2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.3 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.3 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題 【例1】 已知a，b夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)|a＋b|； (2)(a＋2b) ·(a＋b)； (3)a與(a＋b)的夾角θ. 【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b ＝16＋4－2×4×2×＝12， 所以|a＋b|＝2. (2)(a＋2b) ·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2 ＝16－3×4×2×＋2×4＝12. (3)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4×2×＝12. 所以cos

2、 θ＝＝＝，所以θ＝. 【點撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題. 【變式訓(xùn)練1】已知向量a，b，c滿足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則a與b的夾角大小是　　　　. 【解析】由c⊥a?c·a＝0?a2＋a·b＝0， 所以cos θ＝－，所以θ＝120°. 題型二　利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題 【例2】 在△ABC中，＝(2，3)， ＝(1，k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值. 【解析】①當∠A＝90°時，有·＝0， 所以2×1＋3·k＝0，所以k＝－； ②當∠B＝90°時，有·＝0， 又＝－＝(1－2，k－3)＝(

3、－1，k－3)， 所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0?k＝； ③當∠C＝90°時，有·＝0， 所以－1＋k·(k－3)＝0， 所以k2－3k－1＝0?k＝. 所以k的取值為－，或. 【點撥】因為哪個角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角. 【變式訓(xùn)練2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6， 求·＋·＋·. 【解析】因為2·＋2·＋2· ＝(·＋·)＋(·＋·)＋(·＋·) ＝·(＋)＋·(＋)＋·(＋) ＝·＋·＋· ＝－42－62－52＝－77. 所以·＋·＋·＝－. 題型三　平面向量的數(shù)量積的綜合問題

4、 【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點O，且∠xOy＝，構(gòu)成一個平面斜坐標系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設(shè)P為坐標平面內(nèi)一點，且＝xe1＋ye2，則點P的坐標為(x，y)，已知Q(－1，2). (1)求||的值及與Ox的夾角； (2)過點Q的直線l⊥OQ，求l的直線方程(在斜坐標系中). 【解析】(1)依題意知，e1·e2＝， 且＝－e1＋2e2， 所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3. 所以||＝. 又·e1＝(－e1＋2e2) ·e1＝－e＋2e1e2＝0. 所以⊥e1，即與Ox成90°角. (2)設(shè)l上動點P(x，y)，即＝xe1＋ye2，

5、 又⊥l，故⊥， 即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] ·(－e1＋2e2)＝0. 所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ·＋2(y－2)＝0， 所以y＝2，即為所求直線l的方程. 【點撥】綜合利用向量線性運算與數(shù)量積的運算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢. 【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標系xOy中，點A(5，0).對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ (＋)(λ為常數(shù))，其中點P，Q的坐標分別為(1，f(1))，(k，f(k))，則k的取值范圍為(　　) A.(2，＋∞)

6、 B.(3，＋∞) C.(4，＋∞) D.(8，＋∞) 【解析】如圖所示，設(shè)＝，＝，＋＝，則＝λ.因為P(1，a)，Q(k，ak2)，＝(1，0)，＝(，)，＝(＋1，)，則直線OG的方程為y＝x，又＝λ，所以P(1，a)在直線OG上，所以a＝，所以a2＝1－. 因為||＝＞1，所以1－＞0，所以k＞2. 故選A. 總結(jié)提高 1.本節(jié)是平面向量這一章的重要內(nèi)容，要準確理解兩個向量數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律；數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a·b) ·c≠a·(b·c)；數(shù)量積不滿足消去律，即a·b＝a·c推不出b＝c. 2.通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷兩直線是否垂直. 3.向量的線性運算、數(shù)量積運算是平面向量的最基本知識，在解決向量與不等式、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等綜合性問題時，往往要找到其內(nèi)在的聯(lián)系以獲得正確的解題途徑.