令f(f(x))=1,得f(x)=或f(x)=m-1<0, 進一步,得x=或x=m-<0或x=. 因為m>0,所以只要m<1,即00,且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為___________________

20、_____________________________________________________. 答案 (0,1)∪(,+∞) 解析 不等式logax-ln2x<4可化為-ln2x<4, 即<+ln x對任意x∈(1,100)恒成立. 因為x∈(1,100),所以ln x∈(0,2ln 10),+ln x≥4, 故<4,解得ln a<0或ln a>, 即0. 7.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)上任一點(x0,f(x0))處的切線斜率k=(x0-3)(x0+1)2,則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為________. 答案 (-∞,3] 解析 由導數(shù)的幾何意義可知

21、,f′(x0)=(x0-3)(x0+1)2≤0,解得x0≤3,即該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,3]. 8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集為______________. 答案 (-5,0)∪(5,+∞) 解析 方法一 不等式f(x)>x的解集,即為函數(shù)y=f(x)圖象在函數(shù)y=x圖象上方部分x的取值范圍.因為函數(shù)f(x)和y=x都是R上的奇函數(shù),且方程f(x)=x的根為±5,0,由圖象知,不等式f(x)>x的解集為(-5,0)∪(5,+∞). 方法二 令x<0,則-x>0, 因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

22、 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x. 要使f(x)>x,則或或 解得-55, 所以不等式f(x)>x的解集為(-5,0)∪(5,+∞). 9.已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),當10恒成立,設a=f?,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關系為__________. 答案 b0, 知y

23、=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù), 又f?=f?,且2<<3, 所以f(2)

24、g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,在[2,4]上單調(diào)遞減,在[4,+∞)上單調(diào)遞增, g(1)=a+16,g(2)=a+20,g(4)=a+16, 因為g(x)=0有且僅有兩個根, 故g(1)=g(4)=a+16=0或g(2)=a+20=0, 解得a=-20或a=-16. 11.已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值2. (1)求函數(shù)f(x)的表達式; (2)當m滿足什么條件時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增? 解 (1)因為f′(x)=, 而函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值2, 所以即解得 所以f(x)=即為所求. (2)由(1)知,f′(x)==, 由f

25、′(x)>0可知,-10且c≠1,k∈R)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是x=-c. (1)求函數(shù)f(x)的另一個極值點; (2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m,并求M-m≥1時k的取值范圍. 解 (1)f′(x)= =, 由題意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*) ∵c≠0,∴k≠0.∴c-=1. 由f′(x)=0,得-kx2-2x+ck=0, ∴另一個極值點為x=c-,即x=1. (2)由(*)式得k=,即c=1+. 當c>1時,k>0;當00時,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)上是減函數(shù),在(-c,1)上是增函數(shù), ∴M=f(1)==>0, m=f(-c)==<0, 由M-m=+≥1及k>0,解得k≥. ②當k<-2時,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)上是增函數(shù),在(-c,1)上是減函數(shù), ∴M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0, M-m=-=1-≥1恒成立. 綜上可知,所求k的取值范圍為(-∞,-2)∪[,+∞). 13

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