2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.2 平面向量的基本定理及其坐標表示教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.2 平面向量的基本定理及其坐標表示教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用 【例1】如圖?ABCD中,M,N分別是DC,BC中點.已知=a,=b,試用a,b表示,與 【解析】易知=+ =+, =+=+, 即 所以=(2b-a), =(2a-b). 所以=+=(a+b). 【點撥】運用平面向量基本定理及線性運算,平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運用值得仔細領(lǐng)悟. 【變式訓(xùn)練1】已知D為△ABC的邊BC上的中點,△ABC所在平面內(nèi)有一點P,滿足++=0,則等于(  ) A.     B.   

2、  C.1     D.2 【解析】由于D為BC邊上的中點,因此由向量加法的平行四邊形法則,易知+=2,因此結(jié)合++=0即得=2,因此易得P,A,D三點共線且D是PA的中點,所以=1,即選C. 題型二 向量的坐標運算 【例2】 已知a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b. (1)若u=3v,求x;(2)若u∥v,求x. 【解析】因為a=(1,1),b=(x,1), 所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3), v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1). (1)u=3v?(2x+1,3)=3(2-x,1) ?(2x

3、+1,3)=(6-3x,3), 所以2x+1=6-3x,解得x=1. (2)u∥v ?(2x+1,3)=λ(2-x,1) ? ?(2x+1)-3(2-x)=0?x=1. 【點撥】對用坐標表示的向量來說,向量相等即坐標相等,這一點在解題中很重要,應(yīng)引起重視. 【變式訓(xùn)練2】已知向量an=(cos,sin)(n∈N*),|b|=1.則函數(shù)y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+…+|a141+b|2的最大值為   . 【解析】設(shè)b=(cos θ,sin θ),所以y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+…+|a141+b|2=(a1)2+b2+2(cos,s

4、in)(cos θ,sin θ)+…+(a141)2+b2+2(cos,sin)(cos θ,sin θ)=282+2cos(-θ),所以y的最大值為284. 題型三 平行(共線)向量的坐標運算 【例3】已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形; (2)若m⊥p,邊長c=2,角C=,求△ABC的面積. 【解析】(1)證明:因為m∥n,所以asin A=bsin B. 由正弦定理,得a2=b2,即a=b.所以△ABC為等腰三角形. (2)因為m⊥p,

5、所以m·p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b=ab. 由余弦定理,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 所以(ab)2-3ab-4=0. 所以ab=4或ab=-1(舍去). 所以S△ABC=absin C=×4×=. 【點撥】設(shè)m=(x1,y1),n=(x2,y2),則 ①m∥n?x1y2=x2y1;②m⊥n?x1x2+y1y2=0. 【變式訓(xùn)練3】已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,且a+b=10,則△ABC周長的最小值為(  ) A.10-5

6、 B.10+5 C.10-2 D.10+2 【解析】由m⊥n得2cos2C-3cos C-2=0,解得cos C=-或cos C=2(舍去),所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab,由10=a+b≥2?ab≤25,所以c2≥75,即c≥5,所以a+b+c≥10+5,當且僅當a=b=5時,等號成立.故選B. 總結(jié)提高 1.向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標表示后,即可使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.向量方法是幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體,很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運算. 2.向量的運算中要特別注意方程思想的運用. 3.向量的運算分為向量形式與坐標形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則,坐標形式即代入向量的直角坐標.

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